【正文】 ?? ，而02200 2,2,)2,2( ???? akakaa ????? ???? ????? aas adyyxdxadsyxaM 0 02220222202 34)(2)(2 ??? 習(xí)題 25 解：481|)86(21)(),(108610332????? ? ?????xxdxy dyxydxdyxx xxDD??? 541|)96(31)(),(10961022222????? ? ?????xxdxdyyxdyxdyxy xxDD??? 351|)75(21)(),(107510222????? ? ?????xxdxy dyxydxdyx xxDD??? 27 ).5435,4835(,5435351541,4835351481重心???? ?? yx 解：設(shè) P(x,y)為三角形上一點，則容易知道此點的密度為 22),( yxyx ??? 。 17 7（題略） 解 設(shè) BC=a, 則橫截面積S=21 (BC+AD)h=21 ??? c tghhS ??? =a)h, c t gh +(a=)h 2hc t g(2a ,濕周???? s i n2s i n2a2CDa=) F (h, hc t ghhSh ???????? 由 0s in22 ??????? ??c tghShf (1) 0sin c os21 2 ????? ? ??f (2) 由 (2)有 12cos 0?? , 3??? , 由 (1), h=43S , 即 (43,3S? )為唯一駐點，故當(dāng) 3??? , h=43S 時，濕周最小 . 習(xí)題 21 解：在任意一個面積微元 ?d 上的壓力微元 ??gxddF? ，所以，該平面薄片一側(cè)所受的水壓力 ???D gxdF ?? 解：在任意一個面積微元 ?d 上的電荷微元 ?? dyxdF ),(? ，所以，該平面薄片的電荷總量 ???D dyxQ ?? ),( 解：因為 10,10 ???? yx ，所以 1122 ????? yxyx ，又 uln 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以 ? ? ? ?1ln1ln 22 ????? yxyx ，由二重積分的保序性得 ? ? ? ??? ???? ?? ?? ???????10 10 10 1022 1ln1lnyx yxdyxdyx ?? 解：積分區(qū)域 D 如圖 211 所示，所以該物體的質(zhì)量 34)384438()()( 10 3210 2 2222 ????????? ?? ??? ? dyyyydxyxdydyxM yyD ? 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 212 所示，所以 ???? ? 110010 ),(),( xy dyyxfdxdxyxfdy 18 （ 2）積分區(qū)域如圖 213 所示，所以 ???? ? xxyy dyyxfdxdxyxfdy 2/40220 ),(),(2 （ 3）積分區(qū)域如圖 214 所示，所以 ???? ????? ?11210222122 ),(),( yyxxx dxyxfdydyyxfdx （ 4）積分區(qū)域如圖 215 所示，所以 ???? ? eexe y dxyxfdydyyxfdx ),(),( 10ln00 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 216 所示，所以 ? ?????? ??????? ????? 10 1054/1134/310 5565111432322 xxdxxxxdyyxdxdyxxxD ? （ 2）積分區(qū)域如圖 217 所示，所以1564)4(212 20 2240 22 22 2 ???? ????? ?? dyyydxxydydxy yD ? （ 3）積分區(qū)域如圖 218 所示，所以 11021011211011111101101)()()()(???????????????????????????????????????????eedxeeedxeeedxeeedxeeedyedxdyedxdexxxxxxxxxxyxxxyxDyx ? （ 4）積分區(qū)域如圖 219 所示，所以 613832419)()( 20 232/ 222022 ??????? ??????? ????? dyyydxxyxdydxyx yyD ? 解： （ 1）積分區(qū)域如圖 2110 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ar ????? 0,22 ??? ，故 ? ? ???? ???aDdrrrfrddyxf 022s i n)c os ,(, ?? ?? （ 2）積分區(qū)域如圖 2111 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ??? s in20,0 ???? r，故 ???? ?? ?? ???? s i n200 )s i n,c os(),( drrrfrddyxfD 解： （ 1）積分區(qū)域如圖 2112 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ????2c oss in0,40 ???? r，故 ? ? 12s e ctans e c)( 4040c oss i n0 140212210 22 ??????? ????? ?? ????? ????? ddrrrddyyxdx xx （ 2）積分區(qū)域如圖 2113 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ??? s in20,0 ???? r，故 8)( 40 3200 22022 adrrddxyxdy ayaa ??? ??? ???? ? 19 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 2114 所示，故49)(1 21 31 221 222 ????? ????? dxxxdyydxxdyx xxD ? （ 2）積分區(qū)域如圖 2115 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 10,20 ???? r?? ，故? ?28)1(21a r c s in2121)1(4112121121121111102141021010 44421010 43410 4210 22202222?????????????????????????????????????????????????? ?? ???????????????rrrrdrdrdrrrdrrrr d rrrr d rrrddyxyxD （ 3）積分區(qū)域如圖 2116 所示， 故 43 32222322 14)32()()( adyayaaydxyxdydyx aay ayaaD??????? ????? ?? （ 4）積分區(qū)域如圖 2117 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 bra ???? ,20 ?? ， 故 ? ?33220212232)( abdrrddyx baD ???? ???? ??? ? 解：積分區(qū)域如圖 2118 所示，由圖形的對稱性得： ????144 1 D dSS ?，所以 240240 22s i n040 2c os2s i n24 aadar drdS a ????? ??? ???? ???? 圖 211 圖 212 圖 213 圖 214 20 圖 215 圖 216 圖 217 圖 218 圖 219 圖 2110 圖 2111 圖 2112 圖 2113 圖 2114 圖 2115 圖 2116 圖 2117 圖 2118 習(xí)題 22 解： ????? dvzyxQ ),(? 化三重積分為直角坐標中的累次積分 解：（ 1）因為積分區(qū)域 ? 的上曲面為開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面 22 yxz ?? ，下曲面為 0?z ，積分區(qū)域 ? 在 xoy 坐標面上的投影區(qū)域 xyxD xy ????? 10。 PFPFPF zyx ???= 1，曲面在點P0 的切平面方程為： 0)4)(1()1(21)1(21 ??????? ?zyx ， 即： x y 2z 2? =0； 法線方程為：14211211????????zyx ，即：2 4111 1??????? zyx ； （ 2）令 zxyzzyxF ln),( ??? 則 xFx 1??， 1??yF ， zFz 11?? 曲面 在點 (1,1,1)點處的切平 面的法向量為： }2,1,1{ ????n 故所求的切平面方程為： 0)1(2)1()1()1()1( ?????????? zyx 即： 02 ??? zyx 法線方程為： 2 11111 ??????? zyx （ 3）令 F（ x， y， z） = 2zx +2zy 8， )(,2ln4)(,2ln4)( 039。 解： ,32)43,1,23()43,1,23( ????????? xxz ,44 )43,1,23()43,1,23(????? ???? yyz ?按最陡的道路上登，應(yīng)當(dāng)沿（ 3， 4）方向上登。 (2) ),(2s i n),(2s i n byaxbzbyaxaz yx ???? )(2c os2),(2c os2),(2c os2 22 byaxbzbyaxabzbyaxaz yyxyxx ?????? . 3 222 2,2,2 xyzfzxyfxzyf zyx ?????? , ,2,2,2 zfxfz yzxzxx ??? 0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0( ???? yzxzxx fff . 4 )2(2c os),2(2c os2),2(2s i n),2(2s i n2 txztxztxztxzttxttx ?????????? 0)2(2c os2)2(2c os22 ??????? txtxzz xttt . 4 5.(1) xyx exyz 2??, xyy exz 1?, ?dz ?? dxexy xy2 dyex xy1 。 6．指出下列函數(shù)的間斷點： （ 1）xy xyyxf 22),(2???； （ 2） yxz ??ln 。 1 習(xí)題 1— 1 解答 1． 設(shè)yxxyyxf ??),(，求),( 1),(),1,1(),( yxfyxxyfyxfyxf ?? 解yxxyyxf ???? ),(；xxy yyxfyxyxxyfxyxyyxf ?????? 222 ),( 1。 （ 2）證明 ： 如果動點 ),( yxP 沿 xy? 趨向 )0,0( 則 1l i m)(l i m 4402222200???? ???? xxyxyx yxxxyx； 如果動點 ),( yxP 沿 xy 2? 趨向 )0,0( ，則 04 4l i m)(l i m 24402222202 0????? ???? xxxyxyx yxxxyx 所以極限不存在。 2.(1) 0,1,0, ????? yyxyxxyx zzzxzyz 。 3． 一個登山者在山坡上點 )43,1,2