【正文】 (1) 0sin c os21 2 ????? ? ??f (2) 由 (2)有 12cos 0?? , 3??? , 由 (1), h=43S , 即 (43,3S? )為唯一駐點，故當(dāng) 3??? , h=43S 時，濕周最小 . 習(xí)題 21 解：在任意一個面積微元 ?d 上的壓力微元 ??gxddF? ，所以，該平面薄片一側(cè)所受的水壓力 ???D gxdF ?? 解：在任意一個面積微元 ?d 上的電荷微元 ?? dyxdF ),(? ，所以，該平面薄片的電荷總量 ???D dyxQ ?? ),( 解：因為 10,10 ???? yx ，所以 1122 ????? yxyx ，又 uln 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以 ? ? ? ?1ln1ln 22 ????? yxyx ，由二重積分的保序性得 ? ? ? ??? ???? ?? ?? ???????10 10 10 1022 1ln1lnyx yxdyxdyx ?? 解：積分區(qū)域 D 如圖 211 所示，所以該物體的質(zhì)量 34)384438()()( 10 3210 2 2222 ????????? ?? ??? ? dyyyydxyxdydyxM yyD ? 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 212 所示，所以 ???? ? 110010 ),(),( xy dyyxfdxdxyxfdy 18 （ 2）積分區(qū)域如圖 213 所示，所以 ???? ? xxyy dyyxfdxdxyxfdy 2/40220 ),(),(2 （ 3）積分區(qū)域如圖 214 所示，所以 ???? ????? ?11210222122 ),(),( yyxxx dxyxfdydyyxfdx （ 4）積分區(qū)域如圖 215 所示，所以 ???? ? eexe y dxyxfdydyyxfdx ),(),( 10ln00 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 216 所示，所以 ? ?????? ??????? ????? 10 1054/1134/310 5565111432322 xxdxxxxdyyxdxdyxxxD ? （ 2）積分區(qū)域如圖 217 所示，所以1564)4(212 20 2240 22 22 2 ???? ????? ?? dyyydxxydydxy yD ? （ 3）積分區(qū)域如圖 218 所示，所以 11021011211011111101101)()()()(???????????????????????????????????????????eedxeeedxeeedxeeedxeeedyedxdyedxdexxxxxxxxxxyxxxyxDyx ? （ 4）積分區(qū)域如圖 219 所示，所以 613832419)()( 20 232/ 222022 ??????? ??????? ????? dyyydxxyxdydxyx yyD ? 解： （ 1）積分區(qū)域如圖 2110 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ar ????? 0,22 ??? ，故 ? ? ???? ???aDdrrrfrddyxf 022s i n)c os ,(, ?? ?? （ 2）積分區(qū)域如圖 2111 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ??? s in20,0 ???? r，故 ???? ?? ?? ???? s i n200 )s i n,c os(),( drrrfrddyxfD 解： （ 1）積分區(qū)域如圖 2112 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ????2c oss in0,40 ???? r，故 ? ? 12s e ctans e c)( 4040c oss i n0 140212210 22 ??????? ????? ?? ????? ????? ddrrrddyyxdx xx （ 2）積分區(qū)域如圖 2113 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 ??? s in20,0 ???? r，故 8)( 40 3200 22022 adrrddxyxdy ayaa ??? ??? ???? ? 19 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 2114 所示，故49)(1 21 31 221 222 ????? ????? dxxxdyydxxdyx xxD ? （ 2）積分區(qū)域如圖 2115 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 10,20 ???? r?? ，故? ?28)1(21a r c s in2121)1(4112121121121111102141021010 44421010 43410 4210 22202222?????????????????????????????????????????????????? ?? ???????????????rrrrdrdrdrrrdrrrr d rrrr d rrrddyxyxD （ 3）積分區(qū)域如圖 2116 所示， 故 43 32222322 14)32()()( adyayaaydxyxdydyx aay ayaaD??????? ????? ?? （ 4）積分區(qū)域如圖 2117 所示，令 ?? sin,c o s ryrx ?? ，所以 bra ???? ,20 ?? ， 故 ? ?33220212232)( abdrrddyx baD ???? ???? ??? ? 解：積分區(qū)域如圖 2118 所示，由圖形的對稱性得： ????144 1 D dSS ?，所以 240240 22s i n040 2c os2s i n24 aadar drdS a ????? ??? ???? ???? 圖 211 圖 212 圖 213 圖 214 20 圖 215 圖 216 圖 217 圖 218 圖 219 圖 2110 圖 2111 圖 2112 圖 2113 圖 2114 圖 2115 圖 2116 圖 2117 圖 2118 習(xí)題 22 解： ????? dvzyxQ ),(? 化三重積分為直角坐標(biāo)中的累次積分 解：（ 1）因為積分區(qū)域 ? 的上曲面為開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面 22 yxz ?? ，下曲面為 0?z ，積分區(qū)域 ? 在 xoy 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 xyxD xy ????? 10。 }2)(]){ [ (2]})[()(]){ [ (2|})(]){ [ (2}][]){ [ (2}|]){ [ (2])([)(])([))(,(21222122212221220212221220212221220021222322002023222ahRaRahGaahRaRahGrarahGr d rrarahGr d rrazGdzazrazr d rdGdvazyxazzyxGFRRRhhRz???????????????????????????????????????????????????????????????????? 習(xí)題 31 計算下列第二類曲線積分： （ 1） ? ?L dxyx ,)(22L 為拋物線 xy ?2 上由點（ 0,0）到點（ 2,4）的一段??； （ 2） ,)()(22? ? ???L yx dyyxdxyxL為按逆時針方向饒行的圓 222 ayx ?? ； （ 3） ? ??L xdzzdyydx ,L為螺旋線 btztaytax ??? ,s in,c o s 上由 t=0到 t=2? 的有向弧段 。11: 2 ????? yxxD xy ，所以 ? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? 1 1 1 02 22 , x yx dzzyxfdydxdvzyxf 解：積分區(qū)域 ? 如圖 221 所示 0)1(6121 1 1 61 21 11 1 1 0 22 ????? ?????? ? ? ? ??? ? dxxxdyyx dxz dzdyx dxx z dx dy dz xx y 另解：因為積分區(qū)域 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 yoz 對稱，又 xzzyxf ?),( 關(guān)于第一坐標(biāo)是奇函數(shù)，所以 0????? xzdxdydz。 解：當(dāng) 1?t 時 ， 1)1(,2)1(,21)1( ??? zyx ， 11 }2,1,41{}2,)1(,)1( 1)1(1{)}1(),1(),1({12239。 （ 2）為使函數(shù)表達(dá)式有意義，需 yx? ，所以在 yx? 處，函數(shù)間斷。1),(222222czbyaxyxf ???? （ 4） .1),( 222 zyxzyxzyxf?????? 解（ 1） ?1,1),{( ??? yxyxD （ 2） ?? xyyxyxD 4,10),( 222 ????? （ 3）?????? ???? 1),(222222czbyaxyxD （ 4） ? ?1,0,0,0),( 222 ??????? zyxzyxzyxD 4．求下列各極限： 2 （ 1）2210 1lim yx xyyx ????= 110 01 ??? （ 2） 2ln01 )1ln(ln(lim022)01????????eyx ex yyx （ 3）41)42( )42)(42(l i m42l i m 0000 ???? ??????? ???? xyxy xyxyxyxy yxyx （ 4） 2)s in(lim)s in(lim0202???????xxyxyyxyyxyx 5．證明下列極限不存在： （ 1） 。3? 解： ,1200 22 ????? PP yx xxu ,1200 22 ????? PP yx yyu 由題意知 ,3??? 則 ,6??? )23,21()6c os,3(c os0 ?? ??l .2 3123*121*10??????? Plu （ 4） .),14,4,9(),2,1,5(, 1010 PPlPPx y zu ?? ,200 ???? PP yzxu ,1000 ???? PP xzyu ,500 ???? PP xyzu ),12,3,4(?l ),1312,133,134(0 ?? l .13981312*5133*10134*20 ??????? Plu 2． 求下列函數(shù)的梯度 gradf （ 1） )。 解法 1（用拉格朗日乘數(shù)法） 設(shè) )()2(21 22 xyyxL ????? ? 由????????????????????????00)1()2(221021)2(222 令令令xyLyxLxyxLyx???，即???????????????00202)2