【正文】 1 c o s 2xxx??,c o s22c o s1 2 xx ???π40d1 c o s 2xxx? ??π420d2 c o sxxx? ? ? ?π40d t a n2x x? ?? ? π401 t a n2 xx? π401 t a n d2 xx? ?? ? π40π 1 ln s e c82 x?? π ln 2 .84?? 微積分基本定理 (79) 49 例 17 計算定積分 解 120ln ( 1 ) d.( 2 )x xx???120ln( 1 ) d( 2 )x xx???101ln ( 1 ) d2x x? ? ? ??102)1l n (??????????xx101 d ln( 1 )2 xx????32ln??1011 d21 xxx?????xx ??? 2111? ? 10)2l n ()1l n (3 2ln xx ?????? .3ln2ln35 ?? 微積分基本定理 (79) 50 解 因為 t ts i n 沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接 10 ( ) dx f x x?1 201 ( ) d( )2 f x x? ?1201 ()2 x f x??? ??1 201 d ( )2 x f x? ?)1(21 f? 1201 ( ) d .2 x f x x?? ?例 1 8 設 21s in( ) dx tf x tt? ?，求 10( ) dx f x x?求出 )( xf ，所以采用分部積分法 ： 微積分基本定理 (79) 51 21s in( ) d ,x tf x tt? ?,s i n22s i n)(222xxxxxxf ????10 ( ) dxf x x? ?)1(21 f? 1201 ( ) d2 x f x x?? ?1 201 2 s in d2 x x x?? ?1 2201 s in d2 xx?? ?? ?102co s21 x? ).11( c o s21 ??11s in( 1 ) d 0 ,tftt??? 微積分基本定理 (79) 52 引理 3 證明 定 積分公式： 證 設 ,s i n 1 xu n ??d s i n d ,v x x?2d ( 1 ) si n c os d ,nu n x x x??? ,c o s xv ?? ，則 π20s in dnnI x x? ?π21 [ 1 ( 1 ) ]20( 1 ) ! ! πs in d ( )! ! 2nn nxxn?????? 微積分基本定理 (79) 53 ππ221 2 20 0s in c o s ( 1 ) s in c o s dnnnI x x n x x x????? ? ? ??? ?x2s in1 ?0π π22 200( 1 ) s in d ( 1 ) s in dnnnI n x x n x x?? ? ? ???nn InIn )1()1( 2 ???? ?21???nn InnI 積分 關(guān)于下標的遞推公式 nI42 23?? ???nn InnI ,?? 直到下標減到 0或 1為止 微積分基本定理 (79) 54 ,21436522 322 12 02 ImmmmI m ????????? ?,32547612 2212 2 112 Immm mI m ?????????? ?),2,1( ??mπ20 0πd,2Ix???π21 0 sin d 1 ,I x x???22 1 2 3 3 1 π ( 2 1 ) ! ! π ,2 2 2 4 2 2 ( 2 ) ! ! 2mm m mIm m m? ? ?? ? ? ? ? ? ??.!)!12( !)!2(32547612 2212 212 ???????????? m mmmm mI m ?于是 微積分基本定理 (79) 55 定積分的分部積分公式 ? ?d d .bbbaa au v uv v u????（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別） 小結(jié)與思考題 3 微積分基本定理 (79) 56 思考題 設 )( xf ?? 在 ? ?2,0 上連續(xù)，且 1)0( ?f ，3)2( ?f ， 5)2( ??f ，求 10( 2 ) dx f x x???. 微積分基本定理 (79) 57 思考題解答 10 ( 2 ) dx f x x??? 101 d ( 2 )2 x f x?? ?? ? 110 011( 2 ) ( 2 ) d22x f x f x x???? ?? ?10)2(41)2(21 xff ???? ?)0()2(4125 ff ??? .2? 微積分基本定理 (79) 58 一、 填空題： 1 、設 n 為正奇數(shù)，則 π20sin dnxx ??___ __ ； 2 、設 n 為正偶數(shù)，則 π20c o s dnxx?= __ ___ ； 3 、???xxxde102__ ___ ； 4 、 e1ln dx x x ??__ ___ ； 5 、??10c otar c xxx d__ ___ . 課堂練習題 π40 ( ) ( ) df x f x x? ??? ，其中 xxf 2tan)( ? . 二、 計算下列定積分： 微積分基本定理 (79) 59 三、 設 ()fx?? 在 [ 0 , π ] 連續(xù)， ,1)(,2)0( ??? ff 計算 π0[ ( ) ( ) ] sin df x f x x x???? 。a f t t? ?② )( xf 為奇函數(shù)，則 ),()( tftf ???00( ) d ( ) d ( ) daaf x x f x x f x x?? ??? ? ?.? 微積分基本定理 (79) 35 奇函數(shù) 例 13 計算定積分 解 21212 c o s d.11x x x xx?????原式 21212 d11x xx?????121c o s d11xx xx?????偶函數(shù) 21204d11x xx????22120( 1 1 )4d1 ( 1 )xx xx??????1 204 ( 1 1 ) dxx? ? ??1 204 4 1 dxx? ? ??4 π .??單位圓的面積 微積分基本定理 (79) 36 引理 2 若 )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，證明 （ 1 ） π π2200( s in ) d ( c o s ) df x x f x x???。 微積分基本定理 (79) 3 變速直線運動問題 變速直線運動中路程為 21( )dTT v t t?設某物體作直線運動，已知速度 )( tvv ? 是時 間間隔 ],[ 21 TT 上 t 的一個連續(xù)函數(shù)，且 0)( ?tv , 求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 . 另一方面這段路程可表示為 )()( 12 TsTs ? 原函數(shù)存在定理 21 21( ) d ( ) ( ) ,TT v t t s T s T? ? ?? ).()( tvts ??其中 微積分基本定理 (79) 4 設函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，并且設 x 為],[ ba 上的一點， ( ) d ( ) d .xxaaf x x f t t???考察定積分 ( ) ( ) d .xax f t t?? ?如果上限