工學偏微模型ppt課件(存儲版)
【正文】 ???(7) 其特征方程組為 ( , , )( , , )( , , )dxa x y udtdyb x y udtduc x y udt????????????(8) 以兩個自變量的方程為例。 ( , , ) ( , , ) ( , , )dx dy dzP x y z Q x y z R x y z??于是得到方程組 (3)的一個等價形式： ，則它也稱為 (3) 9 對于一階齊次線性偏微分方程 (2)與它的特征方程組 (3)或 (4)，我們有以下結(jié)論： 證明從略。 ? 方程的解： 若函數(shù) u連續(xù)并具有方程所涉及的連續(xù)的各階偏導數(shù) ， 且該函數(shù)代入方程使得方程在某區(qū)域內(nèi)成為恒等式 ， 則稱該函數(shù)為方程在該區(qū)域內(nèi)的 解 （ 古典解 ） 。方程中所含未知函數(shù)偏導數(shù)的最高階數(shù)稱為該方程的 階 。 4 一階線性偏微分方程 ? 一階齊次線性偏微分方程 ? ?121( ) , , , 0nini iuF u a x x xx??????(1) 顯然方程有平凡解 u=常數(shù)。 ( , , ) , ( , , )x y z x y z??( , )u ? ? ??10 例 2. 求解方程 20u u ux y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?解： 特征方程組為 2d y yd x xd z zd x x??????? ????或 首次積分為 2 , x y x z????于是原方程的隱式通解為 2dx dy dzx y z? ? ? ?? ?2 , u x y x z?? ，其中 ? 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。 ? ?2, 2 0y u x u? ? ? ? 將該解代入初始條件，得 ? ?, 2 0yy? ?于是有 22 2 ( )x u y u? ? ?，解得 1 1 2( )u x y? ? ? ?再由初始條件得 Cauchy問題的解為 1 1 2( )u x y? ? ? ?18 帶年齡結(jié)構(gòu)的線性人口發(fā)展模型 ? 線性模型的建立 考慮一個穩(wěn)定社會的人口發(fā)展過程 。 24 利用特征線法結(jié)合積分變換法 ， 可以得出模型 (2)及模型 (3)的解 。 我們再考慮人口遷移因素 ， 設(shè) f (a, t) 表示 t 時刻年齡為 a 的社會人口在單位時間 、 單位年齡內(nèi)的遷移人數(shù) ， 則有更一般的非線性人口發(fā)展系統(tǒng)： 29 000( , ) ( , )( , , ( ) ) ( , ) ( , ) , 0 , 0( , 0) ( ) , 0( 0 , ) ( , , ( ) ) ( , ) , 0( ) ( , ) d , 0p a t p a ta t N t p a t f a tatatp a p a ap t a t N t p a t da tN t p a t a t???????? ? ? ???????????????????????(4) 30 偏微分方程的傅里葉變換解法 ? 傅里葉變換及其基本性質(zhì) 01( ) c o s s in2 kkka k x k xf x a bll??????? ? ??????若 f(x) 在 [l, l]分段連續(xù)可導 (逐段光滑 )， 則 f(x) 在 (l, l)可以展開為 Fourier級數(shù)： 其中 1( ) c o s d ( 0 , 1 , )lk l ka f kll ????????1 ( ) s in d ( 1 , 2 , )lk lkb f kll??????31 ()1( ) ( )2ixf x d f e d??? ? ???? ?? ? ? ?? ??將系數(shù)代入 ， 并設(shè) f(x) 在 (–?, ?)內(nèi)絕對可積 ，則整理可得 令 ( ) ( ) ixg f x e d x?? ? ???? ?則 1( ) ( )2 ixf x g e d???? ???? ?稱 g(?) 為 f(x) 的傅里葉變換 ， 記為 F[f]；稱 f(x)為g(?) 的傅里葉逆變換 ， 記為 F–1[f]。 將 (4)代入 ( ) ( 0 , )t p t? ? ， 得到關(guān)于 的一個積 ?分方
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