【正文】 )61,6000(~ BX 于是 100061 6000 ??? npEX 10006565616000)1( ??????? pnpDX 要估計的規(guī)律為 ? ?6010001001616000 ＜＜ ???????? ? XPXP, 相當于在切比雪夫不等式中取 60?? ,于是 ? ? 26016010001001616000 DXXPXP ?????????? ? ＜＜ 由題意得 76 36 00110 00651601 2 ???????? DX 即用切比雪夫不等式估計此概率不小于 。 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應用 設 ? ?nX 為獨立隨即變量序列 ,若存在 0＞? ,滿足 0)(1l i m122 ????????ni IInn XEB?? ?, 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 14 則對任意的 x ,有 dtxXBPni iinn ?? ???? ??????? ?? x 2t12e21)(1l i m π? 其中 iiXE ??)( , 2)( ??IXD , 22221)( nin XDB ??? ????? ? 例 10：一份考卷由 99個題目組成 ,并按由易到難順序排列 。 現(xiàn)在要保證有 90％的把握 ,使得調(diào)查所得收視率 ?p 與真實收視率 p 之間的差異不大于 5％ 。 解：記 n =100, nY 為 100 個部件中正常工作的部件數(shù) ,則 nY ～ b(100,)； 90)( ?nYE ； 9)1()( ??? pnpYD n 所求概率為 )()3 (1)3 (1)85( ?????????????nYP ② 已知 ?,n ， 求 y 。 (2) 若記 )(y??? ,則由棣莫弗 — 拉普拉斯極限定理給出的近似式 ?????? )()( yyYP n ， 可用來解決三類計算問題：（ 1）已知 yn, 求 ? ；（ 2）已知 ?,n 求 y 。 定理的應用：對于獨立的隨機變量序列 ? ?nX ,不管 ),2,1( niX i ?? 服從什么分布 ,只要他們是分布 ,且有有限的數(shù)學期望和方差 ,那么 ,當 n 充分大時 ,這些隨機變量之和 ??ni iX1近似地服從正態(tài) 分布 ),( 2?? nnN 。 例如 ,進行觀測時 ,不可避免地有許多引起觀測誤差的隨機因素影響著我們的觀測結果 ,其中有些誤差是由測量儀器的情況引起的 ,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測站個人的誤差 ,這些誤差大多數(shù)是由于視覺或聽覺引起的 等等 。 2 中心極限定理的應用 前言 大數(shù)定律 討論的 是多個隨機變量的平均 ??ni iXn 11 的漸近性質(zhì) ,但沒有涉及到隨機變量的分布的問題 。 根據(jù)辛欽大數(shù)定律知 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 7 1)611(lim 21 2 ?????? ＜ini in EnP ?? 從而 1lim 1 ?? ??? nG nn dxdx ?? 大數(shù)定律 的意義 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨即現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的科學 ， 而隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性只有在相同條件下進行大量重復試驗或觀察才呈現(xiàn)出來 。 事實上 ,用觀察值的平均去作為隨機變量的均值在實際生活中是常用的方法 。 辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學分析方面的應用 我們已經(jīng)知道 ,一個隨機變量的方差存在 ,則其數(shù)學期望必定存在；但反之不成立 ,即一個隨機變量的數(shù)學期望存在 ,則其方差不一定存在 。 伯努利大數(shù)定律提供了用頻率來確定概率的理論依據(jù) 。 例 2：使用某 儀器 測量已知量 a ,設 n 次獨立得到的測量值為 ?? , 21 nXXX 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計在期望的 ? 鄰域的概率 。 但是 ， 任何事情的發(fā)生、發(fā)展都具有一定的客觀規(guī)律 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科 ,起源于 17世紀 ,發(fā)展到現(xiàn)在 ,已經(jīng)深入到科學和社會的許多領域 。較多文獻給出了不同條件下存在的大數(shù)定律和中心極限定理，并利用大數(shù)定律和中心極限定理得到較多模型的收斂性。 本文共分 3章 ,每章結合具體問題展開討論 ,內(nèi)容涉及對基本公式概念的理解 ,對基礎理論知識的剖析 ,定理的具體應用 ,結合實際 ,分析解答了有關的典型例題 。 它的結論也可敘述為：大量的隨機現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必 然的數(shù)量規(guī)律 。 （ 4）它是推導大數(shù)定律和其他定理的依據(jù) 。 解：依題意 ,可以將觀察結果 ?? , 21 nXXX 看作是相互獨立具有相同分布的隨機變量 。 若把這枚硬幣連拋 10 次 ,則因為 n 較小 ,發(fā)生大偏差的可能性有時會大一些 ,有時會小一些 。 辛欽大數(shù)定律 ：設 ??iX 為一獨立同分布的隨機變量序列 ,若 iX 的數(shù)學期望存在 ,則??iX 服從大數(shù)定律 ,即對任意的 0＞? ,有 1))(11(l i m 11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP 成立 。 反之 ,用概率方法來解決數(shù)學分析中的一些問題 ,也是概率論的重要研究方向之一 [3]。 人們在實踐中觀察其他一些隨機現(xiàn)象時 ， 也常常會發(fā)現(xiàn)大量隨機個體的平均效果的穩(wěn)定性 。 在實際應用中 ,有很多隨機變量都服從正態(tài)分布 ,即使原來并不服從正態(tài)分布的一些獨立的隨機變量 ,它們的和 分布也近似服從正態(tài)分布 ,自然要提出這樣的問題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在 ,從而在概率論中占有如此重要的地位？應如何解釋大量隨機現(xiàn)象的這一客觀規(guī)律性呢？事實上 ,這正是客觀實際的反映 ,中心極限定理就是 概率論中論證隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱 。 此外 ,還可以舉出很多類似的例子 ,這里具體舉出一個例子 [4]。 棣莫弗 拉普拉斯定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理 ,它是專門針對二項分布的 ,因此稱為“二項分布的正態(tài)近似” 。 ① 給定 yn, ， 求 ? 。 問至少要多少電能 ,才可以有95％的可能性保證此車間正常生產(chǎn) 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 13 由大數(shù)定律 ,當 n 很大時 ,頻率nYn與概率 p 很接近 ,即用頻率作為 p 的估計是合適的 。 試計算該學生通過考試的可能性多大？ 解：設若學 生答對第 i 題 ,則 1?iX ；若學生答錯第 i 題 ,則 0?iX 。 從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是 較低 的 。 本次畢業(yè)論文的撰寫 ,使我擴大了知識范圍 ,鍛煉了觀察和思維能力 ,進一步提高了動手和實踐能力 。 我不是您最出色的學生，而您卻是我最尊敬的老師 。 [2]茆詩松 ,程依明等編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 133154。 [10]封希媛 .大數(shù)定律與中心極限定理在實際中的應用 [J]青海師范大學學報第二版， 2021。 [6]張從軍 ， 劉亦農(nóng) ， 肖麗華 編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M],復旦大學出版社 ,2021： 110120。 當然也要感謝曾經(jīng)教育和幫助過我的所有老師，我的點滴成就都來自你們，感謝四年來對我的栽培和教育。 總之這兩大 定理的正確應用有助于進一步研究多個隨機過程的試驗中目標事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率 ,有助于把握隨機事件間的相互影響關系 ,為生產(chǎn)實踐提供更有價值的決策信息 ,成為我們解決問題的有效工具 。 利用數(shù)學方法 ,定量地對醫(yī)學問題進行相關分析 ,使其結論具有可信度 ,更有利于促進對病人的對癥施治等 。 又因為 )1001()( 99 199 199 1 ???? ??? ??? ii ii i ipXE, )100)(1001()( 99 199 1299 ???? ?? ?? ii i iiXDB 所以該學生通過考試的可能性為 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 15 ???????????????????????? ? ?? ?? 60991991iiiiXPXP )(1 ???? 由此看出：此學生通過考試的可能性很小 ,大約只有千分之五 。 即 ?N ,取 14?N ,即至少要安裝 14條外線 。 例 8： 某調(diào)查公司受委托 ,調(diào)查某電視節(jié)目在 S 市的收視率 p ,調(diào)查公司將所有調(diào)查對象中收看此節(jié)目的頻率作為 p 的估計 ?p 。 試求系統(tǒng)正常工作的概率 。 若 21 kk＜ 均為整數(shù) ,一般先作如下修正后再用正態(tài)近似 )()( 121 ????? kkPkkP nn ＜＜ ?? 。 列維定理及其在極限求解方面的應用 列維定理 ：設隨機變量 nXXX , 21 ? 相互獨立 ,服從同一分布 ,且有有限的數(shù)學期望 ? 和方差 2? ,則隨機變量??n1nXYni i?? ?? 的分布函數(shù) )(xFn 滿足如下 極限式 dtexnnXPxF x tni innn ?????????? ???? 21221))((l i m)(l i m???, 其中 x 是任何實數(shù) 。 林德伯格定理可以解釋如下