【正文】 )61,6000(~ BX 于是 100061 6000 ??? npEX 10006565616000)1( ??????? pnpDX 要估計(jì)的規(guī)律為 ? ?6010001001616000 ＜＜ ???????? ? XPXP, 相當(dāng)于在切比雪夫不等式中取 60?? ,于是 ? ? 26016010001001616000 DXXPXP ?????????? ? ＜＜ 由題意得 76 36 00110 00651601 2 ???????? DX 即用切比雪夫不等式估計(jì)此概率不小于 。 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用 設(shè) ? ?nX 為獨(dú)立隨即變量序列 ,若存在 0＞? ,滿足 0)(1l i m122 ????????ni IInn XEB?? ?, 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 則對(duì)任意的 x ,有 dtxXBPni iinn ?? ???? ??????? ?? x 2t12e21)(1l i m π? 其中 iiXE ??)( , 2)( ??IXD , 22221)( nin XDB ??? ????? ? 例 10：一份考卷由 99個(gè)題目組成 ,并按由易到難順序排列 。 現(xiàn)在要保證有 90％的把握 ,使得調(diào)查所得收視率 ?p 與真實(shí)收視率 p 之間的差異不大于 5％ 。 解：記 n =100, nY 為 100 個(gè)部件中正常工作的部件數(shù) ,則 nY ～ b(100,)； 90)( ?nYE ； 9)1()( ??? pnpYD n 所求概率為 )()3 (1)3 (1)85( ?????????????nYP ② 已知 ?,n ， 求 y 。 (2) 若記 )(y??? ,則由棣莫弗 — 拉普拉斯極限定理給出的近似式 ?????? )()( yyYP n ， 可用來(lái)解決三類計(jì)算問題：（ 1）已知 yn, 求 ? ；（ 2）已知 ?,n 求 y 。 定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ? ?nX ,不管 ),2,1( niX i ?? 服從什么分布 ,只要他們是分布 ,且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ,那么 ,當(dāng) n 充分大時(shí) ,這些隨機(jī)變量之和 ??ni iX1近似地服從正態(tài) 分布 ),( 2?? nnN 。 例如 ,進(jìn)行觀測(cè)時(shí) ,不可避免地有許多引起觀測(cè)誤差的隨機(jī)因素影響著我們的觀測(cè)結(jié)果 ,其中有些誤差是由測(cè)量?jī)x器的情況引起的 ,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測(cè)站個(gè)人的誤差 ,這些誤差大多數(shù)是由于視覺或聽覺引起的 等等 。 2 中心極限定理的應(yīng)用 前言 大數(shù)定律 討論的 是多個(gè)隨機(jī)變量的平均 ??ni iXn 11 的漸近性質(zhì) ,但沒有涉及到隨機(jī)變量的分布的問題 。 根據(jù)辛欽大數(shù)定律知 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 1)611(lim 21 2 ?????? ＜ini in EnP ?? 從而 1lim 1 ?? ??? nG nn dxdx ?? 大數(shù)定律 的意義 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨即現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué) ， 而隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來(lái) 。 事實(shí)上 ,用觀察值的平均去作為隨機(jī)變量的均值在實(shí)際生活中是常用的方法 。 辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用 我們已經(jīng)知道 ,一個(gè)隨機(jī)變量的方差存在 ,則其數(shù)學(xué)期望必定存在；但反之不成立 ,即一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在 ,則其方差不一定存在 。 伯努利大數(shù)定律提供了用頻率來(lái)確定概率的理論依據(jù) 。 例 2：使用某 儀器 測(cè)量已知量 a ,設(shè) n 次獨(dú)立得到的測(cè)量值為 ?? , 21 nXXX 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應(yīng)用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在期望的 ? 鄰域的概率 。 但是 ， 任何事情的發(fā)生、發(fā)展都具有一定的客觀規(guī)律 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 ,起源于 17世紀(jì) ,發(fā)展到現(xiàn)在 ,已經(jīng)深入到科學(xué)和社會(huì)的許多領(lǐng)域 。較多文獻(xiàn)給出了不同條件下存在的大數(shù)定律和中心極限定理，并利用大數(shù)定律和中心極限定理得到較多模型的收斂性。 本文共分 3章 ,每章結(jié)合具體問題展開討論 ,內(nèi)容涉及對(duì)基本公式概念的理解 ,對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的剖析 ,定理的具體應(yīng)用 ,結(jié)合實(shí)際 ,分析解答了有關(guān)的典型例題 。 它的結(jié)論也可敘述為：大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必 然的數(shù)量規(guī)律 。 （ 4）它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù) 。 解：依題意 ,可以將觀察結(jié)果 ?? , 21 nXXX 看作是相互獨(dú)立具有相同分布的隨機(jī)變量 。 若把這枚硬幣連拋 10 次 ,則因?yàn)?n 較小 ,發(fā)生大偏差的可能性有時(shí)會(huì)大一些 ,有時(shí)會(huì)小一些 。 辛欽大數(shù)定律 ：設(shè) ??iX 為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 ,若 iX 的數(shù)學(xué)期望存在 ,則??iX 服從大數(shù)定律 ,即對(duì)任意的 0＞? ,有 1))(11(l i m 11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP 成立 。 反之 ,用概率方法來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的一些問題 ,也是概率論的重要研究方向之一 [3]。 人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí) ， 也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布 ,即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量 ,它們的和 分布也近似服從正態(tài)分布 ,自然要提出這樣的問題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在 ,從而在概率論中占有如此重要的地位？應(yīng)如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象的這一客觀規(guī)律性呢？事實(shí)上 ,這正是客觀實(shí)際的反映 ,中心極限定理就是 概率論中論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱 。 此外 ,還可以舉出很多類似的例子 ,這里具體舉出一個(gè)例子 [4]。 棣莫弗 拉普拉斯定理是概率論歷史上的第一個(gè)中心極限定理 ,它是專門針對(duì)二項(xiàng)分布的 ,因此稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似” 。 ① 給定 yn, ， 求 ? 。 問至少要多少電能 ,才可以有95％的可能性保證此車間正常生產(chǎn) 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 由大數(shù)定律 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,頻率nYn與概率 p 很接近 ,即用頻率作為 p 的估計(jì)是合適的 。 試計(jì)算該學(xué)生通過考試的可能性多大？ 解：設(shè)若學(xué) 生答對(duì)第 i 題 ,則 1?iX ；若學(xué)生答錯(cuò)第 i 題 ,則 0?iX 。 從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是 較低 的 。 本次畢業(yè)論文的撰寫 ,使我擴(kuò)大了知識(shí)范圍 ,鍛煉了觀察和思維能力 ,進(jìn)一步提高了動(dòng)手和實(shí)踐能力 。 我不是您最出色的學(xué)生，而您卻是我最尊敬的老師 。 [2]茆詩(shī)松 ,程依明等編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 133154。 [10]封希媛 .大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際中的應(yīng)用 [J]青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)第二版， 2021。 [6]張從軍 ， 劉亦農(nóng) ， 肖麗華 編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M],復(fù)旦大學(xué)出版社 ,2021： 110120。 當(dāng)然也要感謝曾經(jīng)教育和幫助過我的所有老師，我的點(diǎn)滴成就都來(lái)自你們，感謝四年來(lái)對(duì)我的栽培和教育。 總之這兩大 定理的正確應(yīng)用有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)過程的試驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率 ,有助于把握隨機(jī)事件間的相互影響關(guān)系 ,為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息 ,成為我們解決問題的有效工具 。 利用數(shù)學(xué)方法 ,定量地對(duì)醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)分析 ,使其結(jié)論具有可信度 ,更有利于促進(jìn)對(duì)病人的對(duì)癥施治等 。 又因?yàn)? )1001()( 99 199 199 1 ???? ??? ??? ii ii i ipXE, )100)(1001()( 99 199 1299 ???? ?? ?? ii i iiXDB 所以該學(xué)生通過考試的可能性為 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 ???????????????????????? ? ?? ?? 60991991iiiiXPXP )(1 ???? 由此看出：此學(xué)生通過考試的可能性很小 ,大約只有千分之五 。 即 ?N ,取 14?N ,即至少要安裝 14條外線 。 例 8： 某調(diào)查公司受委托 ,調(diào)查某電視節(jié)目在 S 市的收視率 p ,調(diào)查公司將所有調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的頻率作為 p 的估計(jì) ?p 。 試求系統(tǒng)正常工作的概率 。 若 21 kk＜ 均為整數(shù) ,一般先作如下修正后再用正態(tài)近似 )()( 121 ????? kkPkkP nn ＜＜ ?? 。 列維定理及其在極限求解方面的應(yīng)用 列維定理 ：設(shè)隨機(jī)變量 nXXX , 21 ? 相互獨(dú)立 ,服從同一分布 ,且有有限的數(shù)學(xué)期望 ? 和方差 2? ,則隨機(jī)變量??n1nXYni i?? ?? 的分布函數(shù) )(xFn 滿足如下 極限式 dtexnnXPxF x tni innn ?????????? ???? 21221))((l i m)(l i m???, 其中 x 是任何實(shí)數(shù) 。 林德伯格定理可以解釋如下