2[1]1-23隨機(jī)現(xiàn)象-數(shù)學(xué)期望(存儲(chǔ)版)
【正文】 例中， 文 科 數(shù) 學(xué) 許多隨機(jī)變量都服從二項(xiàng)分布： ?n 次獨(dú)立射擊，每次命中率相同， X 為命中次數(shù) . ?一個(gè)硬幣拋 n 次， X 為正面出現(xiàn)次數(shù) . ?拋 n 個(gè)均勻骰子， X 為 1點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù) . ?某產(chǎn)品的次品率為 p , 任取 n 個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù) X. ?商店的 n 個(gè)顧客中，要求服務(wù)的人數(shù) X. (每個(gè)顧客要求服務(wù)的概率相同，并且相互獨(dú)立 .) 文 科 數(shù) 學(xué) 已知 100個(gè)產(chǎn)品中有 5個(gè)次品，現(xiàn)從中 有放回 地 取 3次，每次任取 1個(gè)，求在所取的 3個(gè)中恰有 2個(gè)次品 的概率 . 2 2 3 23{ 2 } ( 0 . 0 5 ) ( 0 . 9 5 ) 0 . 0 0 7 1 2 5P X C = = =表示所取的 3個(gè)中的次品數(shù)， ，于是所求概率為 則 設(shè) X例 1 解： 文 科 數(shù) 學(xué) 一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為 ，現(xiàn)隨機(jī)抽查 20 只，問(wèn) 20只元件中恰好有 ( 0 , 1 , , 2 0 )kk = L只 為一級(jí) 品的概率為多少？ 解 設(shè) X 表示 20只元件中為一級(jí)品的只數(shù)， ~ ( 2 0 , 0 . 2 )Xb2020{ } 0 . 2 0 . 8 ( 0 , 1 , 2 0 )k k kP X k C k= = = L這個(gè)試驗(yàn)可以看作伯努利模型。 0187。求買 n 張彩票能中獎(jiǎng)的概率 pn .另外由于中獎(jiǎng)率是千分之一，買 1000張彩票中獎(jiǎng)概率是否接近于 1. 例 7 彩票中獎(jiǎng)問(wèn)題 設(shè) X 表示 n 張彩票中中獎(jiǎng)的票數(shù)，則 ~ ( , 0 . 0 0 1 )X b n即 { } 0 . 0 0 1 ( 1 0 . 0 0 1 )k k n knP X k C = = 解： 文 科 數(shù) 學(xué) 設(shè) X 表示 n 張彩票中中獎(jiǎng)的票數(shù)，則 ~ ( , 0 . 0 0 1 )X b n即 { } 0 . 0 0 1 ( 1 0 . 0 0 1 )k k n knP X k C = = 解： 則 n 張彩票能中獎(jiǎng)的概率為 { 1 }np P X=? 1 { 0 }PX= =1 0 .9 9 9 n=n 1000 20xx 3000 4000 5000 pn 文 科 數(shù) 學(xué) 八、 正態(tài)分布 定義 1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 22()21( ) ,2xf x e xmsps= ? + ?其中 , ( 0 )m s s 則稱 X 服從參數(shù)為 ,ms的正態(tài)分布，記為 2~ ( , )XN ms為常數(shù)， 12ps)(xfm x文 科 數(shù) 學(xué) 定義 2 當(dāng) 0 , 1ms==時(shí)， X 的概率密度為 221( ) ( ) ,2xx f x e xjp= = ? + ?則稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 ~ ( 0 ,1 )XN12p()x?0m= x文 科 數(shù) 學(xué) ),(~ 2??NY 時(shí)， )|(| ??? ??YP)2|(| ??? ??YP9 9 7 )3|(| ??? ??YP]3,3[ ???? ??可以認(rèn)為， Y 的取值幾乎全部集中在 的區(qū)間內(nèi)。 文 科 數(shù) 學(xué) 1() kkkE X x p??? ?1kkkxp???設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 ),3,2,1(,}{ ???? kpxXP kk簡(jiǎn)稱 期望 或 均值 ，記為 E(X). 則稱級(jí)數(shù) 的和為 X 的 數(shù)學(xué)期望 。 采用平方是為了保證一切差值 都起正的作用 . EXX ??[ | ( ) | ]E X E X? 2{ [ ( ) ] }E X E X文 科 數(shù) 學(xué) 若 X 的取值比較分散， 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值 若 X 的取值比較集中， 則方差較?。? 則方差較大 . 對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 ( ) ( )D X X?為 X 的 方差 。 。 例 文 科 數(shù) 學(xué) 方差的定義 用什么來(lái)衡量 X 與 E ( X )的偏離程度？ 在實(shí)際問(wèn)題中常常關(guān)心隨機(jī)變量與均值的偏離程度， ?[ ( ) ]E X E X 合理 ,但是存在正負(fù)相消，不可行 。車工小張 的平均值呢？ 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算 例 1 分析： 文 科 數(shù) 學(xué) nnnnnnnn 3210 3210 ???????可以得到 n 天中每天的平均廢品數(shù)為 一般來(lái)說(shuō) ,若統(tǒng)計(jì) n天 , (假定小張每天至多出三件廢品 ) 由 頻率和概率的關(guān)系 ， 概率代替頻率，得平均值為 在求廢品數(shù) X 的平均值時(shí)，用 3210 3210 pppp ??????? 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算 我們就用這個(gè)數(shù)作為 隨機(jī)變量 X 的平均值 . 這樣得到一個(gè)確定的數(shù)。計(jì)算得： 67N 179。 例 5 人身保險(xiǎn)問(wèn)題 分析： 公司收入為 120*10 000=120萬(wàn)元 設(shè) X 表示 10 000人中意外死亡的人數(shù)，則 ~ ( 1 0 0 0 0 , 0 . 0 0 6 )Xb即 1000010000{ } 0 . 0 0 6 ( 1 0 . 0 0 6 )k k kP X k C = = 公司虧本意味著： 死亡人數(shù)超過(guò)了 120人 . 解： 文 科 數(shù) 學(xué) 設(shè) X 表示 10 000人中意外死亡的人數(shù)，則 ~ ( 1 0 0 0 0 , 0 . 0 0 6 )Xb即 1000010000{ } 0 . 0 0 6 ( 1 0 . 0 0 6 )k k kP X k C = = 解： 則公司虧本的概率為 { 1 2 0 }PX 1 { 1 2 0 }PX=
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