【正文】 ，即 nT?? 等比數(shù)列的綜合問題，其實并不是很 難，然而這類問題的考察，常常會伴有大量的計算與“丑陋”而又“粗獷”的式子。重點是對等差等比數(shù)列性質(zhì)的考查，對于這種選擇題型，抓住題目所給條件，細心分析，關注兩種數(shù)列之間的聯(lián)系，就一定能得出結(jié)論。 解析： 首先分析問題 ,對于第一問說 ??na 是由 函數(shù) ()fx的圖像的頂點的橫坐標構成的，這里充分的利用了數(shù)列的函數(shù)特點，成功地將數(shù)列問題“嫁接 ”在了我們已經(jīng)非常熟悉的一元二次方程的“樹干”上，這類題型在高考中很是常見，只要學生們能從熟悉的知識入手，從而聯(lián)想到一個可行的解決方案，那么接下來的事，就水到渠成了。利用錯位相減法求和是一種非常重要的求和方法，這種方法的計算過程較為復雜，對計算能力的要求較高，應加強訓練，并注意通過訓練，掌握在錯位相減過程中幾個容易出錯的環(huán)節(jié)。 而第二問是解不等式 1nnbb?? ，對于解不等式，我們常常能想到是作差和相除，不妨我們嘗試一下相除， ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n ???? ???? 數(shù)列綜合題習題課 第 14 頁 共 36 頁 ∴? ? ? ?0114 151514l o g151411514l o g15144141????????????????? ?? nnnnbbnnnn ，于是 14n? ，即取 15n? 時，1nnbb?? 。而裂項相消法就是把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前 n 項和變成首尾若干少數(shù)項之和，從而求出數(shù)列的前 n 項和。 下面要分析一下 nS 的構造，由于 nS 受 ? ? 11??n 的影響，必須對其進行討論， 故先考慮當 n 為偶數(shù)時， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 21 2 1 3 2 1 11 2 1 3 7 2 1 2 2 2n n n n n nnS a a a a n n n? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 再考慮當 n 為奇數(shù)時， ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 2 1n n n nS a a a a a a a??? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?21 1122nn n n n nS a n? ??? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?1 11 2nn nnS ? ???，故選 A。考查方式主要有三點，一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關系，二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，三是考查與數(shù)列問題有關 的不等式的證明問題。使同學們在以后的學習中善于總結(jié)知識間的聯(lián)系。 所以當 2m?? ，函數(shù) 2()f x x? 是一個偶函數(shù)，圖像關于 y 軸對稱， 021 ??xx 時必有? ? ? ?21 xfxf ? 。 數(shù)列綜合題習題課 第 21 頁 共 36 頁 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，并且滿足 ? ?112 , 1 .nna na S n n?? ? ? ? （ 1）求 ??na 的通項公式； （ 2）令 45nnnTS???????，問是否存在正整數(shù) m ，對一切正整數(shù) n ，總有 nmTT? ？若存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由。可以通過“它是什么？如何表示？能否畫出圖像？能否用其他形式表示？”這樣的話來提示自己挖掘題目的深層含義。故只要比較 4n 與 3 10n? 的大小即可。遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法。通過此題希望同學們理解遞推公式的作用與處 理方法。 對于第二問，是要我們求 數(shù)列 {}nna 的前 n 項和 nS 。到這里我們就完整的把問題全部解決了，對于此類問題的解決，化“抽象”為“具體 ”、化繁為簡、先分后和以及正難則反等策略的運用是非常有效的，同學們在平時的學習中要注意體會。 于是可得 22 2 2 223 3 3 3nnTn? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? ? ? ?? ? ? ? 兩式 相減得 , 211 2 2 2 213 3 3 3 3nnnTn?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 223 1 ,33nnn??? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 故12 2 ( 3 ) 29 1 3 933 3nn nnnnTn??? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 所有的準備工作都做好了，下面來求 nS 。所以 {}nb 是公比為 32 的等比數(shù)列，且 首項是 ,32121 ??? aab由此可寫出 ? ?2 1, 2 ,3nnbn??? ? ???????。 例 1 設 ? ?1 2 2 15 5 21 , , , 1 , 2 ,3 3 3n n na a a a a n??? ? ? ? ? ??? （ Ⅰ ）令 1 , ( 1, 2. ... ..)n n nb a a n?? ? ?求數(shù)列 {}nb 的通項公式； （ Ⅱ ）求數(shù)列 {}nna 的前 n 項和 nS . 選題意圖： 此題將兩個數(shù)列“糾纏”在一起，通過相互兩者之間的相互聯(lián)系，互相求出。 教學重點與難點 掌握各知識點之間的內(nèi)部聯(lián)系，能熟練運用所學知識，進行解題。第一問到此便解決了。同學們?nèi)菀捉邮?，思路也比較清晰，只要在解題中注意細節(jié)，解題就能很順利。 ∵111( ) 1 6 2 7 3 ng n n ?? ? ? ?是關于 n 的增函數(shù)， ∴當 2n? 時， ()gn 取最小值 18，∴ ? 本題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和等知識。再看看條件②說在定義域內(nèi)存在 12,xx，使得 120xx??，但 12( ) ( )f x f x? 。 選題意圖： 此題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和等知識。由于圖像是函數(shù)的一種重要表示形式，所以有些數(shù)列問題借助其對應函數(shù)的圖像可以得到直觀形象的解答，同時有些函數(shù)問題，例如求函數(shù)解析式，也可以借助數(shù)列中的相關知識進行求解。 數(shù)列綜合題習題課 第 16 頁 共 36 頁 解析： 先考慮 2()f x x x??的對稱軸為 21??x ，即在 ?????? ???? ,21x時，函數(shù)為增函數(shù)。所謂倒序相加法即如果一個數(shù)列 ??na ，與首末兩項等距離的兩項 數(shù)列綜合題習題課 第 15 頁 共 36 頁 之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫 和倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和，進而求出數(shù)列的前 n 項和。 解析： 數(shù)列綜合題習題課 第 13 頁 共 36 頁 等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，對于我們來說是很 容易的，畢竟我們有現(xiàn)成的公式可以套用，那么如果把等差與等比數(shù)列糅合在一起，導致項與項之間沒有了明顯的關系，你還能作出來嗎？錯位相減法，就是為了培養(yǎng)和訓練學生的“創(chuàng)造”思想的。 數(shù)列綜合題習題課 第 12 頁 共 36 頁 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項為 1 4a? ，公比為 1?q 的等比數(shù)列， nS 是其前 n 項和，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列。 選題意圖： 此題是在數(shù)列的知識框里鑲上了函數(shù)知識，兩類知識結(jié)合的天衣無縫，即考查了數(shù)列求和的知識，又考查了函數(shù)的最值點等相關知識。 例 3 假設 1 2 3 4, , ,a a a a是 一 個 等 差 數(shù) 列 ， 且 滿 足 130 2, ? ? ? 若? ?2 1, 2, 3, 4 .nanbn?? 給出以下命題：（ 1）數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列；（ 2） 2 4b? ；（ 3） 4 32b? ；（ 4） 24256bb? 。 對于第二問，由于 ? ?45 nnabnak?? ，這個關系式很復雜，我們可以不關注其“長相”，依然從深層去理解，緊抓問題之間的關系，聯(lián)系第一問我們可得 14 3 4 3nnab n?? ? ? ，故1nnab n??，從而 11 .43n nnb ??? ? 到這里我們就把剛剛題目中的“隱性信息”轉(zhuǎn)化成了“顯性信息”，接下來的求解就可水到渠成。閑話不多說我們來看看這道題。 而第二問要我們證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，而條件給我們的只是有關前 n 項和 nS 之間的關系，所以第二問解題的關鍵就是要找出 nS 與 na 之間的關系，這里仍然考察 nS 與 na的關系。 然而將這些知識綜合在一起來考查，學生們往往感覺比較困難， 針對學生的認知規(guī)律，本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的 教學方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識 ，為學生積極思考、自主探究搭建 了理想的平臺，讓學生見識到這類題型的考查方式與解題的基本思路，為學生后來更深一層的研究 數(shù)列綜合題習題課 第 3 頁 共 36 頁 數(shù)列問題打下基礎 . 教學重點與難點 通過對等差、等比數(shù)列通項公式的運用，滲透函數(shù)與方程思想，以及對數(shù)列前 n 項和 nS 與數(shù)列 ??na 之間的關系理解 . 教學方法 講授法 教具 粉筆、直尺 等差數(shù)列的綜合問題 方法引導： 解決等差數(shù)列的綜合問題時，首先要熟練掌握等差數(shù)列的定義，能夠用定義法或等差中項法判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列；其次要熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式，能夠用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相關問題。也就是說，我們所學知識都來源于實踐，最后還要應用于生活。其次， 數(shù)列這一章蘊含著多種數(shù)學思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學本身也包含著豐富的數(shù)學方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念、公式的理解，而且運用數(shù)學思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決數(shù)列問題 。 function。數(shù)列作為離散函數(shù) 的模型，具有函數(shù)的性質(zhì)，又有自己獨特的遞推關系，使得他與高中數(shù)學的其他部分有著密切的聯(lián)系，又具有自己鮮明的特征，因此是高考重點考察的內(nèi)容之一。 選題意圖： 此題以方程為背景，綜合考查了數(shù)列 ??na 與其前 n 項和 nS 之間的關系、等差數(shù)列的定義、以及不等式的相關知識，對于學生的方程與函數(shù)思想、歸納與分析能力的訓練都有一定的好處，此題屬于常規(guī)題型，具有代表性，且問題也不 是很難，學生可以接受，解法也很普遍，具有示范性。 觀察 ⑤式 ∵ 5 2 0,n?? ∴ 3 2 12 0 ,n n na a a? ? ?? ? ? 數(shù)列綜合題習題課 第 5 頁 共 36 頁 ∴ 3 2 2 1 3 2 5,n n n na a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?又 215,aa?? 等差數(shù)列最鮮明的特征在此處展現(xiàn)出來了。這里也再次強調(diào)，對于數(shù)列問題而言，函數(shù)思想是必須具備的。同學們往往被這些附帶的東西迷惑，致使解題出現(xiàn)困難。 分析解答： 四個命題我們一個一個看，首先第一個命題說數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，由條件知4321 2,2,2,2 4321 aaaa bbbb ???? .不妨設 1 2 3 4, , ,a a a a 的公差為 d ，則 1 24ad??，又102a??，所以 12d??.易知數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，公比為 d2 ，故（ 1）正確；其次第二個命題，由于 ? ?23 2,3a a d? ? ? ，所以 22 24ab ??，故（ 2）正確；再次第三個命 題，由于 43 5,a a d? ? ? ，所以 44 2 32ab??，故（ 3）正確；最后第四個命題因為2 4 328a a a? ? ?，所以 24 824 2 2 2 5 6aabb ?? ? ?，故（ 4）正確 .故四個命題都是正確的，選D. 等差與等比數(shù)列的綜合問題，我們只要能熟悉它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，按部就班地從基本的想法試下去，就一定可以做出來 . 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項為 1 4a? 的等比數(shù)列，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列，則其公比 q