運用概率統(tǒng)計理論求極限所有專業(yè)(存儲版)
【正文】 近況來看：馬志明院士研究了估計無線傳感網(wǎng)絡中的覆蓋概率問題，并重點研究了如何利用 Stein Chen 方法來對收斂速度進行估計；又如，嚴加安院士在兩類空間 的基礎上，研究了泛函表示定理是如何有效的應用在估計金融風險問題上的；還有陳木法院士對于中心極限定理的研究，他指出在不同的意義下以收斂速度的角度作為切入點，研究了連續(xù) Markov過程涉及的收斂速度及相關應用問題 . 就目前概率統(tǒng)計極限理論的研究，在很大的程度上，強調(diào)了與其他學科的有機結合與交叉 . 如文章所講的內(nèi)容，是用在數(shù)學中的極限求取問題上的，這種結合對問題的解決是有一定幫助的 . 這種結合勢必會牽涉到概率統(tǒng)計理論的一些重要理論分支，比如，時間序列、隨機過程和風險理論等，這種各個領域理論的交叉潛力令我們看到， 概率統(tǒng)計極限理論在未來重要的應用價值和越來越廣闊的發(fā)展前景 . 回到今天的重點，文章的研究內(nèi)容是概率統(tǒng)計方法應用在極限理論中，所以，在了解了概率的相關知識后，接下來很有必要對極限理論做一個簡單的介紹，在極限理論中存在著很多種的極限計算方法，不過這些方法不全都是方便和有效的，有一些是比較復雜的和特殊的，比如就有一些形式的數(shù)列極限是不容易進行計算的，或者說這種計算往往是十分困難的 . 把概率統(tǒng)計理論的知識，包括它的一些基本性質(zhì)，加入到極限問題的求取中有時候是可以很容易的進行計算的，尤其是對一些特殊形式的數(shù)列極限更 有研究的價值，因為它本身就是不容易用其它方法計算的 . 文章通過實際例子，闡述概率方法在極限計算中的應用 . 2 概率統(tǒng)計理論 在 極限求取中的應用 在通常情況下，我們遇到的數(shù)學極限問題都是非常簡單的，然而，當遇到的是比較復雜的一些極限求取問題時，除了可以利用羅必達法則和等價無窮小關系等來求解之外，還可以運用概率統(tǒng)計的思想 . 這種解題的思路只適用于在實際中遇到的十分復雜的 3 極限求取問題，尤其是用一般方法很難解出的情況，此時，往往數(shù)學分析中的其他方法顯得無能為力 . 下面僅從求取極限的角度來分析概率統(tǒng)計理論是如何應用在 極限中的，并用幾個實例來進行詳細說明 . 通過概率統(tǒng)計理論在解決數(shù)學極限求取問題的成功應用，溝通和建立了數(shù)學這個學科內(nèi)部不同領域之間的有機聯(lián)系與巧妙結合，進而讓我們看出概率統(tǒng)計方法在各個領域做到實際應用的可行性和廣泛性 . 文章通過概率統(tǒng)計方法來進行難度很大的極限的計算，以期使這種計算變得更加的簡便 . 2． 1 利用大數(shù)定律 求 極限 大數(shù)定律討論的是關于獨立隨機變量序列的平均結果的極限 ， 給出了取平均值的理論依據(jù) . 定義 1 概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理 ,稱為大數(shù)定律 . 定理 1（切比 雪夫大數(shù)定律） 設 12,n? ? ? 是一列相互獨 立同分布的隨機變量，它們的方差有界，即存在常數(shù) c0，使有 , 1, 2,iD c i? ?? ,則對 0???， 1111l im ( ) 1nniin iiPEnn? ? ??? ??? ? ???. 定理 2（強大數(shù)定律） 設 ? ?nX 是一 相互獨 立的隨機變量序列， 且 n21n DXn?? ???， 則 1111l im 0 1nnkkn kkP X E Xnn?? ??????? ? ???????????. 定理 3 (控制收斂定理 )若 ? ?nX 為隨機變量序列 ， nXY? ， Y可積， 且n(lim ) 1nP X X?? ??， 則nlimn EX EX?? ?. 涉及多重積分求取的問題，通常是比較困難的，如果再加上求極限的話，那么就會變得更困難 . 隨機變量的引入，基于上述的強大數(shù)定律和控制收斂定理，可以使這種問題較易處理 . 例 1 求證 q p 0 時， 11 12100 12 1l im 1q q qnnp p pn nx x x pd x d xx x x q?? ? ? ? ??? ? ? ???. 證明 假設 ? ?nX 是 獨立同分布的隨機變量序列 ， n( 1)Xn? 服從 ( 0， 1) 上的 均勻分
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