【正文】 放，對(duì)照有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行一些指點(diǎn)、引領(lǐng)，就能很快地指導(dǎo)學(xué)生對(duì)剛學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)和總結(jié)。如，本章節(jié)、本單元的數(shù)學(xué)教與學(xué)的主要內(nèi)容共有：一個(gè)內(nèi)容，兩種關(guān)系、三條定理、四種判定、五種應(yīng)用，六種題型、七個(gè)補(bǔ)充等等。學(xué)生學(xué)完課本的基本內(nèi)容以后，可以運(yùn)用知識(shí)的主線，將整本立體幾何教材的知識(shí)點(diǎn)：定義、定理、判定、性質(zhì)、主要運(yùn)用等，編寫成一組提綱，可以形成一種清晰的網(wǎng)絡(luò)：主線：點(diǎn)、線、面、體及其相互關(guān)系。我想，有時(shí)我所教的學(xué)生數(shù)學(xué)高考成績(jī)略好些，可能立體幾何這一節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生掌握的好些功不可沒。２、無意中實(shí)現(xiàn)了寓研究性學(xué)習(xí)的培養(yǎng)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)和總結(jié)之中，如有的同學(xué)很高興地認(rèn)為，他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)題目是一個(gè)有新意的題，一但公布以后，大家發(fā)現(xiàn)實(shí)際上就是課本某道例題或作業(yè)的一個(gè)翻版，教室里會(huì)發(fā)出一點(diǎn)點(diǎn)笑聲。因?yàn)椋瓉沓煽?jī)較差的班級(jí)成績(jī)提高了，對(duì)原比這個(gè)班成績(jī)好的班級(jí)，無形中是一個(gè)有力的促進(jìn)。近幾年，作為分管教學(xué)的副校長(zhǎng)，我?guī)缀趺扛粢粌赡昃驼{(diào)任一個(gè)新班級(jí)任課，主要是選擇基礎(chǔ)較弱、有時(shí)干脆就是選擇數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最弱的班級(jí)進(jìn)行任教。大家都有發(fā)現(xiàn)，幾次討論你都沒有上交有新意的內(nèi)容，說明自己的主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性不強(qiáng)，對(duì)相關(guān)同學(xué)多多少少會(huì)有些促進(jìn)。而了解其它班的同學(xué)，好象立體幾何題是高考時(shí)比較容易失分的內(nèi)容。前面的畢業(yè)生，為后面的學(xué)弟、學(xué)妹們留下了豐富的知識(shí)寶庫(kù)。有過高中教學(xué)經(jīng)歷的教師都知道，進(jìn)入高一以后，學(xué)生一開始感到學(xué)習(xí)最困難的學(xué)科、學(xué)習(xí)壓力最大的學(xué)科，常常就是數(shù)學(xué)和物理，而數(shù)學(xué)的函數(shù)這一章，正是學(xué)生感到很難學(xué)好的內(nèi)容，請(qǐng)老師和正在學(xué)習(xí)的同學(xué)按此框架試試看，我自己的教學(xué)實(shí)踐證明，對(duì)不同層次的學(xué)生實(shí)驗(yàn)，都是很實(shí)用、很有效益的。用學(xué)生中的優(yōu)秀成果展示，讓學(xué)生看得見、摸得著、學(xué)得象，能讓一些優(yōu)生積極地影響其它同學(xué)、帶動(dòng)其它同學(xué)，長(zhǎng)期堅(jiān)持，可以有效地提高全體同學(xué)的學(xué)習(xí)品質(zhì)和素質(zhì)。鑒于以上認(rèn)識(shí)，我認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要讓學(xué)生充分地“動(dòng)”起來（本書后面有專門分析的文章）。４、對(duì)特別題型的解法和特別解法的技巧，不能僅僅是驚嘆和佩服，要學(xué)會(huì)在特殊性的當(dāng)中，盡可能地挖掘其普遍性、共性的東西。”數(shù)學(xué)的概念、定理、性質(zhì)的理解和應(yīng)用，常常以問題的形式來體現(xiàn)，數(shù)學(xué)教與學(xué)的效果檢測(cè)和評(píng)估，通常也是利用學(xué)生解題的正確率來分析。實(shí)踐中，老師不需要直接地給予，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，自己進(jìn)行摸索，老師在學(xué)生完成復(fù)習(xí)總結(jié)后，再在班級(jí)進(jìn)行一下結(jié)果的評(píng)比，學(xué)生會(huì)感到樂此不疲。圖表總結(jié)法數(shù)學(xué)概念、知識(shí)和方法的特點(diǎn)之一就是邏輯關(guān)系特別嚴(yán)謹(jǐn)，前后相關(guān)的聯(lián)系特別清晰，如果在教與學(xué)的過程中，學(xué)生能在教師的指導(dǎo)下，將所學(xué)概念、公式等，制成相關(guān)的圖表，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系、網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)圖，就能讓知識(shí)形成一種“知識(shí)鏈”，讓知識(shí)在學(xué)生的記憶和運(yùn)用中，由此及彼、由表及里，承上啟下、相輔相成，形成多種關(guān)系和角度的相互關(guān)聯(lián)、形成多角度的交叉記憶，提高記憶的準(zhǔn)確性和效率。當(dāng)然學(xué)習(xí)效率不是太高。數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)和總結(jié)，為什么不能借鑒這位老師的創(chuàng)意呢？受其啟發(fā)，我在數(shù)學(xué)實(shí)踐中也做了一些嘗試。他舉例所講的是魯迅作品的學(xué)習(xí)、分析和總結(jié)。當(dāng)時(shí)也是一種“死馬當(dāng)作活馬醫(yī)”，不是辦法的辦法。有時(shí)因突擊性的行政工作或參加會(huì)議，難免會(huì)有缺課現(xiàn)象。經(jīng)過一番討論，甚至是爭(zhēng)論，學(xué)生對(duì)平面幾何與立體幾何知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別有了比較好的理解，相關(guān)立體幾何的知識(shí)和概念也順利得到了鞏固。如何將學(xué)生可能出現(xiàn)的“負(fù)遷移”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢w移”，我曾經(jīng)設(shè)計(jì)過這樣一些問題與學(xué)生一道探索：判斷下列命題是否正確，如不正確，試舉出反例：１、垂直于同一條直線的兩條直線不可能是異面直線。（理科講授反三角函數(shù)時(shí)，同樣可以類比）。設(shè)計(jì)一些模棱兩可、甚至一些誘發(fā)學(xué)生思維暫時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的問題，在師生討論中得到甄別和認(rèn)識(shí)，然后獲得正確結(jié)果，顯然較之教師在教學(xué)中直接地給出正確的結(jié)論，讓學(xué)生記憶要牢固的多。但教室內(nèi)的氣氛肯定受影響，因?yàn)槲移綍r(shí)上課就喜歡并提倡學(xué)生隨時(shí)提問，經(jīng)常在學(xué)生的提問下改變自己的安排，學(xué)生已經(jīng)習(xí)以為常了。為了引起學(xué)生的興趣，也適當(dāng)?shù)卦诠_課上進(jìn)行一點(diǎn)點(diǎn)研究性學(xué)習(xí)的探索，我出了一道簡(jiǎn)單的立體幾何問題：在一個(gè)正方體中，尋找正方體的棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線所組成的異面直線對(duì)，并求出兩異面直線所成角的度數(shù)。（說明：本例可抽取其中任何一種零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，編寫成一道很好的字母k的取值范圍填空題）本例中根據(jù)圖２分析，不但可以判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而且還可以進(jìn)一步判斷出零點(diǎn)的大致范圍。試根據(jù)k的取值情況，討論方程f(x)=g(x)取零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。（在橫線上填“” 或“”） （三）回歸課本：（指導(dǎo)學(xué)生看書，摘記重要內(nèi)容或補(bǔ)充說明）（四）效果檢測(cè)反饋（ ）下列結(jié)論正確的是 （ ） A．冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn) B．當(dāng)a0時(shí)，冪函數(shù)是減函數(shù)C．當(dāng)a1時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù) D．既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)下列函數(shù)中，在（，0）上是增函數(shù)的是（ ）若冪函數(shù)的定義域分別為M、N、P，則M=______________________, N=____________________, P=____________________(五)本課小結(jié):(另附)(六)作業(yè):P73 第題 四、教與學(xué)反思(請(qǐng)同學(xué)課后填寫):附：研究性學(xué)習(xí)：（實(shí)驗(yàn)、探究、分析冪函數(shù)共有多少種類型圖象，以下十一種是否均為冪函數(shù)圖象，如是列出一個(gè)代表性冪函數(shù)式，如不是說出理由） （1） （2） （3） （4）。拋物線與雙曲線的一支，有沒有區(qū)別，為什么雙曲線有漸近線，而拋物線沒有漸近線？通過實(shí)驗(yàn)和邏輯證明的同時(shí)映證，可以幫學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)的許多新授課程和內(nèi)容，采用此法進(jìn)行教學(xué)，能夠讓數(shù)學(xué)知識(shí)串成線、鋪成面，前后呼應(yīng)、相輔相成，及時(shí)加強(qiáng)鞏固已學(xué)知識(shí)，引領(lǐng)新學(xué)知識(shí)，實(shí)踐證明效果較好。運(yùn)用此法進(jìn)行教學(xué)，可能一開始教學(xué)進(jìn)度慢一點(diǎn)，但及時(shí)鞏固已學(xué)內(nèi)容，讓知識(shí)承上啟下，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在講授了指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和圖象性質(zhì)以后，我安排了以下師生共同研究性學(xué)習(xí)的問題：１、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，它的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝－1，請(qǐng)按從小到大的順序排列f(1/3), f( 2/3 ), f( 3/2 )?？磥恚行?shù)學(xué)新授課，講練結(jié)合的效果，可能明顯好于以教師講授為主的課堂教學(xué)模式。例3 已知是奇函數(shù)，且，求。否則，這些學(xué)生的數(shù)學(xué)很快就會(huì)與班級(jí)的整體水平落下一定的距離，形成數(shù)學(xué)成績(jī)明顯的兩極分化）同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生在解決問題時(shí)，化繁為簡(jiǎn)、化難為易的能力，無形中提高了學(xué)生的素質(zhì)。上黑板的同學(xué)之中，絕大多數(shù)同學(xué)都給出了正確的答案，讓在后面聽課的原任課老師，既高興又感到不可思議？“沒有想到平時(shí)見到生人就害怕的農(nóng)村孩子，在數(shù)學(xué)課堂上也能如此活躍！沒有想到高中教師到鄉(xiāng)下教一節(jié)初中數(shù)學(xué)課，也能得到農(nóng)村孩子的如此歡迎！”下鄉(xiāng)開設(shè)示范課取得了非常滿意的結(jié)果。數(shù)學(xué)教學(xué)無論是知識(shí)體系，還是學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，新課講授都是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán)。本人在中學(xué)工作三十余年，先后擔(dān)任過近二十屆高三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)和初中奧賽班的數(shù)學(xué)教學(xué)，在國(guó)家級(jí)重點(diǎn)、省重點(diǎn)、市重點(diǎn)、鄉(xiāng)村“五、七”中學(xué)等四所中學(xué)，均擔(dān)任過校長(zhǎng)、分管教學(xué)副校長(zhǎng)等教學(xué)管理工作，一直堅(jiān)持在教學(xué)第一線講授中學(xué)數(shù)學(xué)課程。教師要在課堂教學(xué)過程中大力開發(fā)學(xué)生的智力、激發(fā)學(xué)生的興趣、提高他們的能力、磨練他們的意志、影響他們的人格和品德、陶冶他們的情操等。在新一輪的課程改革中，教學(xué)模式和教學(xué)過程的改革更是一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的教材教法研究，教學(xué)模式、教學(xué)方法、教學(xué)過程的研究，必將出現(xiàn)更加喜人的局面。數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有特殊的地位，它使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思路有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界?！薄耙环N科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步?，F(xiàn)實(shí)確實(shí)是這樣，讓我們仔細(xì)看看當(dāng)今五彩繽紛、日新月異的世界：物理學(xué)、化工學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等傳統(tǒng)學(xué)科中，數(shù)學(xué)的運(yùn)用越來越深入，越來越廣泛，是人們認(rèn)為隨著時(shí)代的發(fā)展理所當(dāng)然的事。只可惜因?yàn)槲覀兊南笮位瘽h字，在沒有引入阿拉伯?dāng)?shù)字和其它字母符號(hào)以前，表達(dá)這樣的數(shù)字關(guān)系，特別是復(fù)雜的數(shù)式關(guān)系時(shí)，是那樣的復(fù)雜和困難，以致于目前我們可以讀到的，我們的祖先所寫作的有關(guān)數(shù)學(xué)理論研究的許多著作，看起來是那樣的生澀難懂，即使有大學(xué)本科以上學(xué)歷的數(shù)學(xué)專業(yè)師生，也未必能夠很順暢地進(jìn)行閱讀和理解。”中國(guó)是一個(gè)歷史悠久的文明古國(guó)，中華民族同時(shí)又是在數(shù)學(xué)探究和運(yùn)用方面，為人類文明發(fā)展史做出過重要貢獻(xiàn)、勤勞智慧的偉大民族。教育是民族振興的基石。在市、省、國(guó)家級(jí)三所重點(diǎn)高中工作期間，均分別擔(dān)任過校長(zhǎng)、教學(xué)副校長(zhǎng)，對(duì)各種基礎(chǔ)的高中學(xué)生情況有一定研究?！≡撏居啄陠矢?，從小隨外婆多處漂泊。即使在擔(dān)任學(xué)校行政管理工作的前十年，仍然堅(jiān)持任兩個(gè)高中班級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，同時(shí)兼任班主任。新世紀(jì)科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要特征是：“在幾乎所有的科技領(lǐng)域，各門科學(xué)都有一種更為數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)（摘自《世紀(jì)科技論壇報(bào)告》）”。在近千年“學(xué)而優(yōu)則仕”的鄉(xiāng)試、縣試、殿試中，“論語”、“中庸”、“大學(xué)”、“三綱五常”等文言軟書（個(gè)人將毛筆書寫的文字，姑且稱之為一種軟書）的“語言學(xué)科”是主要考試和評(píng)判的內(nèi)容，其它一些實(shí)用理論和技術(shù)，均被歸之為不登大雅之堂的“技”、“藝”、“術(shù)”，被排斥在進(jìn)取仕途的考試內(nèi)容和過程之外！久而久之，有智、有才，試圖通過考試達(dá)到“學(xué)而優(yōu)則仕”的年輕一代，在家庭和長(zhǎng)輩們的干涉下，絕大多數(shù)放棄了自己在“技”、“藝”、“術(shù)”等方面的愛好、探討和研究，一個(gè)本來具有四大發(fā)明的泱泱大國(guó)，逐漸落伍成了西方列強(qiáng)和某些小國(guó)欺辱的對(duì)象！那些運(yùn)用中華民族四大發(fā)明之一、火藥發(fā)明的侵略者，用洋槍洋炮打開了中華古國(guó)的大門，到處燒殺搶掠，以血的教訓(xùn)告訴我們：放棄“技、藝、術(shù)的研究，就會(huì)落后，落后就要挨打”。教育部最新頒布的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。二十世紀(jì)醫(yī)學(xué)檢查、診斷學(xué)中，出現(xiàn)過一例非常有趣的發(fā)明，國(guó)外研究放射學(xué)科的醫(yī)生，在輔導(dǎo)自己孩子的小學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)突發(fā)靈感：運(yùn)用數(shù)學(xué)中最最簡(jiǎn)單的加減法原理，輔以計(jì)算機(jī)的程序控制和操作，在攝片中將短時(shí)間內(nèi)不變的人體皮肉、骨格、毛發(fā)等影像“做減法”減去，將不斷流動(dòng)的血液影像“做加法”增加強(qiáng)化，拍攝出了世界上第一張清晰的血流圖像，發(fā)明了一系列醫(yī)學(xué)檢測(cè)機(jī)械。數(shù)學(xué)幾乎無處不在，數(shù)學(xué)的應(yīng)用還將向更廣泛、更深入的方向發(fā)展，這是人類早已形成的共識(shí)。我們可以預(yù)言，隨著時(shí)代的進(jìn)步，科技的發(fā)展、社會(huì)的需求，對(duì)從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的老師們，必將提出越來越高的要求。教育科學(xué)研究認(rèn)為：課堂教學(xué)是一個(gè)由多種因素組成的復(fù)雜系統(tǒng)。由于中小學(xué)教師每天面對(duì)的是感情豐富、靈活多變、千差萬別、朝氣蓬勃的青少年學(xué)生，任何教師很難完全應(yīng)用現(xiàn)有的，哪怕是正式出版的名人名師教案、集體備課教案，去直接地、刻板地在課堂上進(jìn)行教學(xué)。當(dāng)面聆聽過徐利治、常庚哲、周伯熏、蘇淳、單土尊等大師的教誨，并得到過他們的多次個(gè)別指點(diǎn)和書信指導(dǎo)，深深感到學(xué)無定法，教學(xué)更無定法，教學(xué)研究和探索永無止境。在數(shù)學(xué)新課講授時(shí)，如果您一走上講臺(tái)，就能牢牢地吸引住學(xué)生的注意力，教學(xué)中能激發(fā)學(xué)生的興趣，啟迪學(xué)生的思維，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，教學(xué)過程中又能很好地實(shí)現(xiàn)師生間的互動(dòng)，那么，這節(jié)數(shù)學(xué)課就有了很大的成功希望。經(jīng)過實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)教材中的例題，教師沒有在課堂上照搬照抄，學(xué)生在課堂上常常有新鮮感，反而能激發(fā)學(xué)生閱讀教材的積極性，解決學(xué)生那種“數(shù)學(xué)書沒有看頭，老師都講了”，其實(shí)老師講了學(xué)生不一定都會(huì)的矛盾。題目的條件和結(jié)論略做改變，公式的應(yīng)用略作變形，這些學(xué)生往往就會(huì)感到不能適應(yīng)。兩節(jié)課堂教學(xué)結(jié)束前，我安排了如下反饋練習(xí)來檢測(cè)教學(xué)效果：1．函數(shù)的圖象 　　　　　　　　　　?。? ） （A）與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. （B）與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.　　　　　　　　　　　　　　　　?。? ）（C）與的圖象關(guān)于Ｘ軸對(duì)稱. （D）與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱2．函數(shù)是 （ ）(A)周期為的偶函數(shù) (B)周期為的奇函數(shù)(C)周期為的偶函數(shù) (D)周期為的奇函數(shù)3．設(shè)函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上的圖象為如圖所示的線段，則在區(qū)間[1，2]上= 。數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程中，必須注意提高學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)等能力?！?設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a= ，()b=， ()c =請(qǐng)按從小到大的順序排列a、b、c分析，本例中三個(gè)方程，左邊是指數(shù)，右邊是對(duì)數(shù)，屬于超越方程，根據(jù)中學(xué)現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生很難求出具體的字母數(shù)值，但分別畫出每一組指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，我們可以直觀地看到，三組函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別在不同的范圍內(nèi)（以橫坐標(biāo)分析，依次為左、中、右三點(diǎn)）所以我們可以直觀地得出a、b、c三個(gè)數(shù)的大?。憨擤擤擤擤签签签签擤?321cab11O1234()()..(2, 1)(2, 1)與此同時(shí)，也要提醒同學(xué)，由于作圖的不規(guī)范，特別是立體幾何的圖形由于觀察的角度不同，可能會(huì)給我們一些錯(cuò)覺，明明是兩條異面直線，可能會(huì)給人一種似乎平行或相交的感覺。特別是橢圓和雙曲線的方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，在字母信息a、b、c中似乎有許多相同點(diǎn)，但實(shí)際計(jì)算，因?yàn)閍、b、c的內(nèi)在關(guān)系不同，又有本質(zhì)的不同。因?yàn)閿?shù)