【正文】 廣東六校第二次聯(lián)考 )東海水晶制品廠去年的年產量為 10萬件，每件水晶產品的銷售價格為 100 元，固定成本為 80 元．從今年起，工廠投入 100萬元科技成本．并計劃以后每年比上一年多投入 100 萬元科技成本．預計產量每年遞增 1 萬件，每件水晶產品的固定成本 g(n)與科技成本的投入次數 n 的關系是g(n)＝ 80n＋ 1.若水 晶產品的銷售價格不變，第 n 次投入后的年利潤為 f(n)萬元． (1)求出 f(n)的表達式； (2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？ 解 (1)第 n 次投入后，產量為 (10＋ n)萬件，銷售價格為 100 元，固定成本為 80n＋ 1元，科技成本投入為 100n 萬元． 所以，年利潤為 f(n)＝ (10＋ n)??? ???100－80n＋ 1 － 100n(n∈ N*)． (2)由 (1)知 f(n)＝ (10＋ n)??? ???100－80n＋ 1 － 100n ＝ 1 000－ 80??? ???n＋ 1＋ 9n＋ 1 ≤ 520(萬元 )． 當且僅當 n＋ 1＝ 9n＋ 1， 即 n＝ 8 時，利潤最高，最高利潤為 520 萬元． 所 以 ， 從 今 年 算 起 第 8 年 利 潤 最 高 ， 最 高 利 潤 為 520 萬元． 閱卷報告 8—— 忽視基本不等式成立的條件致誤 【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點，其中使用的條件是 “ 一正、二定、三相等 ” ，在使用時一定要注意這個條件，而有的考生對基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時出現(xiàn)多次使用不等式時等號成立的條件相矛盾 .,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應保證兩次等號成立的條件同時相等 . 【 示例 】 ?已知 a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝ 1，求 1a＋ 2b的最小值． 錯因 兩次基本不等式成立的條件不一致． 實錄 ∵ a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝ 1， ∴ ab≤ ??? ???a＋ b2 2＝ 14. 又 1a＋ 2b≥ 2 2ab，而 ab≤ 14， ∴ 1ab≥ 4， ∴ 1a＋ 2b≥ 2 8＝ 4 2，故 1a＋ 2b的最小值為 4 2. 正解 ∵ a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝ 1， ∴ 1a＋ 2b＝ ??? ???1a＋ 2b (a＋ b)＝ 1＋ 2＋ ba＋ 2ab ≥ 3＋ 2 ba(2－ 5x)， ∵ 0＜ x＜ 25， ∴ 5x＜ 2,2－ 5x＞ 0， ∴ 5x(2－ 5x)≤ ??? ???5x＋ 2－ 5x2 2＝ 1， ∴ y≤ 15，當且僅當 5x＝ 2－ 5x， 即 x＝ 15時， ymax＝ 15. (3)由 2x＋ 8y－ xy＝ 0，得 2x＋ 8y＝ xy， ∴ 2y＋ 8x＝ 1， ∴ x＋ y＝ (x＋ y)??? ???8x＋ 2y ＝ 10＋ 8yx ＋ 2xy ＝ 10＋ 2??? ???4yx ＋ xy ≥ 10＋ 2 2 4yx 包頭模擬 )若 a＞ 0＞ b＞－ a， c＜ d＜ 0，則下列命題： (1)ad＞ bc；(2)ad＋ bc＜ 0； (3)a－ c＞ b－ d； (4)a廣東 )已知平面直角坐標系 xOy 上的區(qū)域 D 由不等式組????? 0≤ x≤ 2，y≤ 2，x≤ 2y給定．若 M(x， y)為 D 上的動點，點 A的坐標為 ( 2， 1)則 z＝OM→ O A→ 的最大值為 ( )． A． 3 B． 4 C． 3 2 D． 4 2 [審題視點 ] 作出平行域 D，然后解出目標函數 z的表達式，用截距法求 z的最大值． 解析 畫出區(qū)域 D，如圖中陰影部分所示，而 z＝ O M→ ( d－ c)＞ b(d－ c)中能成立的個數是 ( )． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [審題視點 ] 利用不等式的性質說明正誤或舉反例說明真假． 解析 ∵ a＞ 0＞ b， c＜ d＜ 0， ∴ ad＜ 0， bc＞ 0， ∴ ad＜ bc， ∴ (1)錯誤． ∵ a＞ 0＞ b＞－ a， ∴ a＞－ b＞ 0， ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0， ∴ a(－ c)＞ (－ b)(－ d)， ∴ ac＋ bd＜ 0， ∴ ad＋ bc＝ ac＋ bdcd ＜ 0， ∴ (2)正確． ∵ c＜ d， ∴ － c＞－ d， ∵ a＞ b， ∴ a＋ (－ c)＞ b＋ (－ d)， a－ c＞ b－ d， ∴ (3)正確． ∵ a＞ b， d－ c＞ 0， ∴ a(d－ c)＞ b(d－ c)， ∴ (4)正確，故選 C. 答案 C 在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質聯(lián)系起 來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題真假，當然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數函數，指數函數的性質等． 【訓練 2】 已知三個不等式： ① ab＞ 0； ② bc＞ ad； ③ ca＞ ，余下一個作為結論，則可以組成正確命題的個數是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析 命題 1：若 ab＞ 0， ca＞ db，則 bc＞ ad； 命題 2：若 ab＞ 0， bc＞ ad，則 ca＞ db； 命題 3：若 ca＞ db， bc＞ ad，則 ab＞ 0. 答案 D 考向三 不等式性質的應用 【例 3】 ?已知函數 f(x)＝ ax2＋ bx，且 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ f(－ 2)的取值范圍． [審題視點 ] 可利用待定系數法尋找目標式 f(－ 2)與已知式 f(－ 1)， f(1)之間的關系，即用 f(－ 1)， f(1)整體表示 f(－ 2)，再利用不等式的性質求 f(－ 2)的范圍． 解 f(－ 1)＝ a－ b， f(1)＝ a＋ (－ 2)＝ 4a－ 2b. 設 m(a＋ b)＋ n(a－ b)＝ 4a－ 2b. ∴ ??? m＋ n＝ 4，m－ n＝－ 2， ∴ ??? m＝ 1，n＝ 3. ∴ f(－ 2)＝ (a＋ b)＋ 3(a－ b)＝ f(1)＋ 3f(－ 1)． ∵ 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ 4， ∴ 5≤ f(－ 2)≤ 10. 由 a＜ f(x， y)＜ b， c＜ g(x， y)＜ d，求 F(x， y)的取值范圍，可利用待定系數法解決 ，即設 F(x， y)＝ mf(x， y)＋ ng(x， y)，用恒等變形求得 m， n，再利用不等式的性質求得 F(x， y)的取值范圍． 【訓練 3】 若 α， β滿足 ??? － 1≤ α＋ β≤ 1，1≤ α＋ 2β≤ 3， 試求 α＋ 3β的取值范圍． 解 設 α＋ 3β＝ x(α＋ β)＋ y(α＋ 2β)＝ (x＋ y)α＋ (x＋ 2y)β. 由 ??? x＋ y＝ 1，x＋ 2y＝ 3， 解得 ??? x＝－ 1，y＝ 2. ∵ － 1≤ － (α＋ β)≤ 1,2≤ 2(α＋ 2β)≤ 6， ∴ 兩式相加，得 1≤ α＋ 3β≤ 7. 考向四 利用不等式的性質證明簡單不等式 【例 4】 ?設 a＞ b＞ c，求證： 1a－ b＋ 1b－ c＋ 1c－ a＞ 0. [審題視點 ] 充分運用已知條件及不等式性質進行求證． 證明 ∵ a＞ b＞ c， ∴ － c＞－ b. ∴ a－ c＞ a－ b＞ 0， ∴ 1a－ b＞ 1a－ c＞ 0. ∴ 1a－ b＋ 1c－ a＞ b－ c＞ 0， ∴ 1b－ c＞ 0. 1a－ b＋1b－ c＋1c－ a＞ 0. (1)運用不等式性質解決問題時，必須注意性質成立的條件． (2)同向不等式的可加性與可乘性可推廣到兩個以上的不等式． 【訓練 4】 若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0， e＜ 0， 求證： e?a－ c?2＞ e?b－ d?2. 證明 ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0. 又 ∵ a＞ b＞ 0， ∴ a－ c＞ b－ d＞ 0. ∴ (a－ c)2＞ (b－ d)2＞ 0.∴ 0＜ 1?a－ c?2＜ 1?b－ d?2. 又 ∵ e＜ 0， ∴ e?a－ c?2＞ e?b－ d?2. 難點突破 15—— 數式大小比較問題 數式大小的比較是高考中最常見的一種命題方式，涉及的知識點和問題求解的方法不僅局限于不等式知識，而且更多的關聯(lián)到函數、數列、三角函 數、向量、解析幾何、導數等知識，內容豐富多彩．命題的方式主要是選擇題、填空題，考查不等式性質、函數性質的應用． 一、作差法 【示例】 ? (2020xy＝ 18， 當且僅當 4yx ＝ xy，即 x＝ 2y 時取等號， 又 2x＋ 8y－ xy＝ 0， ∴ x＝ 12， y＝ 6， ∴ 當 x＝ 12， y＝ 6 時， x＋ y 取最小值 18. 答案 (1)3 (2)15 (3)18 考向二 利用基本不等式證明不等式 【例 2】 ?已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，求證： bca ＋ cab ＋ abc ≥ a＋ b＋ c. [審題視點 ] 先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質相加得到． 證明 ∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， ∴ bca ＋ cab ≥ 2 bca 2ab＝ 3＋ 2 2. 當且僅當????? a＋ b＝ 1，ba＝2ab ，即????? a＝ 2－ 1，b＝ 2－ 2 時， 1a＋2b的最小值為 3＋ 2 2. 【試一試】 (2020宿州模擬 )已知 x＞ 0， y＞ 0， xy＝ x＋ 2y，若 xy≥ m－ 2 恒成立，則實數 m 的最大值是 ________． 解析 由 x＞ 0， y＞ 0， xy＝ x＋ 2y≥ 2 2xy，得 xy≥ 8，于是由 m－ 2≤ xy 恒成立，得 m－ 2≤ 8， m≤ 10，故 m 的最大值為 10. 答案 10 考向三 利用基本不等式解實際問題 【例 3】 ?某單位建造一間地面面積為 12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度 x 不得超過 5 m．房屋正面的造價 為 400 元 /m2，房屋側面的造價為 150 元 /m2，屋頂和地面的造價費用合計為 5 800 元，如果墻高為 3 m，且不計房屋背面的費用．當側面的長度為多少時，總造價最低？ [審題視點 ] 用長度 x 表示出造價，利用基本不等式求最值即可．還應注意定義域 0＜ x≤ 5；函數取最小值時的 x是否在定義域內，若不在定義域內，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調性． 解 由題意可得，造價 y＝ 3(2x 150＋ 12x 400)＋ 5 800＝ 900??? ???x＋ 16x ＋ 5 800(0＜x≤ 5)， 則 y＝ 900??? ???x＋ 16x ＋ 5 800≥ 900 2 x 16x ＋ 5 800＝ 13 000(元 )， 當且僅當 x＝ 16x ，即 x＝ 4 時取等號． 故當側面的長度為 4 米時，總造價最低． 解實際應用題要注意以下幾點： (1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數； (2)根據 實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值； (3)在求函數的最值時，一定要在定義域 (使實際問題有意義的自變量的取值范圍 )內求解． 【訓練 3】 (20205 x銀川質檢 )已知 a， b， c∈ R，則 “ a＞ b” 是 “ ac2＞ bc2” 的 ( )． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．