【正文】 %隨機(jī)初始化位置 end end %先計(jì)算各個(gè)粒子的適應(yīng)度，并初始化 Pi 和 Pg for i=1:N p(i)=fitness(x(i,:),D)。 %最大迭代次數(shù) D=30。 部分程序源代碼 主函數(shù)源程序（ ） %初始格式化 clear all。 ?? 性能評(píng)估采用如下方法： （ 1） 固定進(jìn)化迭代次數(shù)，評(píng)估算法收斂速度和收斂精度； （ 2） 固定收斂精度目標(biāo)值，評(píng)估算法達(dá)到該精度目標(biāo)所需要的迭代次數(shù)。 圖 Rosenbrock 函數(shù)的 3D圖形 （ 3） Rastrigin 函數(shù) ： 231( ) ( 1 0 c o s ( 2 ) 1 0 )niiif x x x??? ? ?? 這是 Sphere 類函數(shù)的多峰版本，具有大量按正弦拐點(diǎn)排列的、很深的局部最優(yōu)點(diǎn)。 該函數(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)位于 {0, ,0}x? ??? ， 全局最 優(yōu)點(diǎn) 的函數(shù)值 1( ) 0fx? 。因此， tPSO 是比 bPSO 的推廣， bPSO 是 tPSO的特例。 通過(guò)調(diào)整參數(shù) ? ,1r ， 2r 和變量 idx 來(lái)優(yōu)化 bPSO 和 sPSO 后期收斂速度和精度的方法 ,屬于上述第 1 種情況 。下面從理論上解釋這一現(xiàn)象。 因此，當(dāng) 121 1 2 20 2ccc r c r?? ?? ? ? ? ?時(shí)， sPSO 算法收斂于 1 0 2122gc p c pcc???? 。 簡(jiǎn)化粒子群優(yōu)化算法（ sPSO) 根據(jù)第 節(jié)中的分析 ,不含速度項(xiàng)的粒子群優(yōu)化方程可以簡(jiǎn)化為 : id 1 1( 1 ) ( )idx t x t c r?? ? ? id id 2 2 gd id（ p x (t) ） +c r（ p x (t) ） () 式 ()右邊的第 1項(xiàng)為“歷史 (history)”部分 ,表示過(guò)去對(duì)現(xiàn)在的影響 ,通過(guò)ω調(diào)節(jié)影響程度 。 定理 進(jìn)化過(guò)程與粒子速度無(wú)關(guān)。如果 ? =0，則粒子速度只取決于它當(dāng)前位置 ip 和曲 gp 的加權(quán)中心。 ? 為非負(fù)數(shù)，控制前一速度對(duì)當(dāng)前速度的影響。因此， Shi 和 Eberhart 建議，為了平衡隨機(jī)因素的作用，一般情況下設(shè)置 122cc??，大部分算法都采用這個(gè)建議。當(dāng)學(xué)習(xí)因子值較小時(shí)，可能使粒子在遠(yuǎn)離目標(biāo)區(qū)域內(nèi)徘徊；而當(dāng)學(xué)習(xí)因子較大時(shí)，可能使粒子迅速向目標(biāo)區(qū)域移動(dòng)，甚至越過(guò)目標(biāo)區(qū)域。 （ 2） 粒子的維數(shù) D： D 也是整型參數(shù)。 （ 4） 更新自己位置的一定公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。尋找函數(shù) 1 cos 3 xy x e?? ? ? 的在 [0,4]最大值。 1c , 2c 為大于零的學(xué)習(xí)因子或稱作加速系數(shù)，分別調(diào)節(jié)該粒子向自身己尋找到的最優(yōu)位置和同伴己尋找到的最優(yōu)位置方向飛行的最大步長(zhǎng)，通常情況下取 1c = 2c =2； 1r , 2r 為介于 [0,1]之間的隨機(jī)數(shù)； t 為迭代次數(shù)，即粒子的飛行步數(shù)。當(dāng)個(gè)體察覺(jué)其它個(gè)體的信念較好的時(shí)候，它將進(jìn)行適應(yīng)性地調(diào) 整 。除了將進(jìn)化算法中的選擇、交叉以及變異算子引入 PSO 外，還有很多與其他經(jīng)典優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合的混合 PSO 算法，例如梯度下降、 K 均值聚 類算法、免疫算法等。動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重可以在 PSO 搜索過(guò)程中線性變化，亦可根據(jù)PSO 性能的某個(gè)測(cè)度而動(dòng)態(tài)改變，比如模糊規(guī)則系統(tǒng)。 針對(duì)以上問(wèn)題，本文展 開(kāi) 了細(xì)致的研究，對(duì) PID 參數(shù) 優(yōu)化問(wèn)題 ，提出了改進(jìn)策略，以適應(yīng)問(wèn)題的求解，提高算法的運(yùn)行速度與最終結(jié)果的精確性。因而， PSO 算法從誕生起， 就引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并掀起了該方向的研究熱潮，且在諸多領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用，但是， PSO 的發(fā)展歷史尚短，在理論基礎(chǔ)與應(yīng)用推廣上都還存在一些問(wèn)題，有待解決?；?SI 的優(yōu)化算法是概率搜索算法。 1999年， Bonabeau、 Dorigo 和 Theraulaz 在 《 Swarm Intelligence： From Natural to Artificial Systems》 一文中對(duì)群智能進(jìn)行了詳細(xì)的論述和分析，給出了群智能算法的一種定義：任何一種由昆蟲群體或其它動(dòng)物社會(huì)行為機(jī) 制而激發(fā)設(shè)計(jì)出的算法或分布式解決問(wèn)題的策略均屬于群智能算法。同時(shí)， 隨著人類生存空間的擴(kuò)大，以及認(rèn)識(shí)世界和改造世界范圍的拓寬，現(xiàn)實(shí)中碰到的許多科學(xué)、工程和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題呈復(fù)雜化、多極化、非線性、強(qiáng)約束、建模困難等特點(diǎn)。尋找一種搜索算法，該算法在可行解空間的一個(gè)子空間內(nèi)進(jìn)行搜索操作，以找到問(wèn)題的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解。 1)枚舉法。對(duì)于確定的 eN ，若 eN 滿足( *) ( )f x f x? ， *()x Ne x?? ，則稱 eN 為在 A 上的局部最優(yōu)。尋找函數(shù) f 的最大值等價(jià)于 f 的最小值尋優(yōu)，所以兩種情況可歸結(jié)到一起研究。美國(guó)工程院院士哈佛大學(xué)何毓琦（ Yuchi Ho）教授指 出“任何控制與決策問(wèn)題本質(zhì)均可以歸結(jié)為優(yōu)化問(wèn)題”。對(duì)粒子群優(yōu)化算法的理論基礎(chǔ)和研究現(xiàn)狀作了簡(jiǎn)要介紹，分析了粒子群優(yōu)化算法的原理和算法流程。 粒子群優(yōu)化算法及改進(jìn)的比較研究 摘要 粒子群優(yōu)化（ Particle Swarm Optimization， PSO）算法是一種優(yōu)化計(jì)算技術(shù)，由 Eberhart 博士和 Kennedy 博士提出，它源于對(duì)鳥群和魚群群體覓食運(yùn)動(dòng)行為的模擬。 （ 2） 分析粒子群算法的生物模型和進(jìn)化迭代方程式，粒子速度概念不是必需的，粒子移動(dòng)速度不合適反而可能造成粒子偏離正確的進(jìn) 化方向，因此提出了只基于“位置”概念的簡(jiǎn)化 粒子群算法。工程中很多的實(shí)際問(wèn) 題在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模后，都額可以抽象為一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題。本文主要研究無(wú)約束最小化問(wèn)題 ， 可定義為： 給定： f: Rn R? 尋找： ( *) ( )f X f X? nXX? 其中 X 為 n 維定義空間 nR 中 的向量，可視為該空間的點(diǎn)， X*為搜尋空間的全局最優(yōu)點(diǎn)， f(X)是目標(biāo)函數(shù)。 4. 全局最優(yōu) 設(shè) A,f是某優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例，若 eN 滿足 ( *) ( )f x f x? ， xA?? ，則稱 eN 為在 A上的全局最優(yōu)。枚舉可行解空間內(nèi)的所有可行解，以求出精確最優(yōu)解。該方法雖然保證不了一定能夠得到問(wèn)題的最優(yōu)解，但若適當(dāng)?shù)乩靡恍┲R(shí)，就可近似的使解的質(zhì)量和求解效率一直能夠達(dá)到較好的平衡。這就使人們對(duì)科學(xué)技術(shù)提出了新的和更高的要求，其中對(duì)高效的優(yōu)化技術(shù)和智 能計(jì) 算的要求尤為追切。 James Kennedy 和 Russell 在 2021 年出版了《 Swarm Intelligence》，是群智能發(fā)展的一個(gè)重要里程碑，因?yàn)榇藭r(shí)已有一些群智能理論和方法得到了應(yīng)用。目前，已有的 SI理論和應(yīng)用研究證明 SI 方法是一種能夠有效解決 大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的新方法 ,更重要的是， SI 潛在的并行性和分布式特點(diǎn)為處理大量的以數(shù)據(jù)庫(kù)形式存在的數(shù)據(jù)提供了技術(shù)保證。 首先，對(duì)任何一個(gè)算法，如果不從理論上對(duì)其研究，那對(duì)其行為將無(wú)法徹底剖析。 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和進(jìn)展 PSO是計(jì)算智能領(lǐng)域除蟻群優(yōu)化算法外的另外一種群體智能算法，它同遺傳算法類似，通過(guò)個(gè)體 |間 的 競(jìng)爭(zhēng)和 協(xié)作實(shí)現(xiàn)全局搜索，系統(tǒng)初始化為一組隨機(jī)解，稱之為粒子，通過(guò)粒子在搜索空間的飛行完成尋優(yōu)，在數(shù)學(xué)公式中即為迭代，它沒(méi)有遺傳算法的交叉以及變異算子，而是粒子在解空間追隨最優(yōu)的粒子進(jìn)行搜索。 隨后，另一個(gè)參數(shù)稱之為收縮因子 (Contraction Factor)的系數(shù)被引入，目的是希望 PSO可以收斂。 PSO 原理上十分簡(jiǎn)單，所需參數(shù)也較少，并且易于實(shí)現(xiàn)，已經(jīng)應(yīng)用到很多的領(lǐng)域，通常，其他進(jìn)化算法能夠應(yīng)用較好的領(lǐng)域， PSO 算法亦能成功應(yīng)用，比如 PSO 已經(jīng)被成功地用到進(jìn)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、跟蹤動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、解決多目標(biāo)優(yōu)化和約束優(yōu)化問(wèn)題，此外， PSO 還應(yīng)用到很多的工業(yè)領(lǐng)域，比如， PSO 已被成功地應(yīng)用到反應(yīng)能源和電壓的控制，以及成分混合優(yōu)化等。 PSO 算法就是從這種模型中得到啟示并用于解決優(yōu)化問(wèn)題的。將 v 限定一個(gè)范圍，使粒子每一維的運(yùn)動(dòng)速度都被限制在 min max[ , ]vv 之間，以防止粒子運(yùn)動(dòng)速度過(guò)快而錯(cuò)過(guò)最優(yōu)解，這里的 maxv 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)確定。該函數(shù)的圖形如下： 圖 函數(shù) 1 cos 3 xy x e?? ? ? 在 [0,4]區(qū)間上的曲線 當(dāng) x=，達(dá)到最大值 y=。 下面演示一下這個(gè)算法運(yùn)行一次的大概過(guò)程： 圖 初始化粒子 圖 粒子位置第 1 次更新 圖 粒子位置第 2 次更新 圖 粒子位置第 21 次更新 圖 粒子位置第 30 次更新 最后所有的結(jié) 果都集中在最大值的地方 。粒子的維數(shù)是根據(jù)具體問(wèn)題的解空間的維數(shù)來(lái)確定的。 如果 1 0c? ，則粒子自身沒(méi)有認(rèn)知能力，只有群體的經(jīng)驗(yàn)，即“只有社會(huì) (socialonly)”模型 。不過(guò)在文獻(xiàn)中也其他的取值，但是一般 1c 等于 2c ，并且范圍在 [0,4]之間?？刂破淙≈荡笮】烧{(diào)節(jié) PSO 算法的全局與局部尋優(yōu)能力。這種條件下，粒子群將收縮到當(dāng)前全局最好位置，更像一個(gè)局部算法。 證明 :文獻(xiàn) [16]已經(jīng)證明 ,約束粒子速度范圍 max, max[]idv v v?? 與添加約束因子 ? 是等價(jià)的 ,因此 ,可以只考慮由式 ()與式 ()組成的聯(lián)合進(jìn)化方程。第 2 項(xiàng)為“認(rèn)知 (cognition)”部分 ,表示粒子對(duì)自身的思考 。 帶極值擾動(dòng)的粒子群優(yōu)化算法 bPSO 在優(yōu)化前期中收斂速度很快。 文獻(xiàn) [17]通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo) ,得到式 (): 1 1 2 201 1 2 2 1 1 2 2( ) *l im gtc r c rx t p p pc r c r c r c r?? ? ? ??? () 由于 1r ， 2r 服從均勻分布 ,故 bPSO系統(tǒng)的平均行為可 通過(guò)其期望值進(jìn)行觀察 ,故式 ()可以變?yōu)? 1 0 2 012( ) * ( 1 )l img gtc p c px t p p pcc ?????? ? ? ? ?? () 由式 ()和定理 2可知 :在 bPSO和 sPSO中 ,粒子將聚集到由自身極值 0p 和群體全局極值 gp 決定的極值之上 ,如果所有粒子在向 *p 靠近過(guò)程中沒(méi)有找到優(yōu)于 gp 的位置 ,則進(jìn)化過(guò)程將處于停滯狀態(tài) ,粒子逐漸聚集到 *p 。文獻(xiàn) [18]的改進(jìn)方法屬于第 2 種情況 ,以適應(yīng)度方差作為觸發(fā)條件 ,并以很小概率 [,]改變 gp 。 帶極值擾動(dòng)的簡(jiǎn)化粒子群優(yōu)化算法 sPSO 去掉了 PSO 進(jìn)化方程的粒子速度項(xiàng)而使原來(lái)的二階微分方程簡(jiǎn)化為一階微分方程，僅由粒子位置控制進(jìn)化過(guò)程，避免了由粒子速度項(xiàng)引起的粒子發(fā)散而導(dǎo)致后期收斂變慢和精度低問(wèn)題。 函數(shù)的 3D 圖形如圖 所。 搜索空間 100 100ix? ? ? 。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及 分析 固定進(jìn)化迭代次數(shù)的收斂速度和精度 bPSO、 sPSO、 tPSO、 tsPSO 用三個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行 測(cè)試，固定進(jìn)化迭代次數(shù)為 150次，（ 1）（ 2）（ 3）分別選用 Sphere 函數(shù)、 Rosenbrock 函數(shù)、 Rastrigin 函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，（ a）（ b）（ c）（ d）分別為用各個(gè)測(cè)試函數(shù)的 bPSO 算法、 sPSO 算法 、 tPSO 算法、 tsPSO算法的適應(yīng)度的對(duì)數(shù)值進(jìn)化曲線（注：為了方便進(jìn)化曲線的顯示和觀察，對(duì)函數(shù)的適應(yīng)度以 10 為底的對(duì)數(shù)；同時(shí)，為了避免縱坐標(biāo)范圍貴大，對(duì)函數(shù)的適應(yīng)度均加上 610 作為截止值） 觀察改進(jìn)優(yōu)化粒子群優(yōu)化算法的效果。 實(shí)驗(yàn)名稱 迭代次數(shù) 平均值 最小值 最大值 Sphere 函數(shù) bPSO 95 45 180 sPSO 15 10 30 tPSO 75 40 140 tsPSO 14 10 16 Rosenbrock 函數(shù) bPSO 350 250 600 sPSO 17 7 30 tPSO 240 100 400 tsPSO 15 7 30 Rastrigin 函數(shù) bPSO 410 100 700 sPSO 22 12 40 tPSO 220 400 140 tsPSO 18 9 40 clc。 %搜索空間維數(shù)（未知數(shù)個(gè)數(shù)） N=15。 y(i,:)=x(i,:)。 %賦初始值 %初始化種群的個(gè)體 (可以在這里限定位置和速度的范圍 ) for i=1:N for j=1:D x(i,j)=100*randn。 MaxDT=1000。這表明，帶極值擾動(dòng)的 sPSO 算法 具有非常高的優(yōu)化性能和實(shí)用性。 具體參數(shù)設(shè)置為： 種群規(guī)模設(shè)為 m=15，粒子的維數(shù)為Dim=30，最大迭代步數(shù)為 150； max 1v ? ； 122cc??