【正文】 cos α＞ 0， α∈ [0， π]， ∴ α∈ ?? ??0， π2 ， sin α＋ cos α＞ 0. 由 (sin α＋ cos α)2＝ 1＋ 2sin αcosx 同時(shí)存在型，可換元轉(zhuǎn)化． (5)y＝ asinx＋ bcsinx＋ d(或 y＝ acosx＋ bccosx＋ d)型，可用分離常數(shù)法或由 |sinx|≤1(或 |cosx|≤1)來解決，也可化為真分式去求解． (6)y＝ asinx＋ bccosx＋ d型，可用斜率公式來解決． 例 4 已知函數(shù) f(x)＝ sin2x＋ acos2x(a∈ R， a 為常數(shù) )，且 π4是函數(shù) y＝ f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． (1)求 a 的值，并求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)當(dāng) x∈ [0， π2]時(shí)，求函數(shù) f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的 x 的值． 【解析】 (1)由 π4是 y＝ f(x)的零點(diǎn)得 f(π4)＝ sinπ2＋ acos2π4＝ 0，求解 a＝－ 2， 則 f(x)＝ sin2x－ 2cos2x＝ sin2x－ cos2x－ 1＝ 2sin(2x－ π4)－ 1， 故 f(x)的最小正周期為 T＝ 2π2 ＝ π. (2)由 x∈ [0， π2]得 2x－ π4∈ [－ π4， 3π4 ]，則－ 22 ≤sin(2x－ π4)≤1， 因此－ 2≤ 2sin(2x－ π4)－ 1≤ 2－ 1，故當(dāng) x＝ 0時(shí)， f(x)取最小值－ 2， 當(dāng) x＝ 3π8 時(shí)， f(x)取最大值 2－ 1. 設(shè) a∈ R， f(x)＝ cosx(asinx－ cosx)＋ cos2(π2－ x)滿足 f(－ π3)＝ f(0)，求函數(shù) f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最大值和最小值． 【解析】 f(x)＝ asinxcosx－ cos2x＋ sin2x＝ a2sin2x－ cos2x 由 f(－ π3)＝ f(0)得－ 32 利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (要注意 x 系數(shù)的正負(fù)號(hào) ) (1)y＝ sin?? ??2x－ π4 ； (2)y＝ sin?? ??π4－ 2x . 熱身練習(xí) : 1．函數(shù) y＝ cos?? ??x＋ π3 ， x∈ R( )． A．是奇函數(shù) B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) C．是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2．函數(shù) y＝ tan?? ??π4－ x 的定義域?yàn)?( )． A.????? ?????x?? x≠kπ－ π4 ， k∈ Z B.????? ?????x?? x≠2kπ－ π4， k∈ Z C.????? ?????x?? x≠kπ＋ π4 ， k∈ Z D.????? ?????x?? x≠2kπ＋ π4 ， k∈ Z 3．函數(shù) y＝ sin(2x＋ π3)的圖象的對(duì)稱軸方程可能是 ( ) A． x＝－ π6 B． x＝－ π12 C． x＝ π6 D． x＝ π12 【解析】 令 2x＋ π3＝ kπ＋ π2，則 x＝ kπ2＋ π12(k∈ Z) ∴ 當(dāng) k＝ 0時(shí)， x＝ π12，選 D. 4． y＝ sin?? ??x－ π4 的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 ( )． A． (－ π， 0) B.?? ??－ 3π4 ， 0 C.?? ??3π2 ， 0 D.?? ??π2， 0 解析 ∵ y＝ sin x 的對(duì)稱中心為 (kπ， 0)(k∈ Z)， ∴ 令 x－ π4＝ kπ(k∈ Z)， x＝ kπ＋ π4(k∈ Z)，由 k＝－ 1， x＝－ 34π得 y＝ sin?? ??x－ π4 的一個(gè)對(duì)稱中心是 ?? ??－ 3π4 ， 0 . 答案 B 5．下列區(qū)間是函數(shù) y＝ 2|cos x|的單調(diào)遞減區(qū)間的是 ( ) A.(0， π) B.?? ??－ π2， 0 C.?? ??3π2 ， 2π D.?? ??－ π，－ π2 6．已知函數(shù) f(x)＝ sin(2x＋ φ)，其中 φ為實(shí)數(shù)，若 f(x)≤|f(π6)|對(duì)任意 x∈ R 恒成立，且 f(π2)f(π)，則 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ) A． [kπ－ π3， kπ＋ π6](k∈ Z) B． [kπ， kπ＋ π2](k∈ Z) C． [kπ＋ π6， kπ＋ 2π3 ](k∈ Z) D． [kπ－ π2， kπ](k∈ Z) 【解析】 當(dāng) x∈ R時(shí)， f(x)≤|f(π6)|恒成立， ∴ f(π6)＝ sin(π3＋ φ)＝ 177。 a2＋ b2， 由此得到 a＝ b. 又 ( ) 08f ?? ? ， 所以 aω(cos sin )88?? ??? ＝ 0， 從而 tan ωπ8 ＝ 1， ωπ8 ＝ kπ＋ π4， k∈ Z， 即 ω＝ 8k＋ 2， k∈ Z， 而 0ω5， 所以 ω＝ 2， 于是 f(x)＝ a(sin 2x＋ cos 2x)＝ 2asin(2 )4x ?? 故 f(x)的最小正周期是 π. 題型 八 三角函數(shù)的值域與最值的求法及應(yīng)用 例 3(1)求函數(shù) y＝ 2sinxcos2x1＋ sinx 的值域； (2)求函數(shù) y＝ sinxcosx＋ sinx＋ cosx 的最值； (3)若函數(shù) f(x)＝ 1 cos24sin( )2xx???－ asinx2π3＋ φ ＝ 0. 6．設(shè)函數(shù) f(x)＝ 2sin(πx2 ＋ π5)，若對(duì)任意 x∈ R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，則 |x2－ x1|的最小值為____. 【解析】 由 “f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立 ”，可得 f(x1)、 f(x2)分別是 f(x)的最小值、最大值． ∴ |x2－ x1|的最小值為函數(shù) f(x)的半周期，又 T＝ 2ππ2＝ 4.∴ |x2－ x1|min＝ 2. 7．已知函數(shù) f(x)＝ sinx＋ cosx， f′(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)求 f′(x)及函數(shù) y＝ f′(x)的最小正周期； (2)當(dāng) x∈ [0， π2]時(shí)，求函數(shù) F(x)＝ f(x)f′(x)＋ f2(x)的值域． 【解析】 (1)f′(x)＝ cosx－ sinx＝－ 2sin(x－ π4) ∴ y＝ f′(x)的最小正周期為 T＝ 2π. (2)F(x)＝ cos2x－ sin2x＋ 1＋ 2sinxcosx ＝ 1＋ sin2x＋ cos2x＝ 1＋ 2sin(2x＋ π4) ∵ x∈ [0， π2]， ∴ 2x＋ π4∈ [π4， 5π4 ] ∴ sin(2x＋ π4)∈ [－ 22 ， 1]， ∴ 函數(shù) F(x)的值域?yàn)?[0,1＋ 2]． 8．設(shè)函數(shù) f(x)＝ 2cosx(sinx＋ cosx)－ 1，將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 α 個(gè)單位，得到函數(shù) y＝ g(x)的圖象． (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)若 0＜ α＜ π2，且 g(x)是偶函數(shù)，求 α的值． 【解析】 (1)∵ f(x)＝ 2sinxcosx＋ 2cos2x－ 1 ＝ sin2x＋ cos2x＝ 2sin(2x＋ π4)， ∴ f(x)的最小正周期 T＝ 2π2＝ π. (2)g(x)＝ f(x＋ α)＝ 2sin[2(x＋ α)＋ π4]＝ 2sin(2x＋ 2α＋ π4)， g(x)是偶函數(shù)，則 g(0)＝ 177。 1 （ 1） 1?m （ 2） 21,83m i n ????? yZkkx ）時(shí)（?? (3) ))(,85,8,8,83( Zkkkkk ??????? ???????? ?? ???????? 減區(qū)間：增區(qū)間： (4) )1,8( ?? ?c 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?sin 0 ,22f x x ??? ? ? ???? ? ? ? ? ?????，給出下列三個(gè)論斷： ① ??fx的圖象關(guān)于直線 6x ??? 對(duì)稱； ② ??fx的周期為 ? ； ③ ??fx的圖象關(guān)于點(diǎn) ,012???????對(duì)稱． 以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并對(duì)該命題加以證明． ????① ③② 或 ????① ②③ ， ????② ①③ 證明略 。1. ∴ g(π3)＝ 3cos(ωn＝ 3sin2x－ 1＋ 2cos2x＝ 3sin2x＋ cos2x＝ 2sin(2x＋ π6) ∴ 對(duì)稱軸方程為： 2x＋ π6＝ kπ＋ π2，即 x＝ kπ2＋ π6(k∈ Z)． (2)由－ π2＋ 2kπ≤2x＋ π6≤π2＋ 2kπ得－ π3＋ kπ≤x≤kπ＋ π6 ∴ f(x)的 單調(diào)遞增區(qū)間為 [kπ－ π3， kπ＋ π6](k∈ Z)． 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A0， ω0)： ① 若求 y＝ f(x)的對(duì)稱軸，只需令 ωx＋ φ＝ kπ＋ π2(k∈ Z)，求出 x； 若求 y＝ f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只零令 ωx＋ φ＝ kπ(k∈ Z)，求出 x； ② 若求 y＝ f(x)的單調(diào)增區(qū)間，只需令 2kπ－ π2≤ωx＋ φ≤2kπ＋ π2，求出 x； 若求 y＝ f(x)的單調(diào)減區(qū)間，只需令 2kπ＋ π2≤ωx＋ φ≤2kπ＋ 3π2 ，求出 x. 題型 七 三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性 例 3 (1)已知 f(x)＝ sin x＋ 3cos x(x∈ R)，函數(shù) y＝ f(x＋ φ) ?? ??|φ|≤π2 的圖象關(guān)于直線 x＝ 0 對(duì)稱，則 φ 的值為 ________. (2)如果函數(shù) y＝ 3cos(2x＋ φ)的圖象關(guān)于點(diǎn) ?? ??4π3 ， 0 中心對(duì)稱，那么 |φ|的最小值為 ( ) A . π6 (1)π6 f (x)＝ 2sin π()3x? ， y＝ f(x＋ φ)＝ 2sin()3x ? ??? 圖象關(guān)于 x＝ 0 對(duì)稱， 即 f(x＋ φ)為偶函數(shù)． ∴ π3＋ φ＝ π2＋ kπ， k∈ Z， 即 φ＝ kπ＋ π6， k∈ Z， 所以 當(dāng) k＝ 0 時(shí)， φ＝ π6. (2)A 3cos 4(2 )3? ???＝ 3cos 2π(2π)3 ??? ＝ 3cos 2( ) 0,3? ??? ∴ 2π3 ＋ φ＝ kπ＋ π2， k∈ Z， ∴ φ＝ kπ－ π6， k∈ Z， 取 k＝ 0，得 |φ|的最小值為 探究提高 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)為偶函數(shù)，則當(dāng) x＝ 0 時(shí)， f(x)取得最大或最小值 . 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)為奇函數(shù)，則當(dāng) x＝ 0 時(shí)， f(x)＝ 0. 如果求 f(x)的對(duì)稱軸，只需令 ωx＋ φ＝ π2＋ kπ (k∈ Z)，求 x. 如果求 f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令 ωx＋ φ＝ kπ (k∈ Z)即可 . 變式訓(xùn)練 3 (1)已知函數(shù) f(x)＝ sinx＋ acos x 的圖象的一條對(duì)稱軸是 x＝ 5π3 ，則函數(shù) g(x)＝ asin x＋ cos x 的最大值是 ( ) 23