【正文】 , ( ))x g x? . 由題設(shè)條件，點 (2 , ( ))x g x? 在 ()y f x? 的圖象上，從而 ( ) ( 2 ) 3 sin[ ( 2 ) ]43g x f x x??? ? ? ? ? = 3 si n[ ]2 4 3x? ? ??? = 3 cos( )43x??? 當 30 4x?? 時， 23 4 3 3x? ? ? ?? ? ? ，因此 ()y g x? 在區(qū)間 4[0,]3 上的最大值為 m a x 33 c os 32g ??? 解法二： 因區(qū)間 4[0,]3關(guān)于 x = 1 的對稱區(qū)間為 2[ ,2]3，且 ()y g x? 與 ()y f x? 的圖象關(guān)于 x = 1 對稱，故 ()y g x? 在 4[0,]3上的最大值為 ()y f x? 在 2[ ,2]3上的最大值 由（ Ⅰ ）知 ()fx＝ 3 sin( )43x???當 2 23 x??時，6 4 3 6? ? ? ?? ? ? ? 因此 ()y g x? 在 4[0,]3上的最大值為m a x 33 sin 62g ??? . 1設(shè)函數(shù) ()fx? 15. 【點評】 求三角函數(shù)的最值問題，主要有以下幾種題型及對應(yīng)解法． (1)y＝ asinx＋ bcosx 型，可引用輔角化為 y＝ a2＋ b2sin(x＋ φ)(其中 tanφ＝ ba)． (2)y＝ asin2x＋ bsinxcosx＋ ccos2x 型，可通過降次整理化為 y＝ Asin2x＋ Bcos2x＋ C. (3)y＝ asin2x＋ bcosx＋ c 型，可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)． (4)sinxcosx 與 sinx177。cos(π－ x2)的最大值為 2，試確定常數(shù) a 的值． 【解析】 22 s in (1 s in )1 1 s inxxx??（ ） y= ＝ 2sinx(1－ sinx)＝ 2sinx－ 2sin2x＝－ 2(sinx－ 12)2＋ 12. ∵ 1＋ sinx≠0， ∴ － 1＜ sinx≤1.∴ － 4＜ y≤12. 故函數(shù) y＝ 2sinxcos2x1＋ sinx 的值域為 (－ 4，12]． (2)令 t＝ sinx＋ cosx，則 sinxcosx＝ t2－ 12 ，且 |t|≤ 2. ∴ y＝ 12(t2－ 1)＋ t＝ 12(t＋ 1)2－ 1， ∴ 當 t＝－ 1時， ymin＝－ 1；當 t＝ 2時， ymax＝ 2＋ 12. (3)f(x)＝ 2cos2x4cosx＋ asinx2cosx2＝12cosx＋a2sinx ＝ 14＋ a24sin(x＋ φ)， (其中 tanφ＝1a) 由已知得 14＋ a24＝ 2，解得 a＝ 177。ab ，其 中向量 ( cos2 )mx? ，a ， (1 sin 2 1)x?? ，b ， x?R ，且 ()y f x? 的圖象經(jīng)過點 π24??????，． （ 1）求實數(shù) m 的值； （ 2）求函數(shù) ()fx的最小值及此時 x 值的集合． (3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (4)函數(shù)圖象沿向量 c 平移得到 xy 2sin2? 的圖象 ,求向量 c 。2x)，即 g(x)＝ 2sin4x. 由????? 0≤x≤πg(shù) x ＝ 2sin4x≥ 2 得 ????? 0≤x≤πsin4x≥ 22 . 則????? 0≤x≤π2kπ＋ π4≤4x≤2kπ＋ 3π4 k∈ Z 即 ????? 0≤x≤πkπ2＋π16≤x≤kπ2＋3π16 k∈ Z. 故 π16≤x≤3π16 或 9π16≤x≤11π16 . 題型 四 、三角函數(shù)的奇偶性與周期性及應(yīng)用 例 1 已 知函數(shù) f(x)＝ sin(ωx＋ φ)，其中 ω＞ 0， |φ|＜ π2. (1)若 cosπ4cosφ－ sin3π4 sinφ＝ 0，求 φ 的值； (2)在 (1)的條件下，若函數(shù) f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于 π3，求函數(shù) f(x)的解析式；并求最小正實數(shù) m，使得函數(shù) f(x)的圖象向左平移 m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)． 【解析】 (1)由 cosπ4cosφ－ sin3π4 sinφ＝ 0 得 cos(π4＋ φ)＝ 0. ∵ |φ|π2， ∴ φ＝ π4. (2)由已知得 T2＝ π3， ∴ T＝ 2π3， ω＝ 3 ∴ f(x)＝ sin(3x＋ π4)． 設(shè)函數(shù) f(x)的圖象向左平移 m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為 g(x)， 則 g(x)＝ sin[3(x＋ m)＋ π4]＝ sin(3x＋ 3m＋ π4) g(x)是偶函數(shù)當且僅當 3m＋ π4＝ kπ＋ π2(k∈ Z) 即 m＝ kπ3 ＋ π12(k∈ Z) ∴ 最小正實數(shù) m＝ π12. 題型 五 三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性 例 2 寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期： (1)y＝ sin?? ??－ 2x＋ π3 ； (2)y＝ |tan x|. 解 (1)y＝ ? sin?? ??2x－ π3 ， 它的增區(qū)間是 y＝ sin?? ??2x－ π3 的減區(qū)間，它的減區(qū)間是 y＝ sin?? ??2x－ π3 的增區(qū)間 . 由 2kπ－ π2≤ 2x－ π3≤ 2kπ＋ π2， k∈ Z，得 kπ－ π12≤ x≤ kπ＋ 5π12， k∈ Z. 由 2kπ＋ π2≤ 2x－ π3≤ 2kπ＋ 3π2 ， k∈ Z，得 kπ＋ 5π12≤ x≤ kπ＋ 11π12， k∈ Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為 ?? ??kπ－ π12， kπ＋ 5π12 ， k∈ Z； 增區(qū)間為 ?? ??kπ＋ 5π12， kπ＋ 11π12 ， k∈ T＝ 2π2 ＝ π. (2)觀察圖象可知， y＝ |tan x|的增區(qū)間是 ?? ??kπ， kπ＋ π2 ， k∈ Z，減區(qū)間是 ?? ??kπ－π2， kπ ， k∈ ： T＝ π. 探究提高 (1)求形如 y＝ Asin(ωx＋ φ)或 y＝ Acos(ωx＋ φ) (其中 A≠0， ω0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答 . 列不等式的原則是： ① 把 “ωx＋ φ (ω0)”視為一個 “整體 ”； ② A0 (A0)時，所列不等式的方向與 y＝ sin x(x∈ R)， y＝ cos x(x∈ R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同 (反 ). (2)對于 y＝ Atan(ωx＋ φ) (A、 ω、 φ 為常數(shù) )，其周期 T＝ π|ω|，單調(diào)區(qū)間利用 ωx＋φ∈ ?? ??kπ－ π2， kπ＋ π2 ，解出 x 的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間 . (3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定 . 變式訓練 2 (1)求函數(shù) y＝ sin?? ??π3＋ 4x ＋ cos?? ??4x－ π6 的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值； (2)已知函數(shù) f(x)＝ 4cos xsin?? ??x＋ π6 － 1. ① 求 f(x)的最小正周期； ② 求 f(x)在區(qū)間 ?? ??－ π6， π4 上的最大值和最小值 . 解 : y＝ sin?? ??π3＋ 4x ＋ cos?? ??4x－ π6 3 1 3 1c os 4 si n 4 c os 4 si n 42 2 2 2x x x x? ? ? ? sin 4 3 c o s 4 2 sin ( 4 )3x x x ?? ? ? ? (1)周期為 T=π2 2 4 2 ,2 3 2k x k k Z? ? ???? ? ? ? ? ? ? 函數(shù)的遞增區(qū)間為 ?? ??－ 5π24＋ kπ2 ， π24＋ kπ2 (k∈ Z)； 32 4 2 ,2 3 2k x k k Z? ? ???? ? ? ? ? ?函數(shù)的遞減區(qū)間為 ?? ??π24＋kπ2 ，7π24＋kπ2 (k∈ Z) ymax＝ 2； ymin＝－ 2 (2) f(x)＝ 4cos xsin?? ??x＋ π6 －1 314 c os ( si n c os ) 122x x x? ? ? 22 3 s i n c o s 2 c o s 1x x x? ? ?3 sin 2 c o s 2 2 sin ( 2 6 )x x x ?? ? ? ? x? ?? ??－ π6， π4 , 22 [ , ]6 6 3x ? ? ?? ? ? 最大值為 2；最小值為－ 1 題型 六 、三角函數(shù)的對稱性與單調(diào)性及應(yīng)用 例 2 已知向量 m ＝ ( 3sin2x－ 1， cosx)， n ＝ (1,2cosx)，設(shè)函數(shù) f(x)＝ mn? ， x∈ R. (1)求函數(shù) f(x)圖象的對稱軸方程； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 【解析】 (1)f(x)＝ m1. ∴ g(π3)＝ 3cos(ωπ3＋ φ ＝ 0. 6．設(shè)函數(shù) f(x)＝ 2sin(πx2 ＋ π5)，若對任意 x∈ R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，則 |x2－ x1|的最小值為____. 【解析】 由 “f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立 ”，可得 f(x1)、 f(x2)分別是 f(x)的最小值、最大值． ∴ |x2－ x1|的最小值為函數(shù) f(x)的半周期，又 T＝ 2ππ2＝ 4.∴ |x2－ x1|min＝ 2. 7．已知函數(shù) f(x)＝ sinx＋ cosx， f′(x)是 f(x)的導函數(shù)． (1)求 f′(x)及函數(shù) y＝ f′(x)的最小正周期； (2)當 x∈ [0， π2]時，求函數(shù) F(x)＝ f(x)f′(x)＋ f2(x)的值域． 【解析】 (1)f′(x)＝ cosx－ sinx＝－ 2sin(x－ π4) ∴ y＝ f′(x)的最小正周期為 T＝ 2π. (2)F(x)＝ cos2x－ sin2x＋ 1＋ 2sinxcosx ＝ 1＋ sin2x＋ cos2x＝ 1＋ 2sin(2x＋ π4) ∵ x∈ [0， π2]， ∴ 2x＋ π4∈ [π4， 5π4 ] ∴ sin(2x＋ π4)∈ [－ 22 ， 1]， ∴ 函數(shù) F(x)的值域為 [0,1＋ 2]． 8．設(shè)函數(shù) f(x)＝ 2cosx(sinx＋ cosx)－ 1，將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 α 個單位，得到函數(shù) y＝ g(x)的圖象． (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)若 0＜ α＜ π2，且 g(x)是偶函數(shù)，求 α的值． 【解析】 (1)∵ f(x)＝ 2sinxcosx＋ 2cos2x－ 1 ＝ sin2x＋ cos2x＝ 2sin(2x＋ π4)， ∴ f(x)的最小正周期 T＝ 2π2＝ π. (2)g(x)＝ f(x＋ α)＝ 2sin[2(x＋ α)＋ π4]＝ 2sin(2x＋ 2α＋ π4)， g(x)是偶函數(shù)，則 g(0)＝ 177。利用換元法求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (要注意 x 系數(shù)的正負號 )