【正文】 減區(qū)間是 ?? ??kπ－π2， kπ ， k∈ ： T＝ π. 探究提高 (1)求形如 y＝ Asin(ωx＋ φ)或 y＝ Acos(ωx＋ φ) (其中 A≠0， ω0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答 . 列不等式的原則是： ① 把 “ωx＋ φ (ω0)”視為一個 “整體 ”； ② A0 (A0)時，所列不等式的方向與 y＝ sin x(x∈ R)， y＝ cos x(x∈ R)的單調(diào)區(qū)間對應的不等式方向相同 (反 ). (2)對于 y＝ Atan(ωx＋ φ) (A、 ω、 φ 為常數(shù) )，其周期 T＝ π|ω|，單調(diào)區(qū)間利用 ωx＋φ∈ ?? ??kπ－ π2， kπ＋ π2 ，解出 x 的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間 . (3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定 . 變式訓練 2 (1)求函數(shù) y＝ sin?? ??π3＋ 4x ＋ cos?? ??4x－ π6 的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值； (2)已知函數(shù) f(x)＝ 4cos xsin?? ??x＋ π6 － 1. ① 求 f(x)的最小正周期； ② 求 f(x)在區(qū)間 ?? ??－ π6， π4 上的最大值和最小值 . 解 : y＝ sin?? ??π3＋ 4x ＋ cos?? ??4x－ π6 3 1 3 1c os 4 si n 4 c os 4 si n 42 2 2 2x x x x? ? ? ? sin 4 3 c o s 4 2 sin ( 4 )3x x x ?? ? ? ? (1)周期為 T=π2 2 4 2 ,2 3 2k x k k Z? ? ???? ? ? ? ? ? ? 函數(shù)的遞增區(qū)間為 ?? ??－ 5π24＋ kπ2 ， π24＋ kπ2 (k∈ Z)； 32 4 2 ,2 3 2k x k k Z? ? ???? ? ? ? ? ?函數(shù)的遞減區(qū)間為 ?? ??π24＋kπ2 ，7π24＋kπ2 (k∈ Z) ymax＝ 2； ymin＝－ 2 (2) f(x)＝ 4cos xsin?? ??x＋ π6 －1 314 c os ( si n c os ) 122x x x? ? ? 22 3 s i n c o s 2 c o s 1x x x? ? ?3 sin 2 c o s 2 2 sin ( 2 6 )x x x ?? ? ? ? x? ?? ??－ π6， π4 , 22 [ , ]6 6 3x ? ? ?? ? ? 最大值為 2；最小值為－ 1 題型 六 、三角函數(shù)的對稱性與單調(diào)性及應用 例 2 已知向量 m ＝ ( 3sin2x－ 1， cosx)， n ＝ (1,2cosx)，設(shè)函數(shù) f(x)＝ mn? ， x∈ R. (1)求函數(shù) f(x)圖象的對稱軸方程； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 【解析】 (1)f(x)＝ m 三角函數(shù) 的圖象與性質(zhì) 基礎(chǔ)梳理 1． “五點法 ”描圖 (1)y＝ sin x 的圖象在 [0,2π]上的五個關(guān)鍵點的坐標為 (0,0) ?? ??π2， 1 (π， 0) ?? ??32π，－ 1 (2π， 0) (2)y＝ cos x 的圖象在 [0,2π]上的五個關(guān)鍵點的坐標為 (0,1)， ?? ??π2， 0 ， (π，－ 1)， ?? ??3π2 ， 0 ， (2π， 1) 函數(shù) 性質(zhì) y＝ sin x y＝ cos x y＝ tan x 定義域 R R {x|x≠kπ＋ π2， k∈ Z} 圖象 值域 [－ 1,1] [－ 1,1] R 對稱性 對稱軸： __ x＝ kπ＋ π2(k∈ Z)__ _； 對稱中心： _ (kπ， 0)(k∈ Z)__ _ 對稱軸： x＝ kπ(k∈ Z)___； 對稱中心： _(kπ＋ π2， 0) (k∈ Z)__ 對稱中心： _?? ??kπ2 ， 0 (k∈ Z) __ 周期 2π_ 2π π 單調(diào)性 單調(diào)增區(qū)間 _[2kπ－π2， 2kπ＋π2](k∈ Z)___； 單調(diào)減區(qū)間 [2kπ＋ π2，2kπ＋ 3π2 ] (k∈ Z) __ 單調(diào)增區(qū)間 [2kπ－ π，2kπ] (k∈ Z) ____； 單調(diào)減區(qū)間 [2kπ， 2kπ＋ π](k∈ Z)______ 單調(diào)增區(qū)間 _(kπ－ π2，kπ＋ π2)(k∈ Z)___ 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) f(x)，如果存在一個非零的常數(shù) T，使得當 x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期，把所有周期中存在的最小正數(shù)，叫做最小正周期 (函數(shù)的周期一般指最小正周期 ) 對函數(shù)周期性概念的理解 周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對于函數(shù)整個定義域范圍的每一個 x值都滿足 f(x＋ T)＝ f(x)，其中 T是不為零的常數(shù) .如果只有個別的 x值滿足 f(x＋ T)＝ f(x)，或找到哪怕只有一個 x值不滿足 f(x＋ T)＝ f(x)，都不能說 T是函數(shù) f(x)的周期 . 函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)和 y＝ Acos(ωx＋ φ)的最小正周期為 2π|ω| ， y＝ tan(ωx＋ φ)的最小正周期為 π|ω| . (最值 )的方法： (1)利用 sin x、 cos x的有界性； 關(guān)于正、余弦函數(shù)的有界性 由于正余弦函數(shù)的值域都是 [－ 1,1]，因此對于 ? x∈ R，恒有－ 1≤sin x≤1，－ 1≤cos x≤1，所以 1叫做 y＝ sin x， y＝ cos x的上確界，－ 1叫做 y＝ sin x， y＝ cos x的下確界 . (2)形式復雜的函數(shù)應化為 y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ k的形式逐步分析 ωx＋ φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域； 含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響 . (3)換元法：把 sin x或 cos x看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域 (最值 )問題． 利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)有界性，如： y＝ sin2x－ 4sin x＋ 5，令 t＝ sin x(|t|≤1)，則 y＝ (t－ 2)2＋ 1≥1，解法錯誤 . 時，應先把函數(shù)式化成形如 y＝ Asin(ωx＋ φ) (ω0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出 x 所在的區(qū)間 .應特別注意，應在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮 .注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同 。n＝ 3sin2x－ 1＋ 2cos2x＝ 3sin2x＋ cos2x＝ 2sin(2x＋ π6) ∴ 對稱軸方程為： 2x＋ π6＝ kπ＋ π2，即 x＝ kπ2＋ π6(k∈ Z)． (2)由－ π2＋ 2kπ≤2x＋ π6≤π2＋ 2kπ得－ π3＋ kπ≤x≤kπ＋ π6 ∴ f(x)的 單調(diào)遞增區(qū)間為 [kπ－ π3， kπ＋ π6](k∈ Z)． 【點評】 對于 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A0， ω0)： ① 若求 y＝ f(x)的對稱軸，只需令 ωx＋ φ＝ kπ＋ π2(k∈ Z)，求出 x； 若求 y＝ f(x)的對稱中心的橫坐標，只零令 ωx＋ φ＝ kπ(k∈ Z)，求出 x； ② 若求 y＝ f(x)的單調(diào)增區(qū)間，只需令 2kπ－ π2≤ωx＋ φ≤2kπ＋ π2，求出 x； 若求 y＝ f(x)的單調(diào)減區(qū)間，只需令 2kπ＋ π2≤ωx＋ φ≤2kπ＋ 3π2 ，求出 x. 題型 七 三角函數(shù)的對稱性與奇偶性 例 3 (1)已知 f(x)＝ sin x＋ 3cos x(x∈ R)，函數(shù) y＝ f(x＋ φ) ?? ??|φ|≤π2 的圖象關(guān)于直線 x＝ 0 對稱，則 φ 的值為 ________. (2)如果函數(shù) y＝ 3cos(2x＋ φ)的圖象關(guān)于點 ?? ??4π3 ， 0 中心對稱，那么 |φ|的最小值為 ( ) A . π6 (1)π6 f (x)＝ 2sin π()3x? ， y＝ f(x＋ φ)＝ 2sin()3x ? ??? 圖象關(guān)于 x＝ 0 對稱， 即 f(x＋ φ)為偶函數(shù)． ∴ π3＋ φ＝ π2＋ kπ， k∈ Z， 即 φ＝ kπ＋ π6， k∈ Z， 所以 當 k＝ 0 時， φ＝ π6. (2)A 3cos 4(2 )3? ???＝ 3cos 2π(2π)3 ??? ＝ 3cos 2( ) 0,3? ??? ∴ 2π3 ＋ φ＝ kπ＋ π2， k∈ Z， ∴ φ＝ kπ－ π6， k∈ Z， 取 k＝ 0，得 |φ|的最小值為 探究提高 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)為偶函數(shù)，則當 x＝ 0 時， f(x)取得最大或最小值 . 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)為奇函數(shù)，則當 x＝ 0 時， f(x)＝ 0. 如果求 f(x)的對稱軸，只需令 ωx＋ φ＝ π2＋ kπ (k∈ Z)，求 x. 如果求 f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令 ωx＋ φ＝ kπ (k∈ Z)即可 . 變式訓練 3 (1)已知函數(shù) f(x)＝ sinx＋ acos x 的圖象的一條對稱軸是 x＝ 5π3 ，則函數(shù) g(x)＝ asin x＋ cos x 的最大值是 ( ) 23 33 63 由題意得 f(0)＝ f 10()3? ， ∴ a＝－ 32 － a2. ∴ a＝－ 33 , g(x)＝－ 33 sin x＋ cos x＝ 2 33 sin 2()3x ?? ， ∴ g(x)max＝ 2 33 . (2)若函數(shù) f(x)＝ asin ωx＋ bcos ωx (0ω5， ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是 x＝ π4ω，函數(shù) f′(x)的圖象的一個對稱中心是 ?? ??π8， 0 ，則 f(x)的最小正周期是 ________. (1)B (2)π 由題設(shè) ， 有 π()4f ? ＝ 177。 15. 【點評】 求三角函數(shù)的最值問題，主要有以下幾種題型及對應解法． (1)y＝ asinx＋ bcosx 型，可引用輔角化為 y＝ a2＋ b2sin(x＋ φ)(其中 tanφ＝ ba)． (2)y＝ asin2x＋ bsinxcosx＋ ccos2x 型，可通過降次整理化為 y＝ Asin2x＋ Bcos2x＋ C. (3)y＝ asin2x＋ bcosx＋ c 型，可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)． (4)sinxcosx 與 sinx177。1. ∴ g(π3)＝ 3cos(ωcos ax (a0)的圖象與直線 y＝ m 相切，并且切點的橫坐標依次成公差 為 π2的等差數(shù)列 . (1)求 m 的值； (2)若點 A(x0， y0)是 y＝ f(x)圖象的對稱中心，且 x0∈ ?? ??0， π2 ，求點 A 的坐標 . (1)f(x)＝ 12(1－ cos 2ax)－ 12sin 2ax ＝－ 12(s