北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)44函數(shù)y＝asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 重慶六校聯(lián)考 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ φ )( ω 0)的圖像如圖所示，則 ω ＝ ________. [ 答案 ] 32 [ 解析 ] 由題意設(shè)函數(shù)周期為 T ，則T4＝23π －π3＝π3，故 T＝43π. ∴ ω ＝2πT＝32. 課堂典例講練 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ sin ωx ＋ 3 c o s ω x ( ω 0) 的周期為 π. (1) 求它的振幅、初相； (2) 用五點(diǎn)法作出它在一個(gè)周期上的圖像； (3) 說(shuō)明函數(shù) f ( x ) 的圖像可由 y ＝ sin x 的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到． 函數(shù) y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的圖像 [ 思路分析 ] 先把 f ( x ) 化為 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的形式，可得它的振幅和初相，再把 ωx ＋ φ 看作一個(gè)整體對(duì)它進(jìn)行賦值，畫(huà)出它在一個(gè)周期上的圖像，最后利用圖像變換得所求函數(shù)． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) f ( x ) ＝ sin ωx ＋ 3 c os ωx ＝ 2(12sin ωx ＋32c os ωx ) ＝ 2sin( ωx ＋π3) ． 又 ∵ T ＝ π ， ∴2πω＝ π ，即 ω ＝ 2. ∴ f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋π3) ． ∴ 函數(shù) f ( x ) ＝ sin ωx ＋ 3 c o s ωx 的振幅為 2 ，初相為π3. ( 2) 列出下表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖像如圖 . 2 x ＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －π6 π12 π3 7π12 5π6 y ＝ 2 s in ( 2 x ＋π3) 0 2 0 － 2 0 ( 3) 把 y ＝ sin x 圖像上所有的點(diǎn)向左平移π3個(gè)單位，得到 y＝ sin( x ＋π3) 的圖像，再把 y ＝ sin( x ＋π3) 的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12( 縱坐標(biāo)不變 ) ，得到 y ＝ sin( 2 x ＋π3) 的圖像，然后把 y ＝ sin(2 x ＋π3) 的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2 倍 ( 橫坐標(biāo)不變 ) ，即可得到 y ＝ 2sin(2 x ＋π3) 的圖像． [ 方法總結(jié) ] 1. 用 “ 五點(diǎn)法 ” 作圖應(yīng)抓住四條： ① 將原函數(shù)化為 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 或 y ＝ A c os( ωx ＋ φ )( A ＞ 0 ，ω ＞ 0) 的形式； ② 求出周期 T ＝2πω； ③ 求出振幅 A ； ④ 列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫(huà)出某指定區(qū)間上的圖像時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)． 2 ．圖像變換法． (1) 平移變換 ① 沿 x 軸平移，按 “ 左加右減 ” 法則； ② 沿 y 軸平移，按 “ 上加下減 ” 法則． (2) 伸縮變換 ① 沿 x 軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo) x 伸長(zhǎng) (0 ω 1) 或縮短 ( ω 1) 為原來(lái)的1ω倍 ( 縱坐標(biāo) y 不變 ) ； ② 沿 y 軸伸縮時(shí)，縱坐標(biāo) y 伸長(zhǎng) ( A 1) 或縮短 (0 A 1) 為原來(lái)的 A 倍 ( 橫坐標(biāo) x 不變 ) ． 已知函數(shù) y ＝ 3 sinx2＋ c osx2( x ∈ R ) ． ( 1) 用 “ 五點(diǎn)法 ” 畫(huà)出它的圖像； ( 2) 求它的振幅、周期及初相； ( 3) 說(shuō)明該函數(shù)的圖像可由 y ＝ sin x 的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到？ [ 解析 ] ( 1) y ＝ 2sin(x2＋π6) ，令 X ＝x2＋π6， 列表如下： X 0 π2 π 3π2 2π x －π3 2π3 5π3 8π3 1 1π3 y 0 2 0 － 2 0 描點(diǎn)連線得圖像如圖 ( 2) 振幅 A ＝ 2 ，周期 T ＝ 4π ，初相為π6. ( 3) 將 y ＝ sin x 圖像上各點(diǎn)向左平移π6個(gè)單位，得到 y ＝ sin( x＋π6) 的圖像，再把 y ＝ sin( x ＋π6) 的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) 得到 y ＝ sin(x2＋π6) 的圖像．最后把 y＝ sin(x2＋π6) 的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍，即得函數(shù) y ＝ 2sin(x2＋π6) 的圖像 .
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