【正文】 但可以證明，當 kq時， rk服從如下漸近正態(tài)分布 : rk~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 MA(1)過程可以等價地寫成 ?t關于無窮序列Xt， Xt1， … 的線性組合的形式： ????? ?? 221 tttt XXX ???或 ： tttt XXX ??? ????? ?? ?221（ *） (*)是一個 AR(?)過程，它的偏自相關函數非截尾但卻趨于零，因此 MA(1)的偏自相關函數是非截尾但卻趨于零的。 與之相反 ， Xt與 Xtk間的 偏自相關函數(partial autocorrelation，簡記為 PACF)則是消除了中間變量 Xt1， ? ， Xtk+1 帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值 Xt1， ? ，Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關系的度量。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t 該模型的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為： ? ２階自回歸模型 AR(2) 22210 ???????0211212023??????????????類似地 ,可寫出一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： 22112211 ))(( ????? ????? kktttktk rXXXE ??????? (K=2,3,…) 于是 ,AR(2)的 k 階自相關函數 為 ： 2211 ?? ?? kkk ????? (K=2,3,…) 其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1 如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 因此， 如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個 自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。它是一頂點分別為（ 2,1），（ 2,1），（ 0,1）的三角形 。 ? 考慮 p階自回歸模型 AR(p) Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (*) 引入 滯后算子（ lag operator ） L： LXt=Xt1, L2Xt=Xt2, …, L pXt=Xtp (*)式變換為 ： (1?1L ?2L2? ?pLp)Xt=?t 記 ?(L)= (1?1L ?2L2… ?pLp),則稱多項式方程： ?(z)= (1?1z ?2z2… ?pzp)=0 為 AR(p)的 特征方程 (characteristic equation)。 Ct與 Yt作為內生變量 ， 它們的運動是由作為外生變量的投資 It的運動及隨機擾動項 ?t的變化決定的 。 這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。 (2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。 這種趨勢稱為 隨機性趨勢 （ stochastic trend） 。 經過試算 ， 發(fā)現 中國支出法 GDP是 1階單整的 ，適當的檢驗模型為： 1212 1 7 4 ?? ??????? ttt G D PG D PtG D P ( 1 . 9 9 ) ( 4 . 2 3 ) （ 5 . 1 8 ） ( 6 . 4 2 ) 2R = 0 . 7 5 0 1 L M ( 1 ) = 0 . 4 0 L M ( 2 ) = 1 . 2 9 例 中國人均居民消費與人均國內生產總值的單整性 。 ⒈單整 ? 一般地，如果一個時間序列經過 d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是 d 階單整（ integrated of d） 序列 ，記為 I(d)。 ? 可斷定中國支出法 GDP時間序列是非平穩(wěn)的。 ? 時間 T的 t統(tǒng)計量小于 ADF分布表中的臨界值，因此 不能拒絕不存在趨勢項的零假設 。 檢驗原理 與 DF檢驗相同，只是對模型 3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。 ADF檢驗 另外 ， 如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢 （ 如上升或下降 ） ， 則也容易導致上述檢驗中的 自相關隨機誤差項問題 。 ? 然而，在零假設（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下 t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的 t 檢驗無法使用。 （ *）式可變形式成差分形式： ?Xt=(1?)Xt1+ ?t =?Xt1+ ? t (**) 檢驗（ *）式是否存在單位根 ?=1，也可通過（ **）式判斷是否有 ? =0。 圖 9 . 1 . 6 1 9 8 1 ~ 1 9 9 6 中國居民人均消費與人均 G D P 時間序列及其樣本自相關圖 01 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 05 0 0 06 0 0 082 84 86 88 90 92 94 96GD PP C C PC 0 .4 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15G D P P C C P C 原圖 樣本自相關圖 ? 從圖形上看： 人均居民消費（ CPC）與人均國內生產總值（ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。 該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。 （ a ） （ b ） 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 0 .8 0 .40 .00 .40 .81 .22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C ? 由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性，因此 該序列為一白噪聲。 但從下降速度來看 ， 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 。 :只有當 1?1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。 例 ． 一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列： Xt=?t ， ?t~N(0,?2) 該序列常被稱為是一個 白噪聲 （ white noise） 。 ? 經典回歸分析的假設之一：解釋變量 X是非隨機變量 ? ? nXX i /)( 2 ? ???? QnXXP in )/)(( 2lim依概率收斂： (2) 放寬該假設： X是隨機變量，則需進一步要求： (1)X與隨機擾動項 ? 不相關 ∶ Cov(X,?)=0 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的 “一致性 ”特性： ?? ???)?(limnP第（ 1）條是 OLS估計的需要 ???? ????nxnuxxuxiiiiii//?22 ??? ???? ????? ???? QnxPnuxPPiiin0/lim/lim?lim2▲ 如果 X是非平穩(wěn)數據 （如表現出向上的趨勢），則（ 2）不成立，回歸估計量不滿足 “一致性 ”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。 因此 ： 注意： 在雙變量模型中： 表現在 :兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性 （有較高的 R2)。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由定義 ,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(K)過程 的特例： Xt= ?1Xt1+?2Xt2? +?kXtk 該隨機過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 圖 平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序列樣本相關圖 ? 注意 : 確定樣本自相關函數 rk某一數值是否足夠接近于 0是非常有用的，因為它可 檢驗對應的自相關函數 ?k的真值是否為 0的假設。 ? 根據 Bartlett的理論： ?k~N(0,1/19)， 因此任一 rk(k0)的 95%的置信區(qū)間都將是 : ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ ????????? ?? ZZ ? 可以看出 :k0時， rk的值確實落在了該區(qū)間內，因此可以接受 ? k(k0)為 0的假設 。 例 檢驗中國支出法 GDP時間序列的平穩(wěn)性 。 ?從滯后 14期的 QLB統(tǒng)計量看： CPC與 GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為 ，超過了顯著性水平為5%時的臨界值 。 對式： Xt=?Xt1+?t （ *） 進行回歸，如果確實發(fā)現 ?=1，就說隨機變量Xt有一個 單位根 。 ? Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計量服從的分布（這時的 t統(tǒng)計量稱為 ?統(tǒng)計量 ）， 即 DF分布 （見表 ）。 為了保證 DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性 ， Dicky和 Fuller對 DF檢驗進行了擴充 ，形成了 ADF（ Augment DickeyFuller ） 檢驗 。 表 ADF分布臨界值表。 需進一步檢驗模型 2 。 例 檢驗 167。 ? 顯然， I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。 經過試算 ， 發(fā)現 中國人均國內生產總值GDPPC是 2階單整的 ， 適當的檢驗模型為： 123 ????? tt G D P P CG D P P C （ 2 . 1 7 ） 2R= 0 . 2 7 7 8 ， L M( 1 ) = 0 . 3 1 L M( 2 ) = 0 . 5 4 同樣地 ， CPC也是 2階單整的 ， 適當的檢驗模型為： 123 ????? tt CP CCP C （ 2 . 0 8 ） 2R= 0 . 2 5 1 5 L M ( 1 ) = 1 . 9 9 L M ( 2 ) = 2 . 3 6 ⒉ 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 前文已指出 ， 一些非平穩(wěn)的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢 ， 而這些序列間本身不一定有直接的關聯關系 ， 這時對這些數據進行回歸 ， 盡管有較高的 R2， 但其結果是沒有任何實際意義的 。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程： Xt=?+?t+?Xt1+?t （ *） 其中 :?t是一白噪聲 ， t為一時間趨勢 。 隨機性趨勢可通過差分的方法消除 例如：對式： Xt=?+Xt1+?