第三章22-免費(fèi)閱讀
【正文】 p2178。 | AF |178。36. x2＝－ 4y的通徑為 AB， O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,則 ( ) A． 通徑 AB的長為 8， △ AOB的面積為 4 B． 通徑 AB的長為 8， △ AOB的面積為 2 C． 通徑 AB的長為 4， △ AOB的面積為 4 D． 通徑 AB的長為 4， △ AOB的面積為 2 解析：選 D . | AB |＝ 2 p ＝ 4 ， S △ A O B ＝ 12179。33x 解析： 選 C. 根據(jù)對(duì)稱性 ， 知 kOA＝33， kOB＝－33， 則拋物線 y2＝ a x 過點(diǎn)????32，177。＝33x1. 又 ∵ x1＝y(tǒng)212 p， ∴ y1＝ 2 3 p . 因而 | AB |＝ 2 y1＝ 4 3 p ， 即所求正三角形的邊長為 4 3 p . 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 解本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和正三角形的性質(zhì)證明 A， B兩點(diǎn)關(guān)于 x軸對(duì)稱 ， 解答本題要注意不能只憑主觀判斷而忽視了推理證明的過程 ． 變式訓(xùn)練 y2＝ 2x上距點(diǎn) M(m， 0)(m0)最近的點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn) ， 求 m的取值范圍 ． 解： 設(shè) P ( x ， y ) 為拋物線上任意一點(diǎn) ， 則 | PM |＝ （ x － m ）2＋ y2 ＝ x2－ 2 mx ＋ m2＋ 2 x ＝ x2－ 2 （ m － 1 ） x ＋ m2 ＝ [ x － （ m － 1 ） ]2＋ 2 m － 1 . 因?yàn)?m 0 ， 所以 m － 1 － 1. 由于 x ≥ 0 ， 且 |PM |最小時(shí) ， x ＝ 0 ， 所以－ 1 m － 1 ≤ 0 ， 所以 0 m ≤ 1. 例 2 拋物線的焦點(diǎn)弦問題 斜率為 1的直線 l經(jīng)過拋物線 y2＝ 4x的焦點(diǎn) ， 且與拋物線相交于 A， B兩點(diǎn) ， 求線段 AB的長 ． 【 解 】 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則拋物線 y2＝ 2px(p0)中 ， |AB|＝ p＋ (x1＋ x2)． 由于拋物線 y2＝ 4x中 ， p＝ 2， 于是 |AB|＝ x1＋ x2＋ 為拋物線 y2＝ 4x的焦點(diǎn)為 F(1， 0)， 且直線 AB的斜率為 1， 所以直線 AB的方程為 y＝ x－ 1 ① . 將 ① 代入方程 y2＝ 4 x ， 得 ( x － 1)2＝ 4 x ， 即 x2－ 6 x ＋ 1 ＝ 0 ， 解得 x1＝ 3 ＋ 2 2 ， x2＝ 3 － 2 2 . 于是 | AB |＝ x1＋ x2＋ 2 ＝ 8. 所以 ， 線段 AB 的長是 8. 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 與拋物線的焦點(diǎn)弦長有關(guān)的問題 ， 可直接應(yīng)用公式求解 ． 解題時(shí) ， 需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ， 確定弦長公式是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)定還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定 ， 是 p與交點(diǎn)坐標(biāo)的和還是與交點(diǎn)坐標(biāo)的差 ， 這是正確解題的關(guān)鍵 ． 變式訓(xùn)練 2. ( 201 1 | OF |178。 1 ＝ 2 代入 ① ， 得 k ＝y(tǒng)2－ y1x2－ x1＝ 3 ( 由題意 ， 顯然 x1≠ x2) ． ∴ 所求直線的方程為 y － 1 ＝ 3( x － 4) ， 即 3 x － y － 11 ＝ 0. 檢驗(yàn)可知 ， 符合題意． ， 設(shè) A， B為拋物線 y2＝ 4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 已知 OA⊥ OB ，OM⊥ AB， 點(diǎn) M為垂足 ， 求點(diǎn) M的軌跡方程 ，并說明它表示什么曲線 ． 解： 設(shè)直線 OM 的方程為 y ＝ kx ( k ≠ 0)
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