【正文】 2017 年江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 1．若復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+i） z=2﹣ i，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．設(shè)集合 A={x|x2﹣ 2x﹣ 3＜ 0}， B={x||x﹣ 2|≤ 2}，則 A∩ B=（ ） A．（﹣ 1， 0] B． [0， 3） C．（ 3， 4] D．（﹣ 1， 3） 3．已知變量 x， y 呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為 =1﹣ 2x，則變量 x， y 是（ ） A．線性正相關(guān)關(guān)系 B．由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān)關(guān)系 C．線性負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．不存在線性相關(guān)關(guān)系 4．若直線 l 過三角形 ABC 內(nèi)心（三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心），則 “直線l 平分三角形 ABC 周長 ”是 “直線 l 平分三角形 ABC 面積 ”的（ ）條件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充要也不必要 5．如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入正整數(shù) N（ N≥ 2）和實數(shù) a1， a2， … ，aN，輸出 A， B，則（ ） A． A+B 為 a1， a2， … ， aN的和 B． A 和 B 分別是 a1， a2， … ， aN中最大的數(shù)和最小的數(shù) C． 為 a1， a2， … ， aN的算術(shù)平均數(shù) D． A 和 B 分別是 a1， a2， … ， aN中最小的數(shù)和最大的數(shù) 6．已知函數(shù) y=f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，且在（﹣ ∞ ， 0]上是增函數(shù)，若不等式 f（ a） ≥ f（ x）對任意 x∈ [1， 2]恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A．（﹣ ∞ ， 1] B． [﹣ 1， 1] C．（﹣ ∞ ， 2] D． [﹣ 2， 2] 7．若一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且已知該幾何體的體積為 ，則其表面積為（ ） A． B． C． D． 8．已知實數(shù) x， y 滿足 |x|≤ y+1，且﹣ 1≤ y≤ 1，則 z=2x+y 的最大值（ ） A． 2 B． 4 C． 5 D． 6 9．已知函數(shù) f（ x） =sin（ πx+ ）和函數(shù) g（ x） =cos（ πx+ ）在區(qū)間 [﹣ ， ]上的圖象交于 A， B， C 三點(diǎn)，則 △ ABC 的面積是（ ） A． B． C． D． 10．等差數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，若公差 d＞ 0，（ S8﹣ S5）（ S9﹣ S5） ＜ 0，則（ ） A． |a7|＞ |a8| B． |a7|＜ |a8| C． |a7|=|a8| D． |a7|=0 11．我國古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理敘 述道： “夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異． ”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．其最著名之處是解決了 “牟合方蓋 ”中的體積問題，其核心過程為：如下圖正方體 ABCD﹣ A1B1C1D1，求圖中四分之一圓柱體 BB1C1﹣ AA1D1和四分之一圓柱體 AA1B1﹣ DD1C1公共部分的體積 V，若圖中正方體的棱長為 2，則 V=（ ） （在高度 h 處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為 S1，截得正方體所得面積為 S2，截得錐體所得面積為 S3， ?S2﹣ S1=S3） A． B． C． 8 D． 12．設(shè) A、 B 分別為雙曲線 C： ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左、右頂點(diǎn)， P， Q是雙曲線 C 上關(guān)于 x 軸對稱的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線 AP、 BQ 的斜率分別為 m、 n， 則 + + +ln|m|+ln|n|取得最小值時，雙曲線 C 的離心率為（ ） A． B． C． D． 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13．二項式 的展開式中第四項的系數(shù)為 ． 14．如圖所示矩形 ABCD 邊 長 AB=1， AD=4，拋物線頂點(diǎn)為邊 AD 的中點(diǎn) E，且 B， C 兩點(diǎn)在拋物線上，則從矩形內(nèi)任取一點(diǎn)落在拋物線與邊 BC 圍成的封閉區(qū)域（包含邊界上的點(diǎn)）內(nèi)的概率是 ． 15．已知向量 ， 滿足： | |=| |=1，且 ，若 =x +y ，其中 x＞ 0， y＞ 0 且 x+y=2，則 | |最小值是 ． 16．已知銳角 △ ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 所對應(yīng)的邊分別為 a， b， c，且滿足：b2﹣ a2=ac， c=2，則 a 的取值范圍是 ． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17．?dāng)?shù)列 {an}滿足 a1=1， a2=5， an+2=2an+1﹣ an+1 （ 1）設(shè) bn=an+1﹣ an，證明 {bn}是等差數(shù)列，并求 {bn}的通項公式； （ 2）設(shè) =tanbn?tanbn+1，求數(shù)列 {}的前 n 項和 Sn． 18． 2020 年 11 月 20 日﹣ 22 日在江西省南昌市舉行了首屆南昌國際馬拉松賽事，賽后某機(jī)構(gòu)用 “10 分制 ”調(diào)查了很多人（包括普通市民，運(yùn)動員，政府官員，組織者，志愿者等）對此項賽事的滿意度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取 16 名，如圖莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）： （ 1）指出這 組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （ 2）若滿意度不低于 分，則稱該被調(diào)查者的滿意度為 “極滿意 ”．求從這 16人中隨機(jī)選取 3 人，至多有 1 人是 “極滿意 ”的概率； （ 3）以這 16 人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體（人數(shù)很多）任選 3 人，記 ξ 表示抽到 “極滿意 ”的人數(shù)，求 ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 19．如圖，在棱臺 ABC﹣ FED 中， △ DEF 與 △ ABC 分別是棱長為 1 與 2 的正三角形，平面 ABC⊥ 平面 BCDE，四邊形 BCDE 為直角梯形， BC⊥ CD， CD=1，點(diǎn) G 為 △ ABC 的重心， N 為 AB 中點(diǎn)， =λ （ λ∈ R， λ＞ 0）， （ 1）當(dāng) 時，求證： GM∥ 平面 DFN； （ 2）若直線 MN 與 CD 所成角為 ，試求二面角 M﹣ BC﹣ D 的余弦值． 20．已知橢圓 C： + =1（ 0＜ b＜ 3）的左右焦點(diǎn)分別為 E， F，過點(diǎn) F 作直線交橢圓 C 于 A， B 兩點(diǎn)，若 且 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）已知圓 O 為原點(diǎn)，圓 D：（ x﹣ 3） 2+y2=r2（ r＞ 0）與橢圓 C 交于 M， N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓 C 上一動點(diǎn)，若直線 PM， PN 與 x 軸分別交于點(diǎn) R， S，求證：|OR|?|OS|為常數(shù)． 21．若 ? x∈ D，總有 f（ x） ＜ F（ x） ＜ g（ x），則稱 F（ x）為 f（ x）與 g（ x）在 D 上的一個 “嚴(yán)格分界函數(shù) ”． （ 1）求證： y=ex是 y=1+x 和 y=1+x+ 在（﹣ 1， 0）上的一個 “嚴(yán)格分界函數(shù) ”； （ 2）函數(shù) h（ x） =2ex+ ﹣ 2，若存在最大整數(shù) M 使得 h（ x） ＞ 在 X∈ （﹣1， 0）恒成立，求 M