江蘇省連云港市、徐州市、宿遷市20xx屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題-免費(fèi)閱讀
【正文】 AB ＝ 22 sinθ ＝ 4sinθ . 則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為 2sinθ cosθ ＋ 2θ4sinθ ＝cosθ2 ＋θ2sinθ .(10分 ) 設(shè) f(θ) ＝ cosθ2 ＋ θ2sinθ ， π6 ≤θ π2 . 則 f′(θ) ＝－ 12sinθ ＋ sinθ － θ cosθ2sin2θ ＝ sinθ － θ cosθ － sin3θ2sin2θ ＝sinθ cos2θ － θ cosθ2sin2θ ＝cosθ ??? ???12sin2θ － θ2sin2θ ， (12分 ) 因?yàn)?π6 ≤θ π2 ， 所以 12sin2θ≤ 12， 所以 12sin2θ － θ0 ， 故 f′(θ)0 ， 所以函數(shù) f(θ) 在 ??? ???π 6 ， π 2 上單調(diào)減． 所以當(dāng) θ ＝ π6 時(shí) ， f(θ) 有最大值 π6 ＋ 34 ， 此時(shí) AB＝ 2sinθ ＝ 1(m)． (14分 ) 答： (1) S 關(guān)于 θ 的函數(shù)關(guān)系式 為 S＝ sin2θ ＋ 2θ ， 定義域?yàn)???? ???π6 ， π2 ； (2) 透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí) ， AB的長(zhǎng)度為 1m.(16分 ) 19. (1) 由 3Sn＋ 1＝ 2Sn＋ Sn＋ 2＋ an， 得 2(Sn＋ 1－ Sn)＝ Sn＋ 2－ Sn＋ 1＋ an， 即 2an＋ 1＝ an＋ 2＋ an， 所以 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋ 1－ an. (2分 ) 由 a1＝ 1， S2＝ 4， 可知 a2＝ 3. 所以數(shù)列 {an}是以 1為首項(xiàng) ， 2為公差的等差數(shù)列． 故 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 2n－ 1.(4分 ) (2) 證法一：設(shè)數(shù)列 {bn}的公差為 d， 則 Tn＝ nb1＋ n（ n－ 1）2 d， 由 (1)知 ， Sn＝ n2. 因?yàn)?SnTn， 所以 n2nb1＋ n（ n－ 1）2 d， 即 (2－ d)n＋ d－ 2b10恒成立 ， 所以?????2－ d≥0 ，d－ 2b10， 即 ?????d≤2 ，2b1d.(6分 ) 又由 S1T1， 得 b11， 所以 an－ bn＝ 2n－ 1－ b1－ (n－ 1)d＝ (2－ d)n＋ d－ 1－ b1 ≥ (2－ d)＋ d－ 1－ b1＝ 1－ b10. 所以 anbn， 得證 . (8分 ) 證法二：設(shè) {bn}的公差為 d， 假設(shè)存在自然數(shù) n0≥ 2， 使得 an0≤ bn0， 則 a1＋ (n0－ 1)2≤b 1＋ (n0－ 1)d， 即 a1－ b1≤ (n0－ 1)(d－ 2)， 因?yàn)?a1b1， 所以 d2.(6分 ) 所以 Tn－ Sn＝ nb1＋ n（ n－ 1）2 d－ n2＝ ??? ???d2－ 1 n2＋ ??? ???b1－d2 n， 因?yàn)?d2－ 10， 所以存在 N0∈ N*， 當(dāng) nN0時(shí) ， Tn－ Sn0恒成立． 這與 “ 對(duì)任意的 n∈ N*， 都有 SnTn” 矛盾！ 所以 anbn， 得證 . (8分 ) (3) 由 (1)知 ， Sn＝ {bn}為等比數(shù)列 ， 且 b1＝ 1， b2＝ 3， 所以 {bn}是以 1為首項(xiàng) ， 3為公比的等比數(shù)列． 所以 bn＝ 3n－ 1， Tn＝ 3n－ 12 .(10分 ) 則 an＋ 2Tnbn＋ 2Sn＝ 2n－ 1＋ 3n－ 13n－ 1＋ 2n2 ＝3n＋ 2n－ 23n－ 1＋ 2n2 ＝ 3－6n2－ 2n＋ 23n－ 1＋ 2n2 ， 因?yàn)?n∈ N*，所以 6n2－ 2n＋ 20， 所以 an＋ 2Tnbn＋ 2Sn3.(12分 ) 而 ak＝ 2k－ 1， 所以 an＋ 2Tnbn＋ 2Sn＝ 1， 即 3n－ 1－ n2＋ n－ 1＝ 0(*)． 當(dāng) n＝ 1， 2時(shí) ， (*)式成立； (14分 ) 當(dāng) n≥2 時(shí) ， 設(shè) f(n)＝ 3n－ 1－ n2＋ n－ 1， 則 f(n＋ 1)－ f(n)＝ 3n－ (n＋ 1)2＋ n－ (3n－ 1－ n2＋ n－ 1)＝ 2(3n－ 1－ n)0， 所以 0＝ f(2)f(3)? f(n)?. 故滿足條件的 n的值為 1和 2.(16分 ) 20. (1) 當(dāng) m＝ 1時(shí) ， f(x)＝ 1x＋ xlnx， f′ (x)＝－ 1x2＋ lnx＋ 1.(2分 ) 因?yàn)?f′(x) 在 (0， ＋ ∞) 上單調(diào)增 ， 且 f′(1) ＝ 0， 所以當(dāng) x1時(shí) ， f′ (x)0；當(dāng) 0x1 時(shí) ， f′ (x)0. 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間是 (1， ＋ ∞) ． (4分 ) (2) h(x)＝ mx＋ 2x－ 2， 則 h′(x) ＝ 2－ mx2＝ 2x2－ mx2 ， 令 h′(x) ＝ 0得 x＝m2， 當(dāng) 0x m2時(shí) ， h′ (x)0， 函數(shù) h(x)在 (0， m2)上單調(diào)減
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