排列與組合、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 (2) 展開式中所有含 x的有理項(xiàng) 。A 22(個(gè) ). [例 3] 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn) ,在其中取 4個(gè)不共面的點(diǎn) ,則不同的取法共有 ( ) A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種 [解析 ] 方法一 , 從 10個(gè)點(diǎn)中 , 任意取 4個(gè)點(diǎn)的不同取法共有 C104種，其中，所取4個(gè)點(diǎn)共面的可分為兩類： 第一類， 4個(gè)點(diǎn)同在四面體的一個(gè)面上，共有 4C64種取法 . 第二類 , 4個(gè)點(diǎn)不同在四面體的一個(gè)面上，可分為兩種情形：① 4個(gè)點(diǎn)分布在不共面的兩條棱上，這只能是恰有 1個(gè)點(diǎn)是某棱的中點(diǎn) , 另 3點(diǎn)在棱上，因?yàn)楣灿?6條棱 , 所以有 6種取法；② 4個(gè)點(diǎn)所在的不共面的棱不止兩條，這時(shí)， 4個(gè)點(diǎn)必然都是棱的中點(diǎn)，它們所在的 4條棱必然是空間四邊形的四條邊，故有 3種不同的取法 . 第二類 , 4個(gè)點(diǎn)不同在四面體的一個(gè)面上，可分為兩種情形：① 4個(gè)點(diǎn)分布在不共面的兩條棱上，這只能是恰有 1個(gè)點(diǎn)是某棱的中點(diǎn) , 另 3點(diǎn)在棱上，因?yàn)楣灿?6條棱 , 所以有 6種取法；② 4個(gè)點(diǎn)所在的不共面的棱不止兩條，這時(shí)， 4個(gè)點(diǎn)必然都是棱的中點(diǎn)，它們所在的 4條棱必然是空間四邊形的四條邊，故有 3種不同的取法 . 所以符合題意的不同取法種數(shù)為C104?(4C64+6+3)=141. 方法二 , 在四面體中取定一個(gè)面 , 記為 ?, 那么取不同不共面 的 4個(gè)點(diǎn) , 可 分為四類： 第一類 , 恰有 3個(gè)點(diǎn)在 ? 上 , 這時(shí)該 3點(diǎn)必然不在同一條棱上 , 因此 , 4個(gè)點(diǎn) 的不同取法數(shù)為 4(C63?3)=68. 第二類，恰有 2個(gè)點(diǎn)在 α上，可分兩種情況： ①該 2點(diǎn)在同一條棱上，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的 不同取法數(shù)為 4C32(C423)=27。A 33=432(個(gè) ). 解法二：間接法，任取三張卡片可以組成不同三位數(shù) C53A 33(個(gè) ). (3) 0和 1都不取 , 有不同三位數(shù) C422 32 3 ②該 2點(diǎn)不在同一條棱上，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的不同取法數(shù)為 (C623C32)(C421)=30. 第三類，恰有 1個(gè)點(diǎn)在 α上，可分為兩種情形： ①該點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的不同取法數(shù)為 3 3=9；②該點(diǎn)不是棱的中點(diǎn)，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的不同取法數(shù)為 3 2=6. 第三類，恰有 1個(gè)點(diǎn)在 α上，可分為兩種情形： ①該點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的不同取法數(shù)為 3 3=9；②該點(diǎn)不是棱的中點(diǎn)，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的不同取法數(shù)為 3 2=6. 第四類， 4個(gè)點(diǎn)都不在 α上，只有 1種取法 . 應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，得所求的不同取法數(shù)為 68+27+30+9+6+1=141. [例 4] 4個(gè)男同學(xué)， 3個(gè)女同學(xué)站成一排 : (1) 3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？ (2) 任何兩個(gè)女同學(xué)彼此
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