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【正文】 當(dāng)m=1時(shí),上面的公式就是普通的復(fù)合函數(shù)的微分公式=3,m=2時(shí),有4176。 設(shè)u=f(x1,x2,…,xn), x1= x1(t), x2= x2(t), ,則函數(shù)u=f(x1,x2,)的全導(dǎo)數(shù)為[齊次函數(shù)與歐拉公式] 如果函數(shù)f(x,y,z)恒等地滿足下列關(guān)系式 f(tx,ty,tz)=f(x,y,z)則稱f(x,y,z),只要它可微,就有 (歐拉公式)注意,齊次函數(shù)的次數(shù)k可以是任意實(shí)數(shù),例如,函數(shù)就是自變量x及y的π次齊次函數(shù).[隱函數(shù)的微分法] 設(shè)F(x1,x2,…,xn,u)=0,則………………………(參考本節(jié),四).[高階偏導(dǎo)數(shù)與混合偏導(dǎo)數(shù)] 函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)的二階偏導(dǎo)數(shù)為,…,和,…,…, ,…。 (x).另外,當(dāng)h縮小時(shí),截?cái)嗾`差減小,但舍入誤差卻增加,因此,在計(jì)算時(shí),要特別注意誤差分析,或者改用其他方法.[拉格朗日公式] (由拉格朗日插值公式得來,見第十七章,167?！『瘮?shù) y=f(x)= 在點(diǎn)x=0連續(xù),但在點(diǎn)x=0左右導(dǎo)數(shù)都不存在()。 [單邊導(dǎo)數(shù)]=及=分別稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件是:= [無窮導(dǎo)數(shù)] 若在某一點(diǎn)x有=177。 2. 求導(dǎo)數(shù)的基本法則[四則運(yùn)算求導(dǎo)公式] 若c為常數(shù),函數(shù)u=u(x), 都有導(dǎo)數(shù),則 =0 =c （≠0）[復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)] 若y=f(u),u=都有導(dǎo)數(shù),則=[反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)] 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x有不等于零的導(dǎo)數(shù),并且反函數(shù)x=f－1(y)在點(diǎn)y連續(xù),那末 存在并且等于，即=[隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)] 假定函數(shù)F(x,y)連續(xù),并且對(duì)于每個(gè)自變量都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),而且，則由F(x,y)=0所決定的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)=＝式中＝，＝(見本節(jié)，四)。2,三)式中 ()[馬爾科夫公式] (由牛頓插值公式得來,見第十七章,167。類似地可定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).關(guān)于函數(shù)乘積的混合偏導(dǎo)數(shù)有下面公式:設(shè)u,都是x1,x2,…,xn的函數(shù),則注意,混合偏導(dǎo)數(shù)一般與求導(dǎo)的次序有關(guān),但是,如果兩個(gè)同階的偏導(dǎo)數(shù),只是求導(dǎo)的次序不同,那末只要這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù),如果在某一點(diǎn)(x,y)函數(shù)與都連續(xù),那末一定有(x,y)= (x,y)[高階全微分] 二元函數(shù)u=f(x,y)的二階全微分為d2u=d(du)=或簡(jiǎn)記作d2u=式中偏導(dǎo)數(shù)符號(hào),經(jīng)平方后出現(xiàn),它們?cè)僮饔玫胶瘮?shù)u=f(x,y)上,以下類同.二元函數(shù)u=f(x,y)的n階全微分為dnu=多變量函數(shù)u=f(x1,x2,…,xm)的n階全微分為dnu=[偏導(dǎo)數(shù)的差分形式]
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