【正文】 在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵我，在論文的寫作和措辭方面他總會以“專業(yè)標準”嚴格要求我，從選題定題開始，一直到論文最后的反復修改，潤色，崔老師始終認真負責地給與我深刻而細致地指導，幫助我開拓研究思路，熱心點撥，熱忱鼓勵。而構(gòu)造概率模型來證明組合恒等式的基本方法是：首先根據(jù)需要被證明的組合恒等式特點建立相對應(yīng)的概率模型；然后在概率模型中分析思考問題。于是我們可將這 種取法分為兩類：一類是包含紅色rnCrn卡片的，取定了那個紅色卡片之外，還需在剩下的 張卡片中取出 張卡1?1?r片來，共有 種取法；另一類是不含紅色卡片，應(yīng)在除去紅色卡片后的1rn?張卡片中取出 張卡片，因此共有 種取法，并且這兩類取法之和即?n 01rnC?為取法總數(shù)，即 種取法。很容易得到 n 張白色卡片與 張1?黑色卡片的所有排列與方程 的全體解一一對應(yīng)，由于排列共有)(?個，即解也有 個，所以得到nrCrn1)!(???nrC1?? ??????niirrC021或者還可以如下：我們很明顯看出 可取 的 個值，1x,20?可以組成一個 維向量rx,2? 1r),(2r?令 ：當 =0 時， 的解的個數(shù)為0A1),(2rx? nrC??2 。如果用 ， 分別表示甲或乙瓶中余下 k 根牙簽. 用 表示一盒1A2 rA用完， 而另一盒中有 k 根的事件，則 .21Ar??注意到，當發(fā)現(xiàn)一盒已空時． 這一盒必定在前面已用過 n 次， 另一盒余下 k 根， 從而另一盒已用過 n—k 次， 故共用了 2 n —k +1 次. 每次取到甲(乙) 瓶的概率是 . 所以 21?????211APAPr ??? =rnnrrnnrCC???? ?????????????? 122=rnnr?21于是我們得出：.??,2knnkCp???????????n,210??下面用不同的方法計算隨機變量 的期望值.?齊齊哈爾大學畢業(yè)設(shè)計(論文)17根據(jù)定義： ???????????????nknkknkCpE00221? = ???nknkK0221另一方面，設(shè) ，由 知：uE????nkp01????????????????2/012 1122121010101210100?????????? ?????? ???????????????????????????????????????????pnkpkkpCknknKPknPpnunnkk knkknk kkkknk kknk移項整理得： ??1211?????nCpnE?由 的唯一性知：?????k nnkn022整理即得： ???????nk nnkC0 221例 7 證明組合恒等式 412)(????nnkk證明 我們構(gòu)造如下概率模型：設(shè)有 n 張撲克牌，其中只有 3 張是 K,我們將撲克牌洗一遍之后再從中隨機不放回抽取，直到抽取到第二張 K 為止，此時抽出的紙牌數(shù)為 ，求它的期望。這是求一個隨機變量 X 的期望值：記事件{ }={取出的前 i1 張卡片全是黑色卡片} ，i?令 ，那么????)(01iXi? xXixixixii ??????????? 1100 0齊齊哈爾大學畢業(yè)設(shè)計(論文)13由于 非負，所以iX????????1!10)()(i miinxii CXPEX但是我們可以將 EX 更簡單的表示形式計算出來，于是我們假設(shè)已經(jīng)把所有的張卡片從盒子中取出來了，同時令 表示第一張白色卡片之前的黑色卡mn?1片張數(shù) 最后 表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數(shù)，根據(jù) 的定,? 1?nX 1X義： mExxmnn ???? !21121,??在考慮 的聯(lián)合分布為 P{ }= ，121,?nx? 121, ?niXiiX? )!(其中 是非負整數(shù)，它們的和為 m。1??nk ),21(0)nkP???FA????nkiiBAPP1)()(][例 證明組合恒等式 knknCC11????證明 首先我們將公式變形為 11???knkkn接著我們利用全概率公式，構(gòu)造如下概率模型：設(shè)箱子中有 張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現(xiàn)在mn?隨機從中抽取 k 張卡片（ ）1?k記事件 為“抽取的 k 張卡片中含有黑色卡片”A 事件 為“抽取的 k 張卡片中含有白色卡片”則 ,由全概率公式：knCP10)(?? knkknknknkn CCCBAPBA 12110121)()()( ?????? ????由于 ??從而得出 11?????knkknC即 1?如果將上述摸卡片模型稍微需做一下改變，設(shè)箱子中有 張卡片，其中?n僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式： 11???knknC如果我們建立如下摸卡片模型：設(shè)箱子里有 m 張黑色卡片和 n 張白色卡片，現(xiàn)在從中隨機抽取 k（ ）張卡片，仿照此例子，利用伯努利概率公m?0式 knkqpP??我們可以證明組合公式齊齊哈爾大學畢業(yè)設(shè)計(論文)8knmknkmknmk CCC?????0110? 運用概率性質(zhì)證明組合恒等式我們利用概率的性質(zhì)來證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法，而且簡單易懂，通常用“必然事件的概率等于 1”和“不可能事件的概率等于 0”來證明。關(guān)于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡便。如果在教學中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發(fā)揮這種類型題材的應(yīng)用。鑒于彼得堡數(shù)學學派在概率論發(fā)展史上的重要地位，本文以概率論思想為主線，通過建立概率模型,對概率思想證明恒等式方面進行了簡單的應(yīng)用。 numeral characters目 錄摘 要 ............................................................................................................................IAbstract........................................................................................................................II第 1 章 緒 論 ............................................................................................................1 引言......................................................................................................................1 課題背景 ..............................................................................................................1 實際應(yīng)用方面的價值 ..........................................................................................2 本文主要的研究內(nèi)容..........................................................................................3 相關(guān)工作..............................................................................................................3第 2 章 運用概率論的基本理論證明組合恒等式 ......................................................4 運用完備事件組證明組合恒等式 ......................................................................4 運用全概率公式證明組合恒等式 ......................................................................7 運用概率性質(zhì)證明組合恒等式..........................................................................8第 3 章 運用概率理論構(gòu)造數(shù)學模型證明組合恒等式 ............................................11 運用隨機變量的數(shù)字特征證明組合恒等式 ....................................................11 運用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式 ................................................................18 運用等概率法證明組合恒等式 ........................................................................22第 4 章 由概率方法引申出的恒等式證明 ................................................................26 級數(shù)恒等式的證明 ............................................................................................26 初等恒等式的證明 ............................................................................................27 級數(shù)組合恒等式的證明 ....................................................................................27總結(jié) ..............................................................................................................................31參考文獻 ......................................................................................................................32致謝 ....................................................................................................................