勾股定理知識點(diǎn)總結(jié)、經(jīng)典例題-免費(fèi)閱讀
【正文】 設(shè)，則?！ ∫驗椋?， ?！ 。ǘ┓匠痰乃枷敕椒ā ∪鐖D所示，已知△ABC中，∠C=90176?！ 。?）過A作AK⊥BC于點(diǎn)K（如圖所示），則在Rt△ACK中， ，故類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決． 如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。 舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。 （在直角三角形中，30176。點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m?！ ⊥砜梢耘袛嗥渌x項。AD＝ 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a。 證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到?！ 〗馕觯?. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確） 2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確） 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．（正確） 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上．（正確） 總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備?！ ∽鞣ǎ喝鐖D所示 ?。?）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角?！ ?即△ABC為直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30176。方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)?！螧=90176?！ D=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90176?！ ?1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路點(diǎn)撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 圖（2）中，所以。 （3）理解勾股定理的一些變式： c2=a2+b2, a2=c2b2， b2=c2a2 ， c2=(a+b)22ab知識點(diǎn)二：用面積證明勾股定理 方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。2. 在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù) 滿足不定方程x2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以x,y,z為三邊長的三角形一定是直角三角形。如：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差或和?！ 》治觯喝绾螛?gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。BECD ∵30176。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 ∴ a=3，b=4，c=5。（勾股定理逆定理） 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以△ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2＝202 化簡得x2＝
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