冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文-免費(fèi)閱讀
【正文】 簡單的給出如下幾個(gè)矩陣：例5. 解：由，易知,從而，由性質(zhì)知為冪零矩陣。 若為冪零矩陣,則的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若爾當(dāng)塊為冪零若爾當(dāng)塊,且的主對(duì)角線上的元素為0.證明：為冪零矩陣,可知的特征值全為0。顯然當(dāng)時(shí)即為所定義的冪零矩陣。 若為階嚴(yán)格上三角矩陣，則是冪零矩陣。 證明：由于為冪零矩陣，故，則得秩只能為0或1當(dāng)時(shí)，也是冪零矩陣，成立。 冪零矩陣的行列式值為零。當(dāng)時(shí)（若爾當(dāng)矩陣的特例）稱為冪零若爾當(dāng)矩陣。也稱為階冪零矩陣。Jordan form冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用嘉應(yīng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（2015屆）題 目： 冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用 姓 名： 李丹 學(xué) 號(hào)： 113010022 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 劉光明老師 申請學(xué)位： 學(xué)士學(xué)位 嘉應(yīng)學(xué)院教務(wù)處制摘 要 在高等代數(shù)中矩陣是研究問題的重要工具，在討論矩陣的乘法運(yùn)算時(shí)給出了冪零矩陣的定義。 1． 引言 隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)知識(shí)已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。如為2階冪零陣，則。 形為，其中，由階數(shù)為的若干個(gè)若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角稱為若爾當(dāng)形矩陣. 設(shè)為階方陣，的首項(xiàng)系數(shù)為1的最低次的化零多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式。證明：設(shè)是階冪零矩陣，則存在一個(gè)自然數(shù)k，使，由行列式性質(zhì)得所以 與冪零矩陣相似的矩陣是冪零矩陣證明：設(shè)是階冪零矩陣，則存在一個(gè)自然數(shù)k，使，另設(shè)與相似，則存在可逆矩陣，使，因此，得證。當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，又的特征值全為0，存在可逆矩陣，使得 同樣也由這個(gè)充要條件，可以得出以下的幾個(gè)推論： 為冪零矩陣的充分必要條件為 。證明：因?yàn)闉殡A嚴(yán)格上三角矩陣，故令,則顯然有,進(jìn)而有所以存在，使。 非零的冪零矩陣不能對(duì)角化但對(duì)于任意的方陣，存在冪零矩陣，使得可以對(duì)角化證明：因?yàn)闉閮缌憔仃?，則存在正整數(shù)，使得且的特征值全為0，為的特征多項(xiàng)式且，令為的最小多項(xiàng)式，由引理則有，從而有，由于所以，則此時(shí)，由引理，顯然的最小多項(xiàng)式有重根，那么不可對(duì)角化。在復(fù)數(shù)域上,存在可逆矩陣,使得其中 階
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