各種圓定理總結(jié)包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓-免費(fèi)閱讀
【正文】 那么這四點(diǎn)共圓） 反證法證明 現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法，同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系。 圓①也可以寫(xiě)成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。PD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB等于圓冪的絕對(duì)值。則PA 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 在上面證明的過(guò)程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。PB為定值（圓冪定理）。PB=PCPD=(POr) 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。 證明 證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角） 且∠PDE=∠PCE ?、?而∠ACP+∠PCE=180176。表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。 值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。 另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過(guò)之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1。 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四： 連接BF。BB39。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1） 塞瓦定理推論 △ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 ，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。CD=AC ?。阂粋€(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。CD＋ADCD＋ADCD + BC 在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。CD+AD 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。CD (1) 而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。BD = BC證畢。DP=ABBD≤AB 。 可用塞瓦定理證明的其他定理。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二： 過(guò)點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。：CC39。（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF） 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫(xiě)出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 還可以從逆時(shí)針來(lái)看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說(shuō)，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。 ?。?）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 相關(guān)性質(zhì)的證明 連AH延長(zhǎng)線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段 AH⊥BC,PF⊥BC==AG//PF==∠1=∠2 ==∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC====∠3=∠4 ==∠1=∠4 PF⊥BC ==PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==∠5=∠6 ==∠6=∠7 ==∠5=∠7 AG⊥BC==BC垂直平分GH ==∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==∠9=∠10 ==HQ//DF ==PM=MH 第二個(gè)問(wèn)，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PC（這就是“圓冪”的由來(lái)） 證明 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理
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