【正文】 為此，考慮二人二商品的純交換經(jīng)濟(jì)，其中第一個(gè)消費(fèi)者擁有第一種商品個(gè)單位，但不擁有第二種商品，即；第二個(gè)消費(fèi)者擁有第二種商品個(gè)單位，但不擁有第一種商品，即。(2)對(duì)某個(gè)成立。這就引出了下面的定義：定義. 設(shè)是經(jīng)濟(jì)的可行配置。這就是說，配置是把經(jīng)濟(jì)資源分配給各個(gè)經(jīng)濟(jì)主體去使用的一種方式。這種新配置還可以看作是收入再分配的結(jié)果。設(shè)經(jīng)濟(jì)中有個(gè)消費(fèi)者(或者叫做交易者)，用表示由全體消費(fèi)者構(gòu)成的集合，稱為消費(fèi)者集合。如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)允許所有可能的交換的話，那么合同曲線代表了所有可能的最優(yōu)交換結(jié)果。本來，我們想通過社會(huì)福利函數(shù)來克服經(jīng)濟(jì)主體之間的利害沖突和矛盾，但事與愿違，那種能夠符合常規(guī)的社會(huì)福利函數(shù)不存在，只好借助帕雷托有效性來避開經(jīng)濟(jì)主體之間的矛盾沖突。即對(duì)于任何(,…,),，以及任何，記,…,如果 ，則,…,。也就是說，沒有一個(gè)成員能夠使得,…,對(duì)一切(,…,)成立。尤其是選舉制度、投票制度、民主集中制度等，都是社會(huì)福利函數(shù)的具體事例。如果采用序數(shù)效用論的觀點(diǎn)，那么社會(huì)福利函數(shù)就是把一組個(gè)人偏好關(guān)系映射成為一種社會(huì)偏好關(guān)系的一個(gè)映射。不同人的效用實(shí)際上是不可比較的，客觀上不存在一種標(biāo)準(zhǔn)能夠衡量不同人所獲得的效用多少，更不存在某種途徑能夠把一個(gè)人的效用變成為另一個(gè)人的效用，這就是所謂的無橋原理(no bridge principle)。一般情況下，社會(huì)效用函數(shù)究竟如何給出，則有賴于社會(huì)的價(jià)值判斷標(biāo)準(zhǔn)。這正是“取之于民，用之于民”的道理所在，也是向富人征收所得稅的道理所在。注意，表示消費(fèi)者的收入變化：。這就是說，除了和外其他人的福利都不變，而和的福利變化沒有導(dǎo)致社會(huì)福利發(fā)生變化。1．社會(huì)福利補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)社會(huì)福利函數(shù)蘊(yùn)含著社會(huì)福利補(bǔ)償原則下的補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)。值得注意的是，合理的收入分配是依據(jù)各個(gè)消費(fèi)者的效用情況以及社會(huì)效用情況而定的，而且社會(huì)效用是判斷收入分配是否合理的準(zhǔn)則。所以，是在可行狀態(tài)集合上的最大值點(diǎn)。集合的凸性、社會(huì)效用函數(shù)的擬凹性及，保證了且。令，則可看到：從而。進(jìn)一步，從本節(jié)習(xí)題2可知，以如上得出的向量作為價(jià)格體系，以為消費(fèi)者的收入，則 成為經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)均衡，從而確實(shí)是帕雷托有效狀態(tài)。社會(huì)福利的最大化，就是讓社會(huì)效用函數(shù)在可行狀態(tài)的范圍內(nèi)達(dá)到最大值。鑒于此，干脆進(jìn)一步假定在任何點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都大于零，即。設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為。另一方面，如果從市場(chǎng)均衡方面考慮，既然帕雷托有效性與市場(chǎng)均衡具有一致性，而市場(chǎng)均衡同價(jià)格體系和收入分配有關(guān)，那么價(jià)格和收入分配的變化將帶來帕雷托有效狀態(tài)的變化，從而導(dǎo)致社會(huì)福利的變化。通過本節(jié)的分析我們看到，競(jìng)爭(zhēng)性經(jīng)濟(jì)是最有經(jīng)濟(jì)效率的經(jīng)濟(jì)，這種經(jīng)濟(jì)中的資源配置最優(yōu)，社會(huì)福利最大，因而是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的目標(biāo)和方向。的可行性保證了狀態(tài)的可行性，而的嚴(yán)單調(diào)性又保證了是的帕累托改進(jìn)，這與的帕累托有效性相矛盾。用表示消費(fèi)者的效用函數(shù)，并假定是強(qiáng)單調(diào)的、可微的、并且在各點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會(huì)同時(shí)全為零。則必然是函數(shù)在約束條件 和下的最大值點(diǎn)。生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡狀態(tài)是指是可行的，并且是生產(chǎn)者在價(jià)格體系下的利潤(rùn)最大化凈產(chǎn)出向量。同討論交換最優(yōu)條件時(shí)的做法一樣，我們采用邊際分析法來看一看生產(chǎn)的最優(yōu)條件究竟是什么。既然且，我們有：這說明：經(jīng)濟(jì)的帕累托有效狀態(tài)是這樣的狀態(tài)，它使得任何兩種商品之間的邊際替代率對(duì)所有消費(fèi)者來說都是一樣的。但要注意，這樣的預(yù)算線不見得通過初始狀態(tài)(和)所確定的點(diǎn)，因而這種市場(chǎng)均衡中的消費(fèi)者收入不見得等于。從消費(fèi)者甲的坐標(biāo)系來看，埃奇沃思盒布滿了消費(fèi)者甲的無差異曲線；再?gòu)南M(fèi)者乙的坐標(biāo)系看，埃奇沃思盒布也布滿了消費(fèi)者乙的無差異曲線。經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的可行性條件變成為：,。經(jīng)濟(jì)狀態(tài)叫做是的帕累托改進(jìn)，是說：(PI1) 和都是的可行狀態(tài)；(PI2) ；(PI3) 必然對(duì)某個(gè)消費(fèi)者成立?，F(xiàn)在來討論這個(gè)問題，我們將按照交換經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)、和一般經(jīng)濟(jì)三種情況，分別研究實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)有效性與最大社會(huì)福利的條件。私有制經(jīng)濟(jì)第二福利定理得證。如果是的帕累托有效狀態(tài)并且，則存在價(jià)格體系和利潤(rùn)分配比例使得并且是的競(jìng)爭(zhēng)均衡。第二福利定理得證。既然且，我們又有。令，我們有：且。事實(shí)上，(i)保證了非空，(ii)說明了。假定，則存在使得。證明．本定理的證明要用到凸集分離性定理(見第二章)。再注意，是生產(chǎn)者在價(jià)格體系下的均衡(利潤(rùn)最大化向量)，因此。這是因?yàn)椋偃?，則從偏好的的局部無滿足性可知存在使得且，這與是消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾。這些總資源是過去留給現(xiàn)在的一切有用的物品，它們可能作為生產(chǎn)要素用于生產(chǎn)，也可能作為消費(fèi)品直接用于消費(fèi)。如果生產(chǎn)要素的組合使用方式已經(jīng)使經(jīng)濟(jì)達(dá)到了最有效率的狀態(tài)，即按照其他任何組合方式來使用生產(chǎn)要素，都會(huì)使(某些)消費(fèi)者的滿足程度有所降低，那么就說此時(shí)的經(jīng)濟(jì)效率最大，資源配置最優(yōu)，社會(huì)福利最大。第四節(jié) 均衡的福利含義前一節(jié)通過把一般均衡的存在性問題, 轉(zhuǎn)化成為博弈的納什均衡存在性問題，應(yīng)用角谷靜夫的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了一般經(jīng)濟(jì)均衡存在性的嚴(yán)格證明。既然在的內(nèi)部，可以在線段內(nèi)找到一點(diǎn)使得。對(duì)于這個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然也有。事實(shí)2：是消費(fèi)者在價(jià)格與收入下的均衡。再記，則從知。條件(D6)得到滿足。再?gòu)臈l件(AD4)知。這個(gè)經(jīng)濟(jì)叫做的伴隨經(jīng)濟(jì)。從命題4可知，對(duì)于這個(gè)向量和正整數(shù)，存在常數(shù)使得只要且，就有。這樣，便是總消費(fèi)集合的下界。命題4得證。命題4. 設(shè)是的下有界子集，且為任一整數(shù)。這就說明。顯然。則。這樣，集合和的意義就是明顯的了。則經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡存在，即存在經(jīng)濟(jì)狀態(tài)滿足如下三個(gè)條件：(1) 是消費(fèi)者在價(jià)格和收入下的均衡向量；(2) 是生產(chǎn)者在價(jià)格下的均衡向量；(3) 。二. 阿羅德布羅均衡模型上面提出的德布羅定理，給出了自由處置均衡存在的條件，但它不能令人滿意?？梢园?D3)中的向量理解為消費(fèi)者的最小需要向量，于是條件(D3)說明消費(fèi)者擁有的資源都比他的最小需要為大，即消費(fèi)者的最基本的生活需要是能夠得到滿足的。可見，當(dāng)時(shí)，博弈的納什均衡也必然是經(jīng)濟(jì)的自由處置均衡?？磥?，需要對(duì)無滿足性條件作修改。這是因?yàn)楫?dāng)是的競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)，必然是消費(fèi)者的收益函數(shù)在約束條件下的最大值點(diǎn)，也必然是生產(chǎn)者的最大利潤(rùn)點(diǎn)，同時(shí)由于，因而對(duì)任何，都有，這說明是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)人的最優(yōu)選擇。注意，函數(shù)對(duì)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)為：因此，只要商品存在著超額需求，就有，此時(shí)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)人的目標(biāo)就是提高商品的價(jià)格。本節(jié)就來介紹納什均衡向經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的推廣，即應(yīng)用博弈論來研究一般經(jīng)濟(jì)均衡問題。由此可知，即，故是的不動(dòng)點(diǎn)。命題A得證。易見，對(duì)任何的，都有，并且這種調(diào)整結(jié)果關(guān)于原價(jià)格體系是連續(xù)的。注意，價(jià)格的相對(duì)性使我們能夠把價(jià)格向量的變化限制在價(jià)格空間的子集合之中：于是，瓦爾拉一般經(jīng)濟(jì)均衡的存在性可用下述定理表述：命題A. 對(duì)于任何一個(gè)連續(xù)映射，如果對(duì)一切都成立，則必存在滿足。這就是原始的瓦爾拉均衡模型。再注意，均衡時(shí)消費(fèi)者的收支要平衡，即收入要等于支出，而消費(fèi)者的收入是通過提供生產(chǎn)要素來獲得的。瓦爾拉做了這樣的分析證明。集映(映射)(其中)和分別稱為總需求集映(總需求映射)和總供給集映(總供給映射)。再引入競(jìng)爭(zhēng)均衡概念。經(jīng)濟(jì)的所有可行狀態(tài)的全體，用()表示，稱為可行狀態(tài)集合。消費(fèi)集合與生產(chǎn)集合給經(jīng)濟(jì)人的行動(dòng)帶來了限制，使得一些經(jīng)濟(jì)狀態(tài)為不可能達(dá)到。這樣，私有制經(jīng)濟(jì)可更加明確地表示成為：今后為了更方便起見，就把“經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)”簡(jiǎn)稱為“經(jīng)濟(jì)”。注意，總資源中包含著勞動(dòng)和服務(wù)這兩類商品。構(gòu)成一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的要素有兩類，一是經(jīng)濟(jì)人，另一是經(jīng)濟(jì)資源。瓦爾拉還給出了均衡價(jià)格體系存在性的數(shù)學(xué)論證。在這樣做時(shí)，有一只看不見的手引導(dǎo)他去促進(jìn)一種目標(biāo)，而這種目標(biāo)決不是他所追求的東西。結(jié)果，市場(chǎng)上每種商品的總需求與總供給，都只是各種商品價(jià)格的函數(shù)。前面兩章，我們用微觀分析的方法，對(duì)單個(gè)消費(fèi)者和生產(chǎn)者的行為，進(jìn)行了詳細(xì)討論，得出了實(shí)現(xiàn)消費(fèi)最優(yōu)化與生產(chǎn)最優(yōu)化的結(jié)論。那么，這個(gè)既定的價(jià)格體系又是如何決定的呢？本章來研究這個(gè)問題，價(jià)格將被當(dāng)作經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)生變量看待，由經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)本身所決定。通過本章的討論，我們將會(huì)看到市場(chǎng)機(jī)制在實(shí)現(xiàn)資源最優(yōu)配置方面起著決定性的作用。能否使人們之間的這種利益矛盾處于平衡的狀態(tài)，便是一般經(jīng)濟(jì)均衡理論所要研究的問題。斯密在他的名著《國(guó)富論》中寫下的名言：“每個(gè)人都在力圖應(yīng)用他的資本，來使其生產(chǎn)品得到最大的價(jià)值。諸小系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)，可能是相互牽制的。我們不能責(zé)怪瓦爾拉的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，因?yàn)楹髞碛糜谧C明瓦爾拉一般經(jīng)濟(jì)均衡存在性，并發(fā)現(xiàn)與它等價(jià)的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，是于1911年才問世的。用和分別表示消費(fèi)者的消費(fèi)集合與偏好關(guān)系，和分別表示生產(chǎn)者的生產(chǎn)集合和生產(chǎn)函數(shù)。于是，私有制經(jīng)濟(jì)可表示成為：在私有制經(jīng)濟(jì)中，消費(fèi)者的收入由兩部分構(gòu)成：一部分是的價(jià)值給他創(chuàng)造的收入，另一部分是他從生產(chǎn)者那里得到的分紅?？梢?，一種經(jīng)濟(jì)狀態(tài)就是商品空間中的一組向量。顯然，與分別是與的子集。市場(chǎng)均衡狀態(tài)的全體，用()來表示。本章章中，總用來表示消費(fèi)者的需求集映。設(shè)市場(chǎng)上每種商品的總需求與總供給都是商品價(jià)格體系的函數(shù)，即價(jià)格機(jī)制對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行著調(diào)節(jié)。這樣，就得到了第一組關(guān)于的個(gè)方程:經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)要生產(chǎn)出產(chǎn)品向量，需要投入的第種生產(chǎn)要素的總量為，它就是第種要素的總供給量，所以又有第二組個(gè)方程:另外，每一種產(chǎn)品的價(jià)格都應(yīng)該等于生產(chǎn)出該產(chǎn)品一個(gè)單位所需的成本。這么一來，獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)也就減少了一個(gè)。市場(chǎng)上有種商品，用表示總需求映射，表示總供給映射，并假定它們都是關(guān)于價(jià)格體系的連續(xù)映射。命題B命題A：我們可把命題A中的映射看作“超需求映射”，并利用對(duì)價(jià)格體系進(jìn)行一次全面調(diào)整，調(diào)整方法如下。注意，左邊和式中的每一項(xiàng)都非負(fù)，因而只有。當(dāng)時(shí)，從知；而當(dāng)時(shí)，從知。這段歷史發(fā)展過程中，值得一提的是博弈論對(duì)經(jīng)濟(jì)均衡理論的貢獻(xiàn)。斯密的“看不見的手”從臺(tái)后請(qǐng)到臺(tái)前，把它看作參加博弈的一方，并稱其為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)人，它的策略集合取為。同樣，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)人的選擇也沒有附加約束條件，即約束條件可看作是策略集合。這樣，對(duì)于有自由處置的均衡來說，偏好的無滿足性和凸性保證了；而保證了對(duì)任何，都有，從而。既然服從預(yù)算約束，所以在條件下，結(jié)合是的納什均衡這一事實(shí)，我們得到：對(duì)任何。為了保證滿足第八章第九節(jié)中所述的帶附加約束的納什均衡存在性定理的條件，我們對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)提出如下要求：(D1) 與都是的緊凸子集；(D2) 是連續(xù)的弱凸偏好關(guān)系；(D3) 存在滿足；(D4) ；(D5) 且，即生產(chǎn)者都把利潤(rùn)全部分配給消費(fèi)者。條件（D6）保證了?，F(xiàn)在的問題是如何給出既有經(jīng)濟(jì)意義，又能保證一般經(jīng)濟(jì)均衡存在的合理?xiàng)l件。在證明阿羅德布羅定理之前，對(duì)阿羅德布羅經(jīng)濟(jì)的性質(zhì)作一些探討。以下證明成立。證明：令，則。容易驗(yàn)證，緊集的凸包仍然是緊集，因此是緊集，從而是閉凸集。設(shè),為整數(shù)。再令。證完。結(jié)合剛剛得出的結(jié)論可知。命題6保證了下面給出的阿羅德布羅經(jīng)濟(jì)的伴隨經(jīng)濟(jì)定義的合理性。條件(D4)和(D5)是明顯得到滿足的。從的凸性知，對(duì)一切成立。阿羅德布羅定理的證明：證明的思路是從伴隨經(jīng)濟(jì)的服從瓦爾拉定律的自由處置均衡，導(dǎo)出阿羅德布羅經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡。我們指出：是經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡。現(xiàn)在，設(shè)任意給出。再來證明事實(shí)2。這就證明了是消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入下的均衡，即是中服從預(yù)算約束的效用最大化向量。經(jīng)濟(jì)資源的有效利用程度，要以生產(chǎn)者提供的產(chǎn)品使消費(fèi)者得到的滿足程度來判斷。換言之，狀態(tài)的經(jīng)濟(jì)有效性等價(jià)于：(PE1) 是可行狀態(tài)；(PE2) 其他任何可行狀態(tài)都不是的帕累托改進(jìn)。如果是的市場(chǎng)均衡，那么經(jīng)濟(jì)狀態(tài)必是帕累托有效的。事實(shí)上，假如，那么偏好的局部無滿足性保證了存在滿足且，這與是消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾，故只有成立。第一福利定理得證。由此可得。矛盾的結(jié)論說明，不能成立。(iv). 對(duì)一切成立。既然，存在滿足。令，則，從而由(iii)可知，即。如果是的競(jìng)爭(zhēng)均衡，那么經(jīng)濟(jì)狀態(tài)必然是帕累托有效的。因此，生產(chǎn)者向消費(fèi)者的利潤(rùn)分配比例可視作：。市場(chǎng)調(diào)節(jié)對(duì)于經(jīng)濟(jì)發(fā)展和提高人民生活水平，愈來愈顯示出了巨大的作用。一般來說，交換經(jīng)濟(jì)可表示成為或，總資源向量。消費(fèi)者甲擁有個(gè)單位的商品，但不擁有商品；消費(fèi)者乙擁有個(gè)單位的商品，但不擁有商品。埃奇沃思盒中的任何一個(gè)點(diǎn)都具有如下三層含義：(EB1) 從消費(fèi)者甲的坐標(biāo)系來看，代表甲的選擇方案；(EB2) 從消費(fèi)者乙的坐標(biāo)系來看，代表乙的選擇方案；(EB3) 代表的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)是可行的，即,且。消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)均衡時(shí)，預(yù)算線與無差異曲線相切。為了書寫方便，令，則上式可寫成：求的一階偏導(dǎo)數(shù)，可得：于是。(二) 生產(chǎn)最優(yōu)條件當(dāng)經(jīng)濟(jì)中消費(fèi)方面的情況既定時(shí)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)就僅僅表現(xiàn)為生產(chǎn)活動(dòng)，即經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)為生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)。生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)中，社會(huì)總產(chǎn)出越大，經(jīng)濟(jì)效率也就越高。這與的有效性相矛盾，可見只能是生產(chǎn)者的技術(shù)有效生產(chǎn)。當(dāng)生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)，對(duì)每個(gè)生產(chǎn)者來說，任何兩種商品之間的邊際轉(zhuǎn)換率都等于它們相應(yīng)的價(jià)格比，而商品價(jià)格不因人而異，所以競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)任何兩種商品之間的邊際轉(zhuǎn)換率對(duì)于所有生產(chǎn)者來說都是一樣的，即競(jìng)爭(zhēng)均衡實(shí)現(xiàn)了生產(chǎn)最優(yōu)條件。事實(shí)上，假如某個(gè)生產(chǎn)者的生產(chǎn)不是技術(shù)有效的。于是，上面的邊際等式告訴我們：即：有效的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)是這樣的狀態(tài)，它使得任何兩種商品之間的邊際替代率與邊際轉(zhuǎn)換率相同，而且對(duì)所有的消費(fèi)者和生產(chǎn)者都是一樣的。正是由于存在這樣的問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)家期望能有某種準(zhǔn)則，來在各種經(jīng)濟(jì)狀態(tài)之間進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)。假如經(jīng)濟(jì)社會(huì)有個(gè)消費(fèi)者，每個(gè)消費(fèi)者的福利情況都是用效用函數(shù)來表達(dá)的。為了保證決定的全序保持了上原來的偏序，我們要求社會(huì)福利函數(shù)具有強(qiáng)單調(diào)性：對(duì)于任何及 ，如果，則。則是可微的，并且。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，存在實(shí)數(shù)使得其中。而且。則根據(jù)上述事實(shí)(i)和(ii)，我們有。既然。再設(shè)是的可行狀態(tài)，并且。如果效用增加的人所增加的效用，能夠通過社會(huì)福利來彌補(bǔ)效用減少的人所減少的效用，那么帕雷托有效狀態(tài)的變動(dòng)就是有益于社會(huì)的。當(dāng)時(shí)，社會(huì)在用增加的福利補(bǔ)償了那些福利減少的人以后還