【正文】 應(yīng)當(dāng)指出，自由度的計(jì)算除了在求標(biāo)準(zhǔn)差中用到外，主要用在求擴(kuò)展不確定度查包含因子 k表時(shí)要用到。因此自由度 是表達(dá)測(cè)量可靠程度的量，測(cè)量次數(shù) n多，可靠性好，則自由度大。其 “ 模 ” 即絕對(duì)值， 也就是置信區(qū)間的半寬 a ，因此 例 數(shù)字電壓表廠家說(shuō)明書(shū)上給出：儀器校準(zhǔn)后 1~2年內(nèi)，在 1V內(nèi)示值 最大允許誤差 的 模 為 （這里Ux為讀數(shù)， Um為量程范圍）。測(cè)量不確定度 所包含的若干個(gè)不確定度分量，均是標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，用 ui 表示，其 評(píng)定方法如下： 1. A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定 A類評(píng)定是用統(tǒng)計(jì)分析法評(píng)定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u的求法等同于由系列觀測(cè) 值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差，即 A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度就等于標(biāo)準(zhǔn)差，即 ()Au s x?標(biāo)準(zhǔn)差的求法同前面隨機(jī)誤差的處理方法，具體步驟歸納如下： 1）對(duì)被測(cè)量 X進(jìn)行 n次測(cè)量，得測(cè)值 x1， x2， … ， xn ； 2）求算術(shù)平均值 x 和剩余誤差 xx ii ???3）用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)差的估值 : ?????niii xxnxs12)(11)( （ ） 4）求算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估值 : nxsxs )()( ? （ ） 5）則 A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 : ()Au s x?（ ） 這里需要說(shuō)明的是，觀測(cè)次數(shù) n應(yīng)充分多，才能使 A類不確定度的評(píng)定可靠， 一般認(rèn)為 n應(yīng)大于 5。 ? ?UxUx ?? ,不確定度 標(biāo)準(zhǔn)不確定度 擴(kuò)展 (展伸 )不確定度（擴(kuò)大 uC的臵信區(qū)間，提高臵信概率） A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uA（ 由多次測(cè)值求標(biāo)準(zhǔn)差獲得 ） B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uB（查已有信息求得） 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uC（ A、 B類的合成 ；多個(gè)不確定度合成 ） 不確定度分類： 應(yīng)當(dāng)指出，在不確定度的合成中，有時(shí)為簡(jiǎn)化運(yùn)算也引用相對(duì)不確定度 的形式 （ 類 似相對(duì)誤差的概念） 。 U 其中， y—— 是被測(cè)量值的估計(jì)，通常取多次測(cè)量值的算術(shù)平均值 ： U—— 是測(cè)量不確定度，在 UGM中規(guī)定，這個(gè)參數(shù)可以是標(biāo)準(zhǔn)偏差 s或是 s的倍數(shù) ks；也可以是具有某臵信概率 P（例如 P= 95％或 P= 99％）下臵信區(qū)間的半寬。 Δx =x－ A0 （ ） 以一個(gè)已知量求解兩個(gè)未知量是不成立的方程式，邏輯前提條件不成立 。 所謂測(cè)量的最佳方案，從誤差的角度看就是要做到 m i n1yjmj jy xf ??? ???? ??m i n22212 )()()()( yxxfyjmj j??? ???? ??（ ） （ ） 當(dāng)然，若能使上述各式中每一項(xiàng)都能達(dá)到最小，總誤差就會(huì)最小。 2％） =177。實(shí)際上只要對(duì)式（ ）稍 加變換就可以得到求相對(duì)誤差的公式．將式（ ）兩端同除 以 y。 , (8)對(duì) 39。0niiv??? 。 例 對(duì)某電壓進(jìn)行 16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù) xi中已記入修 正值，列于表 。 180176。 Φv 0 n 圖 變值系差示意圖 (c) n Φv 0 n Φv 0 n Φv 0 (a) (b) (d) 2) 累進(jìn)性系差的判別 — 馬利科夫判據(jù) 圖 (a)(b)表示了與測(cè)量條件成線性關(guān)系的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，如由于蓄電 池端電壓的下降引起的電流下降。（分壓比校準(zhǔn)） 3)用高檔儀器比對(duì)、校準(zhǔn) 用高檔儀器定期計(jì)量檢查，可以確定恒差是否存在，如電子秤校驗(yàn)后，則知 其是偏大還是偏小。 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差是 由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成 ， 這些誤差因素是可以掌握的。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測(cè)量次數(shù)較少時(shí)更不可靠。在不明原因的情況下， 首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。但有時(shí)候，如在科研或高精度測(cè)量中，往往在 不同的測(cè)量條件下，用不同的儀器，不同的測(cè)量方法，不同的 測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，這種測(cè)量稱為非 （或不）等精度測(cè)量。但 t分布與標(biāo) 準(zhǔn)差 σ無(wú)關(guān)，與測(cè)量次數(shù) n關(guān)系緊密，從圖 ，當(dāng) n＞ 20以后， t分布與正態(tài)分布就很接近了。 臵信區(qū)間 ，即所選擇的這個(gè)范圍，一般用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示， )(xk?如177。 已知算術(shù)平均值 x為 mii = 11=mxx? n m 1 2 ?? m 1 x11 x21 ?? xm1 2 x12 x22 ?? xm2 . . n x1n x2n ?? xmn 1()sx1x2()sx ()msx2x nxs( )s( ) =mxx在概率論中有“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè) 隨機(jī)變量方差之和”的定理，可進(jìn)行下面推導(dǎo) 2 2 2 2 2 2i i 1 222i = 1 i = 11 1 1(x ) = ( x ) = ( x ) = [ ( x ) + ( x ) + . . . + ( x ) ]mmmm m m? ? ? ? ? ???2 2 2 212( ) ( ) ( ) ( )mx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2211( ) ( ) ( )x m x xmm? ? ???()()xxm?? ?因 故有 所以 當(dāng) n為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則 nxsxs)()( ?（ ） 結(jié)論 ：（ ）式說(shuō)明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意一組 n次 測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的 n分之一。 設(shè)被測(cè)量的真值為 μ，其等精度測(cè)量值為 x1， x2， … ， xn，則 其算術(shù)平均值為 ?n1 2 n ii = 111x = ( x + x + . . . . . + x ) = xnn（ ） 由于 x的數(shù)學(xué)期望為 μ，故算術(shù)平均值就是真值 μ的無(wú)偏估計(jì)值。將剩余誤差平方后求和平均，擴(kuò)大了 離散性，故用方差來(lái)表征隨機(jī)誤差的離散程度。 測(cè)量的 復(fù)現(xiàn)性 在改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性。 但由于真值難以獲得，故準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念。 隨機(jī)誤差的性質(zhì)類同于概率論中的隨機(jī)變量，故要用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行處理。 5%U 10用 相對(duì)誤差 便于比較 表示相對(duì)誤差 ?相對(duì)誤差可以有多種形式： x?0Δ= 100%Ax? Δ= 100%Axx? xΔ= 100%xx? m mΔ= 100% = S %真值相對(duì)誤差 實(shí)際值相對(duì)誤差 測(cè)量值（示值）相對(duì)誤差 滿度（或引用）相對(duì)誤差 常用 因通常 A0、 A、 X ΔX 故常用 X方便 測(cè)量值相對(duì)誤差 γx與滿度相對(duì)誤差 S%的關(guān)系： x x xx x xx x x x x x? m m mxmmΔ Δ Δ= 10 0% = 10 0% = 10 0% = 177。 ⑸ 人身誤差 由于測(cè)量者的分辨能力、疲勞程度、責(zé)任心等主觀因素，使測(cè) 量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確所引起的誤差。 例如： 用普通模擬式萬(wàn)用表測(cè)量高阻上的電壓。 在本章第 3。 真值客觀存在，卻難以獲得。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，不能確定的范圍在微米量級(jí)。 ⑶ 理論誤差 測(cè)量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎(chǔ)上以及用近似值計(jì) 算測(cè)量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱為理論誤差。 = 100% = 10% = 177?！庇?ε表示系統(tǒng)誤差，即 x?1. 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：只要測(cè)量條件不變，誤差即為確定值，用多次測(cè)量求平均值的方法不能改變或消除系統(tǒng)誤差。 （ ） 4. 三種誤差的關(guān)系 先要剔除粗大誤差，只剩下系統(tǒng)誤差和隨差。 系統(tǒng)誤差 ε 小，準(zhǔn)確度高 A 或 A Xi Xi 隨機(jī)誤差 δ 小 ，精密度高 A A 或 Xi 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，稱精確度高 A 或 Xi Xi 定性的概念： 測(cè)量的 重復(fù)性 在相同的測(cè)量條件下，對(duì)同一測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量結(jié)果之間的一致性，用 “ r” 表示。 ?x 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理 隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量的類同關(guān)系 設(shè) x1， x2， … ， xi， … 為離散型隨機(jī)變量 X的可能取值，相應(yīng) 概率為 p1， p2， … ， pi， … 其級(jí)數(shù)和為 若 絕對(duì)收斂，則稱其和數(shù)為數(shù)學(xué)期望，記為 E(X) ii px?iii pxXE ????1)( 1??iipx1p1+x2p2+…+ xipi+…= iii px???1在統(tǒng)計(jì)學(xué)中， 期望與均值是同一概念 1211 nniix x xxxnn ?? ? ?????? ??? ?（ ） 算術(shù)平均值 與被測(cè)量的真值最為接近，由概率論的大數(shù)定律 可知，若測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加，則算術(shù)平均值 x必然趨于 實(shí)際值 。 x Φφ(σ) 0 σ1 σ2 σ3 σ1σ2σ3 本書(shū)附錄 A給出了正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間的積分表。 在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分 m組 進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù) n次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值， 由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定 分散性。 歸納 ： 有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 計(jì)算步驟： (1)列出測(cè)量值的數(shù)據(jù)表 (2)計(jì)算算術(shù)平均值 1211 nniix x xxxnn ?? ? ?????? ??? ?()iiv x x??221111( ) ( )11nniiiis x x xnn???? ? ?????(3)殘差 (4)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 （實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差） ()() sxsxm?(5)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 ()() sxsxn?例 對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了 8次測(cè)量，得測(cè)量值 ix的序列 (見(jiàn)表 ) 。 圖 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率 % % % 3. t分布下的臵信度 （ n20） 在實(shí)際測(cè)量中，總是進(jìn)行有限次測(cè)量，只能根據(jù)貝塞爾公式求 出標(biāo)準(zhǔn)差的估值 s(x)，但因測(cè)量次數(shù)較少（如 n＜ 20時(shí)，測(cè)值 不服從正態(tài)分布。 1)均勻分布 均勻分布又稱為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的 一種重要分布，如圖 。 產(chǎn)生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯(cuò)誤、測(cè)量方法錯(cuò)誤、儀器有缺 陷、電磁干擾及電壓跳動(dòng)等。再對(duì)剔除后數(shù)據(jù)計(jì)算得 其余的 14個(gè)數(shù)據(jù)的 i?均小于 3 ( )sx? ，故為正常數(shù)據(jù)。 在對(duì)粗大誤差處理中要注意以下幾個(gè)問(wèn)題： 系統(tǒng)誤差 上面所述的隨機(jī)誤差處理方法，是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng) 誤差為前提。 系統(tǒng)誤差的檢查和判別 系統(tǒng)誤差（簡(jiǎn)稱系差）的特征是： 恒定系差 多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變； 變值系差 條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。對(duì)于因測(cè)量方法或原理引入的 恒定系差，可通過(guò)理論計(jì)算修正。 如圖 （ a）所示，如鐘表的軸心在水平方向有一點(diǎn)偏移，設(shè)它的指針在 垂直向上的位臵時(shí)造成的誤差為 ξ，當(dāng)指針在水平位臵運(yùn)動(dòng)時(shí) ξ 逐漸減小至零， 當(dāng)指針運(yùn)動(dòng)到垂直向下位臵時(shí)，誤差為 ξ，如此周而復(fù)始，造成的誤差如圖 （ b）所示，這類呈規(guī)律性交替變換的系統(tǒng)誤差稱為周期性系統(tǒng)誤差。 削弱系統(tǒng)誤差的典型技術(shù) 消除或減弱系統(tǒng)誤差應(yīng)從根源上著手。?x及重新計(jì)算 39。 ?? sv i ,現(xiàn)各 39。 ( )xx x k s v? ? ? ?(取包含因子 k=3) 第五節(jié) 誤差的合成與分配 研究： 先講 合成 ： 例： P＝ IU ΔU和 ΔI如何影響 ΔP ？ I=U/R ΔU和 ΔR如何影響 ΔI ？ 方法：：推導(dǎo)一個(gè)普遍適用的公式。 對(duì)于各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差不能確