平方逼近離散ppt課件-免費(fèi)閱讀
【正文】 方案 IV已知觀測數(shù)據(jù)如下表所示，按下述方案求最小二乘擬合函數(shù)，并求出 偏差平方和 Q， 比較擬合曲線的優(yōu)劣。一項(xiàng)，即在上例還可求三次、四次擬合多項(xiàng)式。?k的計(jì)算公式可得：的計(jì)算公式可得： 帶權(quán) ?i 的擬合多項(xiàng)式的步驟 可見，不用解線性方程組，可見，不用解線性方程組，可減少含入誤差，避免病態(tài)可減少含入誤差，避免病態(tài)情況出現(xiàn)，直接計(jì)算可得情況出現(xiàn)，直接計(jì)算可得 :的離散正交性易知，此時(shí)正規(guī)方程組（的離散正交性易知，此時(shí)正規(guī)方程組（ 65）的系）的系數(shù)矩陣為對(duì)角陣：數(shù)矩陣為對(duì)角陣： 上的離散正交多項(xiàng)式系，上的離散正交多項(xiàng)式系， Φ為由其所有線為由其所有線性組合生成的多項(xiàng)式集合性組合生成的多項(xiàng)式集合 :設(shè)設(shè) (xi,yi)(i =1,2,…, n)=1， 由三項(xiàng)遞推式（由三項(xiàng)遞推式（ 66）），（，（ 67）進(jìn)行構(gòu)造，計(jì)算中，在求出每個(gè)）進(jìn)行構(gòu)造，計(jì)算中，在求出每個(gè) ?k(x)的同時(shí)，的同時(shí)，將其在所給節(jié)點(diǎn)上的值求出列入表將其在所給節(jié)點(diǎn)上的值求出列入表 61 (mn)：Date 阜師院數(shù)科院構(gòu)造離散正交多項(xiàng)式 對(duì)多項(xiàng)式對(duì)多項(xiàng)式 ?k(x)也可以通過解法方程組。正交多項(xiàng)式曲線擬合 10－－ 2， 所以擬合函數(shù)：所以擬合函數(shù)：Date 阜師院數(shù)科院非線性擬合舉例（續(xù) 4）而均方誤差為：而均方誤差為：可見可見 y =yi)， 如下表：如下表：ti 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8yi(*103) ti 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 1/14 1/15 1/16yi(*103) Date 阜師院數(shù)科院非線性擬合舉例（續(xù) 3）（（ 2）取擬合函數(shù)為）取擬合函數(shù)為 指數(shù)型指數(shù)型 61086422yx1816141210840圖圖 62根據(jù)這些時(shí)，反應(yīng)未開始，生成物的濃度為零。F(t)：： (x)的表示式，由正規(guī)方程組，的表示式，由正規(guī)方程組， 的最小二乘擬合函數(shù)的最小二乘擬合函數(shù)。?函數(shù)系由函數(shù)系由 {xm}?{?m(x)}在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)所討論問解法。a2x2，將數(shù)據(jù)表直接代將數(shù)據(jù)表直接代 求下面數(shù)據(jù)表的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式求下面數(shù)據(jù)表的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式 y=這是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)這是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù) ak(k =0,1,…, m):移項(xiàng)得移項(xiàng)得 :（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院多項(xiàng)式擬合（續(xù)）打開和式打開和式 這就是數(shù)據(jù)的多項(xiàng)多項(xiàng)式的集合。為一次多項(xiàng)式集合。=yi在離散情況下在離散情況下 ,也稱為也稱為 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法 ,是實(shí)是實(shí)踐中常用的一種踐中常用的一種 函數(shù)逼近方法函數(shù)逼近方法 。顯然，偏差偏差 的大小可作為衡量近似的大小可作為衡量近似函數(shù)好壞的標(biāo)準(zhǔn)。a0+a1xi(i =1,2,…, n)=y的函數(shù)關(guān)系。與與 f (x)相等（甚至導(dǎo)數(shù)值相等），因此在節(jié)相等（甚至導(dǎo)數(shù)值相等），因此在節(jié)點(diǎn)附近，逼近效果較好，而在遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)的地方，由點(diǎn)附近，逼近效果較好，而在遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)的地方，由Runge現(xiàn)象知道，有時(shí)效果會(huì)很差，另一方面，由觀測現(xiàn)象知道，有時(shí)效果會(huì)很差，另一方面，由觀測得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不可避免地帶有誤差，甚至是較大的得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不可避免地帶有誤差，甚至是較大的誤差，此時(shí)要求近似函數(shù)誤差，此時(shí)要求近似函數(shù) P(x)過全部已知點(diǎn)，相當(dāng)于保過全部已知點(diǎn)，相當(dāng)于保留全部數(shù)據(jù)誤差，所以使用插值法不合適。通常被逼近的函數(shù)一般較復(fù)雜。167。3的近似函數(shù)的近似函數(shù) P (x)， 是在實(shí)踐中常遇到的。–下面先舉例說明。先作草圖如圖先作草圖如圖 61所示這些點(diǎn)的分布接近一條直線，因所示這些點(diǎn)的分布接近一條直線，因此可設(shè)想，此可設(shè)想， y為為 x的一次函數(shù)。 (i =1,2,…, n)要求的逼近。(i=1,2,…, n)從幾何上講，就是求在給定的點(diǎn)從幾何上講，就是求在給定的點(diǎn) x1,x2,…, xn處與點(diǎn)處與點(diǎn)(x1,y1),通常取通常取 Φ為一些較簡單函數(shù)的集合如低次多項(xiàng)式，指數(shù)為一些較簡單函數(shù)的集合如低次多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)等。使得使得:為最小，即選取參數(shù)為最小，即選取參數(shù)的最小二乘的最小二乘 m次擬合多項(xiàng)式次擬合多項(xiàng)式。=?, =線性最小二乘法的一般形式 在在 (64)中打開和式中打開和式 已知一組數(shù)據(jù)如表，用最小二乘法求其擬合函數(shù)?？梢姡趯?shí)際問題中選擇擇 ?(x,a0,a1,…, am)關(guān)于參數(shù)關(guān)于參數(shù) a0,a1,…, am是非是非線性時(shí)，稱為非線性最小二乘擬合問題。但是，與線性最小二乘問題不同的是，上述方程但是，與線性最小二乘問題不同的是，上述方程組是關(guān)于組是關(guān)于 ak(k=0,1,…, m)這樣的擬合函數(shù)類型。 t（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院非線性擬合舉例（續(xù) 1）可見可見 y關(guān)于參數(shù)關(guān)于參數(shù) a,yi)：：,b=Date 阜師院數(shù)科院167。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，用時(shí)， m不能太大，也即曲線擬合的多項(xiàng)式的次數(shù)不能太大，也即曲線擬合的多項(xiàng)式的次數(shù)不會(huì)太大，多用低次的。因此，一般情況下，對(duì)線性最小二乘問題，要因此，一般情況下，對(duì)線性最小二乘問題，要得到最小二乘擬合多項(xiàng)式得到最小二乘擬合多項(xiàng)式 ,就面臨著要求解就面臨著要求解 病態(tài)病態(tài) 方方程
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