【正文】 (3).如果(σ)為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。 上述就是二重積分的幾何意義。 ， 由問題的實(shí)際意義可知，原點(diǎn)與平面距離的最小值是客觀存在的， 例題：在平面3x+4yz=26上求一點(diǎn)，使它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最短。 b)：求出駐點(diǎn)； 因此，在點(diǎn)(0,0)不取得極值.多元函數(shù)的最大、最小值問題 B2AC=(3)=27＜0，A=6＞0 ，. 凡是使的點(diǎn)(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)，但駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。 關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的問題 將u=cosx，v=sinx代入上式，得： 例題：設(shè)z=u2v，u=cosx，v=sinx，求 而 鏈導(dǎo)公式：x(x,y),f39。y(x,y)△y 這里我們以二元函數(shù)為例。 稱為f(x,y)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)函數(shù)。 我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo)。x(x0,y0)或 △xz=f(x0+△x)f(x0,y0). 在這里我們只學(xué)習(xí)(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個(gè)特殊方位變動(dòng)時(shí)f(x,y)的變化率。 解答：x=0與y=0都是函數(shù)的間斷線。 如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個(gè)間斷點(diǎn)。B； 在平面xOy上，(x,y)趨向(ξ,η)的方式可以時(shí)多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。如下圖所示： 設(shè)曲面上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個(gè)含有變量x,y,z的方程： 設(shè)已知直線L的方向數(shù)為{l,m,n}，又知L上一點(diǎn)Po(x0,y0,z0),則直線L的方程可表示為： 稱為平面方程的一般式。 注意：此種形式的方程稱為平面方程的點(diǎn)法式。 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為： 關(guān)于方向數(shù)的問題 方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個(gè)方向均確定著同一方位)，那么就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個(gè)數(shù)就可以了。 解析幾何中除了兩點(diǎn)間的距離外，還有一個(gè)最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。 解答：因?yàn)?，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，于是我們有上面所學(xué)得公式可得： 否則就說廣義積分發(fā)散。 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，0，如果極限 故：廣義積分　 定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b](x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。 即：因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，用其中某一點(diǎn)的高來近似代替同一個(gè)小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們?cè)俑鶕?jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個(gè)曲邊梯形的近似值。 我們先來看一個(gè)實(shí)際問題———求曲邊梯形的面積。三角函數(shù)的有理式的積分舉例 解答：原則：反、對(duì)、冪、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例 即有換元公式: 換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g39。拐定的判定方法 解答：我們根據(jù)定理二來判定。曲線的凹向與拐點(diǎn) 因?yàn)椋?再來比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。 先來求函數(shù)的極值，故x=177。 例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。 再求出駐點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，x=4/5 例題：求極值點(diǎn)方法二： 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo)，且. 則說是函數(shù)的一個(gè)極小值. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn). 另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫栴}，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。 也就是：方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根未定式問題 　 可知，在0與1之間至少有一點(diǎn)c，使，即 函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理 證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理柯西中值定理 這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。 設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到， 由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對(duì)比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運(yùn)算法則通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。用公式可寫成： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則： 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。 推論： b):寫出不等式＜ε；有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。 其定義域?yàn)椋?∞,+∞)；b)：反雙曲余弦函數(shù)b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.對(duì)數(shù)函數(shù)如右圖所示： 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。大一期末復(fù)習(xí)和考研復(fù)習(xí)必備高高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)83一、函數(shù)與極限集合的概念 ⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作R。這里我們只討論單值函數(shù)。例：笛卡爾直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。例題：函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn)c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(∞,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))⑶、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n＞N時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。 ⑸、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，.則： 準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮?。籦)：如果，則稱α和β是同階無窮?。籧)：如果，則稱α和β是等價(jià)無窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià))例：因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無窮小；因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x2是3x的高階無窮??；因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→：例題：求解答：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時(shí)，△y≈： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。 由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成描述如下： 則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。 注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。 則：= 注：羅彼塔法則只是說明：對(duì)未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存