【正文】 數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n都正確．在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：（1）在從n=k到n=k+1的過(guò)程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征；（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；（3）活用起點(diǎn)的位置；（4）有的試題需要先作等價(jià)變換。數(shù)學(xué)歸納法中蘊(yùn)含著一種很重要的數(shù)學(xué)思想：遞推思想；數(shù)學(xué)歸納法一般步驟：驗(yàn)證時(shí)命題成立若時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立 歸納奠基 歸納遞推 命題對(duì)從開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立　　應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點(diǎn)：（1） 第一步是基礎(chǔ)，沒(méi)有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；（2） 第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒(méi)有第二步，只能是不完全歸納法；（3） n0是使命題成立的最小正整數(shù)，n0不一定取1，也可取其它一些正整數(shù)；（4） 第二步的證明必須利用歸納假設(shè)，否則不能稱(chēng)作數(shù)學(xué)歸納法。只要完成以上兩個(gè)步驟，就可以判定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。+ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)五、課堂小結(jié)：重點(diǎn)掌握三維柯西不等式的運(yùn)用。證明：構(gòu)造二次函數(shù)： 即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)：由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則其，即：，即：，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，約定，1，2，…，）。 3．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+2b+3c=9，求的最大值。分析：利用不等式解決最值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件。例求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)） 得 例若a, b, c, d206。六、教學(xué)后記：課 題： 第04課時(shí) 不等式的證明方法之四：放縮法教學(xué)目標(biāo)：1．感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。二、典型例題：例已知，求證：（且）例設(shè)，求證證明：假設(shè)，則有，從而 因?yàn)?，所以，這與題設(shè)條件矛盾，所以，原不等式成立。教學(xué)過(guò)程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。例已知都是正數(shù)，求證并指出等號(hào)在什么時(shí)候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式 著手。因此，只需證明。例證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。二、典型例題：例已知，且不全相等。教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程。從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。因?yàn)?，2的距離為1，所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（＝（5－1）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。（三種思路）三、典型例題：例解不等式。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是 ，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開(kāi)區(qū)間（－a，a），如圖所示。 在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱(chēng)為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。例3 兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線(xiàn)的兩個(gè)地點(diǎn)施工,每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次,要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第 x km處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km那么 S(x)=2(|x10|+|x20|)四、課堂練習(xí)：1.()求證:⑴。 所以。教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。二、例題分析：例1：求函數(shù)的最小值。例2 ：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí).證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得≥＞0，≥＞0，∴≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd例3 某工廠(chǎng)要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得l＝240000＋720（x＋）≥240000＋7202＝240000＋720240＝297600當(dāng)x＝，即x＝40時(shí)，l有最小值297600因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課堂練習(xí)：課本P91練習(xí)1，2，3，4.四、課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件。例已知，求證：．例已知ab0，cd0，求證：。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，則糖水更甜了，為什么?分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證即可。教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。重視不等式的應(yīng)用 不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問(wèn)題，其中最值問(wèn)題主要是用二個(gè)或三個(gè)正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。 (3)二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在選修22中也學(xué)過(guò)，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學(xué)，進(jìn)一步理解“歸納遞推”的證明。本講內(nèi)容也是本專(zhuān)題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。通過(guò)本專(zhuān)題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們?cè)跀?shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個(gè)選修專(zhuān)題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個(gè)模塊和三個(gè)選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識(shí)為起點(diǎn)，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對(duì)的完整性．整個(gè)專(zhuān)題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：第一講是“不等式和絕對(duì)值不等式”，為了保持專(zhuān)題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過(guò)的不等式6個(gè)基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的思想出發(fā)，強(qiáng)調(diào)了比較大小的基本方法。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。同時(shí)了解貝努利不等式及其在數(shù)學(xué)估算方面的初步運(yùn)用。四、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)本專(zhuān)題的教學(xué)重點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；本專(zhuān)題的教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。 (4)基本不等式及其應(yīng)用（求最值）。對(duì)于超過(guò)3個(gè)正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。教學(xué)過(guò)程： 一、引入：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。怎么證呢? 二、不等式的基本性質(zhì)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。四、課堂練習(xí)：1：已知，比較與的大小。五、課后作業(yè)，6，7題六、教學(xué)后記：課 題：　第03課時(shí) 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式教學(xué)目標(biāo)：1．能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最值問(wèn)題；2．了解基本不等式的推廣形式。解一： ∴解二：當(dāng)即時(shí) ∴上述兩種做法哪種是錯(cuò)的？錯(cuò)誤的原因是什么？變式訓(xùn)練1 的最小值。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是解不等式，另一類(lèi)是證明不等式。定理（絕對(duì)值三角形不等式）如果是實(shí)數(shù)，則注：當(dāng)為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立.推論1：推論2：如果是實(shí)數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.思考：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何解釋?zhuān)浚ㄔO(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a，b，c，則線(xiàn)段當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時(shí)，等號(hào)成立。⑵2. ()求證:⑴。即 。圖11如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。例解不等式。這就是說(shuō)，或例不等式 ，對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線(xiàn)走到同一地點(diǎn)。討論：如果，甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？三、課堂練習(xí)：1．比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。海?）與；（2）與.2．已知 求證：（1） （2）3．若，求證四、課時(shí)小結(jié)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。求證： 分析：用綜合法。分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。上式顯然成立，所以 。證明： = = 由于都是正數(shù)，所以而，可知 即（等號(hào)在時(shí)成立）探究：如果將不等式中的分別用來(lái)代替，并在兩邊同除以3，會(huì)得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： ，其中是互不相等的正數(shù)，且.三、課堂小結(jié)：解不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)正數(shù)或一