【正文】 查看詳細(xì)資料數(shù)九歌－北京一九二九不出手；三九四九冰上走； 五九六九沿河看柳；七九河開八九雁來； 九九加一九，耕牛遍地走。帖子59要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)、學(xué)生互評(píng)、教師評(píng)價(jià)有機(jī)結(jié)合。 四、開放性。 　 但正是由于千千萬萬個(gè)無名的數(shù)學(xué)家的失敗，才導(dǎo)致了高斯、波爾約、羅巴切夫斯基從 另外的角度來處理這個(gè)問題?？纯礆v史上的那些大數(shù)學(xué)家，哪一位沒有做過難題？從 教學(xué)的角度來看，問題是要適量。同樣“引入坐標(biāo)”，比“平面幾何”中的一道難題的解可能更易 于理解，“引入坐標(biāo)”之后，解幾何難題則比較容易了。（2）一門學(xué)科對(duì)其他學(xué)科的影響也是多方面的，例如，中學(xué)的“ 代數(shù)”課程，從方程式的角度導(dǎo)致了“線性代數(shù)”及“抽象代數(shù)”的產(chǎn)生，但從排列組合的 角度導(dǎo)致了組合數(shù)學(xué)的產(chǎn)生；又例如，“非歐幾何”的產(chǎn)生，引發(fā)了“幾何基礎(chǔ)”的深入討 論等。　　微積分的一些原始的思想，可以追溯到很遠(yuǎn)。有了復(fù)數(shù)與歐拉公式，使人們 對(duì)三角學(xué)的已有理論的理解更為深刻，并可以把一些原始的、復(fù)雜的處理三角學(xué)的方法與工 具“拋到一邊”。這門課程，主要討論六個(gè)三角函數(shù)的相互關(guān) 系及計(jì)算。　　2000多年來，不知有多少數(shù)學(xué)家致力于用其他的公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)，甚 至有人為之付出了整個(gè)一生，但還是以失敗告終。由于 引進(jìn)了坐標(biāo)，幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題，于是可以用一些代數(shù)的工具與方法來處理，從而使 幾何問題得解，這種思想與方法，使整個(gè)數(shù)學(xué)面目為之一新。有了“群”以及后來發(fā)展起來 的現(xiàn)代代數(shù)理論，使人們可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數(shù)方程求根式解的問題。　　作為中學(xué)“代數(shù)”中的一個(gè)重要內(nèi)容是解多元一次聯(lián)立方程組?！　∮伞皵?shù)字符號(hào)化”而產(chǎn)生的中學(xué)“代數(shù)”的內(nèi)容，的的確確是“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。在西方，也或遲或早地出現(xiàn)了這些內(nèi) 容，而這些內(nèi)容包括我們從小學(xué)一直到中學(xué)所學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程的全部?jī)?nèi)容。這是因?yàn)槿藗冸S著年齡的不斷增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)與 他的年齡與智力相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)才是最佳選擇。但后來數(shù)學(xué)的分支愈分愈細(xì)，全面懂 得各個(gè)分支的數(shù)學(xué)家愈來愈少，到19世紀(jì)末，希爾伯特作講演時(shí)，已經(jīng)是這種情況。這些問題對(duì)20 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，但20世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他所提出的問題。20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)際上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了希爾伯特所預(yù)示的范圍。一、百年前的講演　　一個(gè)世紀(jì)前，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（1862—1943）在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《 數(shù)學(xué)問題》的著名講演。二進(jìn)位制的三個(gè)數(shù)位正好記為八進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位，這樣，數(shù)字長(zhǎng)度就只有二進(jìn)位制的三分之一，與十進(jìn)位制記的數(shù)長(zhǎng)度相差不多?？傊M(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位正好對(duì)應(yīng)計(jì)算機(jī)介質(zhì)的一個(gè)信息記錄點(diǎn)。近年來用光盤記錄信息的做法也越來越普遍，光盤上海一個(gè)信息點(diǎn)的物理狀態(tài)有兩個(gè)：凹和凸，分別起著聚光和散光的作用。同時(shí)，在你的日常生活中，它也會(huì)為你提供方便的。要是你想量樹的高，影子也可以幫助你的。英語中的zero（零）這個(gè)詞可能是從阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演變過來的；而阿拉伯文 sifr又是從印度文中表示無和空的詞sunya翻譯過來。阿拉伯人在公元711年侵入了這個(gè)半島，直到1492年還在那里。印度和阿拉伯?dāng)?shù)系　　我們現(xiàn)在常用的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，是印度阿拉伯?dāng)?shù)系。以致中世紀(jì)出現(xiàn)一種習(xí)慣：洗去老羊皮手稿上的墨跡，然后再用。把蘆葦?shù)那o切成一條條細(xì)長(zhǎng)的薄片，并排合成一張，一層層地往上放，完全用水浸濕，再將水?dāng)D壓出來，然后放到太陽地里曬干。在北美和南美，某此本地的印第安人和愛斯基摩人的部落中仍然采用手指數(shù)。事實(shí)上，用手指和手的不同位置表示數(shù)，應(yīng)該比使用數(shù)的符號(hào)或數(shù)的名稱還早?！　《M(jìn)制即以20為基的數(shù)系，曾被廣泛應(yīng)用，它使用人想起人類的赤腳時(shí)代?！　】梢栽O(shè)想：五進(jìn)制即以5為基的數(shù)系，是最初用得很廣泛的計(jì)數(shù)法。1，2，……10這十個(gè)數(shù)，英語中均有基特殊的名稱：one,two,…… ten。把2種共同性質(zhì)加以抽象，并采用與任何具體事物都無關(guān)的某個(gè)語音來代表它，或許人類經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間以后才實(shí)現(xiàn)的，雖然在今天看來，這是如此的簡(jiǎn)單。一個(gè)部落首領(lǐng)必須知道自己的部落有多少成員、有多少敵人；一個(gè)人需要知道他羊群里的羊是否少了。他不同意第一種解釋，因?yàn)樵谄樟_克洛斯關(guān)于歐幾里得的評(píng)注中，或在任何古代資料中，都沒有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證?！　∵@里“數(shù)學(xué)家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學(xué)。拉爾修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ?。蹋幔澹颍簦椋酰螅┖?jiǎn)短提到外，這一可信性還有一個(gè)較遲的而直接的數(shù)學(xué)來源，即來源于普羅克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）對(duì)歐幾里得的評(píng)注：但這一可信性不是來源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個(gè)“自然哲學(xué)家”；也不是來源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個(gè)政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛好者”，甚至還能預(yù)報(bào)日蝕。公元１０世紀(jì)的拜占庭希臘字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理學(xué)”、“幾何學(xué)”和“算術(shù)”的詞條，但沒有直接列出“數(shù)學(xué)”—詞。亞里士多德的邏輯方法大約是介于二者之間的，而亞里士多德自己認(rèn)為，在一般的意義上講他的方法無論如何只能是一種輔助方法。希羅多德的這一發(fā)現(xiàn)，受到了肯定和贊揚(yáng)。這樣，每400年差的三天就扣出來了。為了方便，一年算365天。愷撒。到兩千多年前，人們知道了一年等于12又7/19陰歷的月，就采用“19年7閏”的方法設(shè)置閏月。這些計(jì)算年的方法當(dāng)然都是很原始，很不精確的。這里的“朔”字是我國第一次使用的，意思是整晚見不到月亮。月，是從月亮來的。它總結(jié)了古代勞動(dòng)人民天文學(xué)和數(shù)學(xué)的成就。太陽升落一次，就是一天，所以一天又叫一日。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330前275年）給圓下定義要早100年?！　」糯诉€發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。圓的歷史古代人最早是從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個(gè)圓的呢？　18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再從另一面鉆。這種求圓周率的方法稱為“割圓術(shù)”?！　『髞?960年的國際會(huì)議規(guī)定。我國卻在１２４０年前就已創(chuàng)造了“０”，我國的零，當(dāng)時(shí)是“○”，它是根據(jù)寫字時(shí)缺字用“□”來表示缺字，“０”表示這個(gè)數(shù)沒有，或這個(gè)數(shù)位上沒有，用“○”表示，隨著人們長(zhǎng)期不斷地記數(shù)，慢慢發(fā)展演變，最后確定為今天的“０”。例如常遇到的1/3，在十進(jìn)位制里要變成無限小數(shù)，但在這種進(jìn)位制中就是一個(gè)整數(shù)。以1/60作為單位，就正好具有這個(gè)性質(zhì)。 時(shí)間的單位是小時(shí)，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關(guān)系。, ,ｉ，２＋ ｉ，ａ，ｘ， ，自然對(duì)數(shù)底e，圓周率 。所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要從數(shù)學(xué)符號(hào)開始。位值制必須有表示零的辦法?！　∮《热藢?duì)零的最大貢獻(xiàn)是承認(rèn)它是一個(gè)數(shù)，而不僅僅是空位或一無所有?！钡闹虚g的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了“分”。他于１６３１年出版的《數(shù)學(xué)之鑰》中引入這種記法。 加減乘除的來歷　　加減乘除（＋、－、(?)、247。 　?。保担担纺辏瑪?shù)學(xué)家雷科德在他的《智慧的激勵(lì)》一書中，首先把“＝”作為等號(hào)，他說：“最相像的兩件東西是兩條平行線，所以這兩條線應(yīng)該用來表示相等。兩音頻率之比越簡(jiǎn)單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。一序：有淺入深，循序漸進(jìn)；二勤：精于勤，荒于嬉；三恒：持之以衡，鍥而不舍；四博：從精出發(fā)，博覽群書；五問：不恥下問；六記：多動(dòng)筆墨，多作筆記；七習(xí)：溫故而知新；八專：專心致至，專心博廣；九思：多加思考，學(xué)校運(yùn)用；十創(chuàng)：觸類旁通，敢創(chuàng)新路。4． 要注意積累材料。 大約在公元五至十世紀(jì)間，九九歌才擴(kuò)充到“一一如一”。只要小學(xué)階段做到這點(diǎn)就可以了。教科書、有關(guān)參考書要精讀，其他讀物要博覽，擴(kuò)大視野，豐富知識(shí)。如能善于從師，請(qǐng)教師長(zhǎng)或同學(xué)則可以少走彎路?！　∪祟惡茉缇驮趯?shí)踐中對(duì)聲音是否和諧有了感受，但對(duì)諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現(xiàn)以后，這是因?yàn)橄艺駝?dòng)頻率和弦的長(zhǎng)度存在著簡(jiǎn)單的比例關(guān)系。由于我們討論的是音的比較，可暫時(shí)不管音的絕對(duì)高度（頻率），因此又可將音樂簡(jiǎn)寫為：C0C1C2C3……20212223……　　需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的?！　∪藗兤鸪跤谩啊薄　〔坏忍?hào)在數(shù)學(xué)中有著普遍應(yīng)用，在使用它們時(shí)，應(yīng)遵循如下原則（a、b為實(shí)數(shù)）　?。ǎ保┤鬭＞b，則b＜a　?。ǎ玻┤鬭＞b，那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)c，有a177。到１５１４年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法。除法符號(hào)“247?！　∥覀冎溃悴粌H表示一無所有，它還有以下的一些意義；在位值制記數(shù)法中，零表示“空位”，同時(shí)起到指示數(shù)碼所在位置的作用，如３０４中的０表示十位上沒有數(shù)；零本身還是一個(gè)數(shù)，可以同其他的數(shù)一起參與運(yùn)算；零是標(biāo)度的起點(diǎn)或分界，如每天的時(shí)間從０時(shí)開始。　　我國自古以來就用算籌來記數(shù)，早就用算籌來記數(shù)，用的是１０進(jìn)位值制。數(shù)學(xué)中的符號(hào)　　我們知道，數(shù)學(xué)起源于結(jié)繩記數(shù)和土地測(cè)量。此前，所有的已知數(shù)都是用具體數(shù)字表達(dá)的，從而限制數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。一句話，符號(hào)是數(shù)學(xué)前進(jìn)，發(fā)展，運(yùn)用的工具。數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的重要途徑，愿同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)中學(xué)好符號(hào)，用好符號(hào)。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉(zhuǎn)，這里自轉(zhuǎn)的角度和時(shí)間是緊密地聯(lián)系在一起的。其實(shí)印度起先發(fā)明時(shí)沒有“０”，他們把“２０４”，寫成“２ ４”，中間空著，把２００４，寫成“２ ４”，怎么區(qū)別中間有幾個(gè)零呢？為了避免看不清，就用點(diǎn)“　　當(dāng)時(shí)的科學(xué)技術(shù)還很不發(fā)達(dá)。這是我國古代最早所用的圓周率“徑一周三（即取π≈3）”的來歷，后人稱為古率?！　」糯诉€發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。 古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。美索不達(dá)來亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3?！　‖F(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后一千萬以上了。而天文學(xué)只有借助于數(shù)學(xué)才能發(fā)展，因此，很早就開始了數(shù)學(xué)的研究。一個(gè)數(shù)代表一天，從甲子到癸亥，一共六十天，再從甲子開始，周而復(fù)始。（現(xiàn)在知道：一個(gè)朔望月有29日12小時(shí)44分3秒，）為了使一個(gè)月的日子是整數(shù)，以后又規(guī)定大月30天，小月29天。美洲印第安人計(jì)算年以初雪為標(biāo)志，澳洲人則根據(jù)雨季計(jì)算。閏年一年就有384或385天。也就是說，一、三、五、七、八、十、臘月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，只有二月，平年28天，閏年29天。這一來不就多了一天嗎？于是又從2月里拿出一天來。于是又規(guī)定，整百年的數(shù)必須能被400整除才算閏年，否則不算?！　　≡诂F(xiàn)存的資料中，希羅多德（Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年）是第一個(gè)開始猜想的人。亞里士多德所說的是否是事實(shí)還值得懷疑，但這并不影響亞里士多德聰慧和敏銳的觀察力?！　　皵?shù)學(xué)”一詞是來自希臘語，它意味著某種‘已學(xué)會(huì)或被理解的東西’或“已獲得的知識(shí)”，甚至意味著“可獲的東西”，　“可學(xué)會(huì)的東西”，即“通過學(xué)習(xí)可獲得的知識(shí)”，數(shù)學(xué)名稱的這些意思似乎和梵文中的同根詞意思相同。但數(shù)學(xué)名稱的專有化確實(shí)受到人們的注意。　　對(duì)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來說，數(shù)學(xué)是一種“生活的方式”。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號(hào)”邏輯的基礎(chǔ)，而２０世紀(jì)的“符號(hào)”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。但是，關(guān)于這些數(shù)學(xué)的發(fā)展方式則多半來源于揣測(cè)?！　≡谡Z言計(jì)數(shù)的較早階段，即使是同樣的數(shù)字，但如果實(shí)際物體不同，表示方法也大不一樣。這時(shí)，大于b的數(shù)目用已選定名稱的數(shù)目的組合表示?！　∮凶C據(jù)表明：2，3和4也曾被當(dāng)作原始的數(shù)基。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，鐘有12個(gè)小時(shí)，一年有12個(gè)月。英國人也常用score20這個(gè)字?！　∈种笖?shù)的樣式，在文藝復(fù)興時(shí)期的算術(shù)書上有記載。　　但是，古人為了滿足自己記錄的需要，也想辦法創(chuàng)造了一些工具。自然，這是稀有和難得的。在羅馬帝國之前和羅馬帝國時(shí)代，常用沙盤進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和畫幾何圖形。但是，考古學(xué)家推測(cè)，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某個(gè)時(shí)刻傳到印度的，因?yàn)椴ㄋ箶?shù)學(xué)家花拉子密在公元825年寫的一本書中描述過這樣一種完整的印度數(shù)系。V身高也是一把尺子。你若去游玩，要想知道前面的山距你有多遠(yuǎn)，可以請(qǐng)聲音幫你量一量。 這要從計(jì)算機(jī)的工作原理說起。 但在人機(jī)交流上，二進(jìn)位制有致命的弱點(diǎn)——數(shù)字的書寫特別冗長(zhǎng)。 100年過去了，這 些問題近一半已經(jīng)解決或基本解決，還有些問題雖取得了重大進(jìn)展，但尚未最后解決，如黎 曼猜想、哥德巴赫猜想等。因?yàn)橐粋€(gè)偉大時(shí)代的結(jié)束，不僅促使我們追溯過去，而且把我們的思想引向那未知 的將來。在這里我只想講一講對(duì)他演講中一段話的粗淺認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)的歷史中，一些新的有力的工具、更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)，往往標(biāo)志著 一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，標(biāo)志著一些老的分支的衰落甚至結(jié)束?！　∪⑺阈g(shù)與代數(shù)　　人類有數(shù)的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在30萬年前就有了，但是有文字記載 的數(shù)到公元前3400年左右才出現(xiàn)，至于數(shù)的四則運(yùn)算則更晚。西方徹底完成數(shù)字符號(hào)化是在16世紀(jì)。例如求解“雞兔同籠”題 ，當(dāng)時(shí)老師講的求解的方法，現(xiàn)在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是 ：