[理學]8-3多元函數(shù)的全微分-免費閱讀
【正文】 當 )0,0(),( ?yx 時， ?),( yxf x ,1c o s)(1s i n22322222 yxyxyxyxy????當點 ),( yxP 沿直線 xy ? 趨于 )0,0( 時 , ),(lim00yxf xxyx???)||2 1c o s||22||2 1s i n(lim 330 xxxxxx ?? ?不存在 . 所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不連續(xù) . 同理可證 ),( yxf y 在 )0,0( 不連續(xù) . ,)()( 22 yxρ ??下面證明： )0,0(),( 在點yxf 可微 . ρyfxff yx )0,0()0,0( ???令 則 .0),(d )0,0( ?yxf注 此題表明 , 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只 是 可微的 充分條件 . 而 非 必要條件 . 多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的關(guān)系 函數(shù)可微 函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在 例 31 解 .的全微分求函數(shù) xyxyz ??數(shù)，的所有點處有連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)在 0?x從而可微.d1dd 2 yxxxx yyz ?????? ???????? ??例 4 計算函數(shù) 在點 (2,1) 處的全微分 . yxz e?解 ???xz22 e2)1,2(,e)1,2( ??????yzxz???yz,e yxy yxxe求函數(shù) 22 yx xyz ??時的全增量和全微分 . 解 z? ,1 ,2 ???? ??? yy xx22 ????22 1212???? 。二、可微的條件 一、全微分的概念 多元函數(shù)的全微分 第三節(jié) 第八章 函數(shù)的微分 一元函數(shù) y = f (x)的增量： )()( xfxxfy ?????xxfy ??? )(d（當一元函數(shù) y = f (x)可導(dǎo)時） 二元函數(shù) z = f (x,y)： ),(),( yxfyxxfzx ?????（當二元函數(shù) z = f (x, y) 對 x的偏導(dǎo)數(shù)存在時） )(),( xοxyxf x ????對 x的偏增量 對 x的偏微分 )( xoxA ????一、全微分的概念 1. 問題的提出 ),(),( yxfyyxfzy ????? 對 y的偏增量 對 y的偏微分 )(),( yοyyxf y ????（當二元函數(shù) z = f (x, y) 對 y的偏導(dǎo)數(shù)存在時） ),(),( yxfyyxxfz ???????在點 (x,y)的全增量 問題 yx ?? 、 的線性函數(shù)來 近似代替函數(shù)的全增量？ 可否用自變量的增量 如果函數(shù) z = f ( x, y )在點 ( x , y )處的 可表示成 ,)( ρoyBxAz ??????其中 A , B 不依賴于 ?
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