【正文】 ,0)0(222222221CxyyxxyxyxyyxxyxyyyxxxxxyxyxyxyxxxxfCCff??????????????????????????????????故全微分方程的通解為即該全微分方程為故代入得：把第四節(jié) 歐拉方程和常系數(shù)線性微分方程組 （ Euler）方程的解法 形如 ??? ???? 222111 nnnnnn yxpyxpyx).(1 xfypyxp nn ???? ??, 21 pp np,其中 … 為常數(shù) . 特點：各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)恰等于與之相乘的 自變量的冪次數(shù) . 解法：作變量代換，設 tex ? xt ln?，即 ),0( ?x dtdydxdyy ???dtdyxdxdt 1? ,11222 ?????? ???????????dtdydtydxdtdyxdxdy 代入歐拉方程，即可化為以 t 為自變量的常系數(shù)線性微分方程 ???????????dtdydtyddtydxy 23139。*39。39。1,d1d12,1dd2dd39。 3. ? ????? ?? dxexQeCey dxxPdxxPdxxP )()()( )(非齊次方程的特解 齊次方程的通解 非齊次方程 解的結(jié)構 例 : xexydxdy x c os2 2??]c os[ 22 2 Cdxexeey x d xxx d x ????? ? ?]c o s[2 Cx d xe x ?? ? )( s i n2 Cxe x ??例 : 求方程 滿足初始條件 的特解 . ydxdyyx ?? )( 2 1| 3??xy將 y 視為自變量 ,可以變成關于 x 的線性方程 : yxydydx ?? 1 yyQyyP ??? )(,1)(][11Cdyyeex dyydyy ????? ? ???)( Cyy ??由 得 : 1|3??xy 2?C故所求特解為 : )2( ?? yyx四 .伯努利方程 一般形式 : )1,0(,)()( ??? nyxQyxPdxdy n當 n= 0 或 1時 ,這是線性方程 . 當 時 ,可以化成線性方程 : 1,0?n兩端同除以 ,ny),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??),()()(1 1 11xQyxPdxydn nn???? ??令 ,1 nyz ?? 則 ).()1()()1( xQnzxPndxdz ????關于 z 的線性方程 求出通解后再還原回 y 例 : 2yyxy ???211 yxyxy ????兩端同除以 ,2yxyxyy11 12 ???? ??令 ,1?? yz,11 xzxz ???]1[11Cdxexez dxxdxx ????? ??)(1 Cxx ??代入 ,1?? yz 通解為 .cx xy ??五 .全微分方程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP對于微分方程 ),( yxdUCyxU ?),(則通解為 全微分方程 注 : (1).當 P(x,y),Q(x,y)在單連域 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù) ,且 xQyP????? 時 ,上述方程為全微分方程 . (2). DyxCdyyxQdxyxPyxU yyxx ???? ?? ),(,),(),(),( 00000(3). 對于非全微分方程 ,有時可以找到函數(shù) , 使得 ),( yx?0),(),(),(),( ?? dyyxQyxdxyxPyx ??全微分方程 積分因子 (4). 觀察法往往很實用 . 例 : 0)(2)( 2 ???? dyyxydxxyxQyyP?????? 2因為 全微分方程 取 ,0,000 ?? yxCdyyxydxxyxU yx ????? ?? 00 )(2)(),(Cyxyx ????? 322 3221解法一 : 解法二 : 02)2(22 ???? dyyx d xx y d ydxy0)32()2()( 322 ???? ydxdxyd0)322( 322 ??? yxxydCyxyx ????? 322 3221例 : 0?? x d yy d x 非全微分方程 由于 2)( yx dyy dxyxd ?? 則 是積分因子 , 21yCyx ?同乘以積分因子并積分得通解 : xyx1,12易知 也是積分因子 例 : 0)1()1( ???? x d yxyy d xxy非全微分方程 變形 0)()( ???? x d yy d xxyy d xx d y0)()( 22 ??? ydyxdxyxxyd則 是積分因子 , 221yx0)( 22 ??? ydyxdxyx xyd .||ln1 Cyxxy ????注意 :其他類型的微分方程往往可以化成上述類型 例 : yyxy 2s i nc os1???視 x 為 y 函數(shù) ,可化成線性方程 yxydydx 2s i nc os ???通解為 : ]2s i n[ c osc os Cdyeyex y d yy d y ????? ? ?)s i n1(2s i n yce y ???思考 )(,1)1(,)()1()(),1[)(.111xyydtttyxdttyxxyxx求內(nèi)有連續(xù)導數(shù)且滿足在設???????.e)(,e,e,0)()13()(39。 ?常微分方程的特點：求通解 與特解 ? 常微分方程的應用：自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研 究等。后來瑞士數(shù)學家雅各布 例如描述物質(zhì)在一定條件下的運動變化規(guī)律；某個物體在重力作用下自由下落時距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行的軌道等。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。39。39。)( xfyxQyxPy ???? ???])[(])[(][ ??? ???????? yYxQyYxPyY)()(0 xfxf ???將 代入 (3)的左端 : ??? yYy??????? ])()([ YxQYxPY ])(39。c o s2*,02,0242,s i n4c o s2s i n2s i n439。39。 22333 (消元法 ) 一階線性微分方程的標準形式 ??????? ?njijiji nitfxadtdx1,2,1),( ?（ i）用求導、積分、四則運算等由方程組中消去一 個未知函數(shù)及其導數(shù)，得一個只含一個未知函數(shù)的高階微分方程 （ ii）解式（ i）中求得的微分方程，得其通解 . （ iii）把式（ ii）中求得的通解代入原方程組，求出另一個未知數(shù) 。,e)(*2DCDCCxDCCxxyyDCxyxxxx，并整理得：代入微分方程一個特解為：設非齊次微分方程的另.e)1(c o s2s i n2c o s,210)0(39。39。223111122CxCCyxCyxCpxxppppxpxpxpypy????????????????：積分得微分方程通解為，即：簡得：等式兩端同時積分并化分離變量得：原方程可化為