【正文】 pnffx?01x?西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）33第 5 章 結 論多項式問題的研究是一個古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù)學中占有重要地位． 為解析式子比較復雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最小，這就是用多項式來逼近函數(shù)問題的研究．多項式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，由于多項式便于計算，便于求導數(shù)，求積分．因此多項式逼近在數(shù)學分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個角度研究其逼近的方法和應用．本文主要是研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的相關結論——Weierstrass 逼近定理： 設 ，則存在多項式 ，使????,fxCab?nnPxp?)(． lima0nnxbf?????該定理是 Weierstrass 于 1885 年提出的， 保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項式以任意給定的精度去逼近．通過引用 Bernstein 多項式 knknknn xfxfBf ?????????)1()。nfxBf???0x???那么當 時，若 及 ，有 ，對 成立。nKfx?，總可以找到一個充分大的 ，使得當 時，恒有0??N? ， ， ．??。nnfxxf????? ，?1 10 ii ni iffB?? ????????????????????上式右端的第一項將隨 而趨向于 ，第二項趨于零．則得到n????xf????21lim。ninniBfxfBx???????? ??1 101n iniiiffBxn? ??????????????? ?????? ?因此 ????1。nfx??0,1上升（下降）函數(shù)．證明： 設 f 在 上是上升的，特別地??, ． 由??????0121ffnff??? ， 10。nBfx為被逼近函數(shù)．3．1．2 Bernstein 算子的一些性質(zhì) 由 Bernstein 形式的已知性質(zhì)得 （33）??。 infinite interval西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）I目 錄第 1 章 緒論 ......................................................................................................................11．1 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的背景 .............................................11．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的意義 .............................................1第 2 章 WEIERSTRASS 逼近定理的證明及應用 ..........................................................32．1 WEIERSTRASS 逼近定理的第一種證明 ..................................................................32．1．1 Weierstrass 逼近定理的 Bernstein 證明 ......................................................32．1．2 閉區(qū)間 上的 weierstrass 逼近定理 ......................................................6??ba,2．2 WEIERSTRASS 逼近定理的第二種證明 ..................................................................62．3 WEIERSTRASS 逼近定理的推廣 ..............................................................................92．3．1 Weierstrass 第二定理 ...................................................................................92．3．2 WeierstrassStone 定理 ...............................................................................102．3．3 Weierstrass 逼近定理的逆定理 .................................................................11第 3 章 BERNSTEIN 多項式和 KANTOROVICH 算子 ..............................................133．1 BERNSTEIN 多項式 ................................................................................................133．1．1 Bernstein 多項式的定義 ............................................................................133．1．2 Bernstein 算子的一些性質(zhì) ........................................................................143．2 KANTOROVICH 算子 ..............................................................................................193．2．1 Kantorovich 算子的定義 ............................................................................193．2．2 Kantorovich 算子的性質(zhì) ............................................................................203．2．3 Lebesgue 可積函數(shù)的 Kantorovich 算子逼近 ..........................................213．2．4 加權的 Kantorovich 算子 ...........................................................................22第 4 章 S． BERNSTEIN 多項式在無窮區(qū)間上的推廣 ...............................................254．1 無窮區(qū)間上 S．BERNSTEIN 多項式的定義 .........................................................254．2 無窮區(qū)間上 S．BERNSTEIN 多項式逼近定理 .....................................................25第 5 章 結 論 ..................................................................................................................33參考文獻 …………………………………………………………………………………35致 謝 ............................................................................................................................37西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）1第 1 章 緒論1．1 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的背景 眾所周知，逼近的思想和方法滲透于幾乎所有的科學，其中包括自然學科和人文學科．逼近論是一門研究各類函數(shù)性質(zhì)的學科，同時它又是計算數(shù)學、科學工程計算諸多數(shù)值方法（包括函數(shù)計算、數(shù)值微分、微分、積分方程數(shù)值解，曲線、曲面生成以及數(shù)據(jù)處理等等）的理論基礎和方法根據(jù)．函數(shù)逼近論是一門歷史悠久內(nèi)容豐富而且實踐性很強的學科，是數(shù)學中最蓬勃發(fā)展的領域之一．其發(fā)展經(jīng)歷了一個相當漫長的時期．早在十九世紀五十年代，人們已經(jīng)對函數(shù)逼近論有了深入的研究．1859 年 Chebyshev 提出的最佳逼近的特征定理、1885 年 Weierstrass 所建立的關于連續(xù)函數(shù)可以用多項式逼近的著名定理，使得函數(shù)逼近成為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支．但函數(shù)逼近論作為一門獨立的學科得以蓬勃發(fā)展卻是上個世紀Jackson，Bernstein 以及蘇聯(lián)學派的一系列深刻工作所推動的．Bernstein 多項式在函數(shù)逼近論中是一個古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由 Bernstein 收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢． 此外，由 Bernstein 算子變形產(chǎn)生了許多算子．沈燮昌對函數(shù)逼近論的發(fā)展做了一個較為詳盡的總結和概括，其中說函數(shù)逼近論不僅研究實變函數(shù)域多項式的逼近問題，而且還研究其他函數(shù)系諸如有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、無理函數(shù)、逐段多項式的最佳逼近以及復數(shù)域上各種函數(shù)系的最佳逼近．本文通過證明 Weierstrass 逼近定理，以及對 Bernstein 多項式和由 Bernstein 算子推廣得到 Kantorovich 算子的研究，引入 S．Bernstein 多項式將對連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)的研究閉區(qū)間推廣到無窮區(qū)間等．西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）21．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的意義在計算機的時代，逼近論正以前所未有的速度，迅速地向前發(fā)展著．函數(shù)逼近問題是從繪圖學、機械設計等實際需要中提出來的．函數(shù)逼近理論的研究具有悠久的歷史，其研究的核心為用簡單函數(shù)來逼近一類較為復雜的函數(shù)，其中心問題是研究各類函數(shù)的光滑性與逼近程度的相互關系． 多項式問題的研究是一個古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù)學中占有重要地位．多項式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，因為多項式便于計算，便于求導數(shù)，求積分．因此多項式逼近在數(shù)學分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個角度研究其逼近的方法和應用．隨著數(shù)學理論研究的深入和計算機技術的發(fā)展，由于電子計算機只能做算術運算，因此，在計算機上計算函數(shù)必須用其他簡單的函數(shù)來逼近（例如用多項式來逼近函數(shù)） ，且用它來代替原來精確的函數(shù)計算．多項式函數(shù)由于其計算上的簡單性 ，在數(shù)值近似理論以及工程計算方面有著廣泛的應用．在實際的應用中，經(jīng)常遇到這樣的問題：為解析式子比較復雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項式來逼近函數(shù)問題