【正文】 但是 結(jié) 很難畫。然后我們真扎著想解釋想象的東西，然后表達(dá)清楚，并用感覺來驗證，總是要用語言來理解些什么，因為三維幾何機(jī)構(gòu)比較復(fù)雜難以表達(dá)。不幸的是揭露過程還需要等待。 撞擊的螺旋波的一部分要超過被 擦掉 的部分，因為他們要互相湮滅的。事實上，當(dāng) Winfree 早年試圖畫出草圖的時候，偶然曾經(jīng)畫出一個毫無關(guān)系的圖出來，就像一個蛇神爬在四腳飛行物上一樣。拓?fù)鋵W(xué)理論 還 揭示了第二個 卷無法預(yù)料何時但一定會與第一個卷連接著。 在裝完他認(rèn)為是產(chǎn)生滾動環(huán)比較好的環(huán)境后，就讓反應(yīng)開始進(jìn)行然后用化學(xué)方法讓反應(yīng)突然定住，捕捉到了運動中的定態(tài)。 Page220 Winfree 自己確信液體中某處的液體是不會停下的。我們 輕擊 一下第一個多米諾牌，然后傾倒的趨勢就沿著整個鏈傳播開來。更 根本地 說，波沿著波陣面 自身交錯的傳播開來。 Boris Belousov 看到他做的東西會很欣慰。他想知道這個螺旋波在 Zhabotinsky 的簡化化學(xué)系統(tǒng)內(nèi)是否會發(fā)生。然而，在 1950 年代末關(guān)于這個令人驚奇的化 學(xué)反應(yīng)一直在莫斯科的化學(xué)家中間流傳著，并且在 1961 年一個叫做Zhabotinsky的研究生被他老板指派去研究這個問題。當(dāng)他把檸檬酸和溴酸根離子混合在一起以硫磺酸作為催化劑，他驚訝的發(fā)現(xiàn)混合物先變黃，大約一分鐘后退色，再來約一分鐘后又變成黃色，再退色，在達(dá)到平衡前大約一個小時內(nèi)繼 續(xù)振蕩幾十次。 有了 Zhabotinsky 試劑的幫助，科學(xué)家們無需 了解激勵媒介中波擴(kuò)散的秘密。他們也不會衰減，但是當(dāng)其中的兩個相互碰撞的時候就湮滅了。 在許多情況下，這個化學(xué)波中央表現(xiàn)的行為有些像人類的性反應(yīng)。而是有一種激勵在移動 。振蕩已經(jīng)過去了。 一般說來，做化學(xué)試驗時你期望的最有趣的結(jié)果就時 一陣噴煙 或者有害的氣味。也許我不太擅長人際關(guān)系，也許我有體味，不知道 …… 但是實驗室的人口數(shù)量是 1。 知道哪些是可能的后，他就可以確定在以后的試驗里尋找什么東西，并且希望能夠認(rèn)識 一些 古怪 的結(jié)構(gòu)體。 為了研究三維形態(tài)，需要一種紙關(guān)心空間而不需要關(guān)心時間的數(shù)學(xué)知識。 當(dāng) Winfree 在他的 文章里 提到“‘ 夜間活動 ’ 在心臟肌肉上的應(yīng)用”時就提到了這 些奇怪的電 激勵 。 波動組織的每一個環(huán)節(jié)都和它附近的鄰居耦合著，使得腸子成為一個有效的一維振動鏈。 一旦掌握了這些方案，下一步就是要揭示一維鏈或環(huán)的振蕩理論。 Winfree 最早研究的生物波動的自發(fā)同步已經(jīng)接觸到這個方面。我覺得我們在一起可以相互學(xué)習(xí)。那時 Winfree 成了我心目中的英雄。他做出了令人吃驚的預(yù)言，并且在實驗室里得到了證實。這已經(jīng)足夠能說明問 題了 ，但是因為某些原因那我再次把書放了回去，幾天后又回來看了一次。立刻我能夠看到這是一個不同尋常的科學(xué)家所做的工作。 為了重新點染做學(xué)術(shù)的激情，我徒步穿過大街到 Heffer 書店找一些關(guān)于生物數(shù)學(xué)的書。從現(xiàn)在開始，同步將不僅僅與節(jié)律相聯(lián)系，還和回路循環(huán)和重復(fù)性聯(lián)系起來。 另一個用混沌激光器來通信的原因是因為混沌更加復(fù)雜，更難以破獲。到目前位置基于混沌的方法都令人失望的被證明是很差的。偽裝裝置經(jīng)常很容易被擊破”。丟了號碼，他看著電話本驚奇的發(fā)現(xiàn)這個組織最機(jī)密處的電話號碼。 Pecora 意識到它自己對加密知識還需要作很多的了解。 而私下里 Pocora 和 Carroll 卻稱呼為 X 博士。 第二個信號是混合信號，信息里添加了掩碼 。聽到這個歌曲絕對不會感覺到里面還有一首歌曲夾雜在里面。電路上三個點的電壓 x， y， z 分別代表洛侖茲方程中的三個變量 。 當(dāng)然如果 不能從偽裝的信息里提取有用的信息，那就等于什么也沒做。他的證明是非常正確的，并且他的電路也能夠正確的模擬出洛侖茲方程（ Pecora 到今天為 止也很高興的承認(rèn)他并不知道 Cuomo 如何讓電路很好的工作）。為了準(zhǔn)備即將來臨的期末考試， 他把所有課程總結(jié)到一張紙上。如果這兩個變量的變化相等，就會畫出一條 45 度的斜線（因為當(dāng)水平畫出 y的時候， y′垂直畫出，如果他們的值相等的畫那么 y′和 y的位移一定相等 ） 。 Newb 的這個發(fā)明是免費使用的。 電子線路看起來似乎是最好的選擇；它們速度快，便宜又容易測量，短時間內(nèi)可以給出足夠的數(shù)據(jù)。 x， y， z以完全自然的方式滑行著，遵循洛侖茲 吸引體的狀態(tài)空間和混沌優(yōu)雅的圖像。 這個和 經(jīng)典恐怖電影《 Invasion of the Body Snatchers》 非常相象，從接收系統(tǒng)來看，這個新 x似乎是不可預(yù)測的。 給出其他兩個人任意時刻的位置，第三個就會隨定律嚴(yán)格的 做出相應(yīng)的反應(yīng)。 Pecora 發(fā)現(xiàn)，在一定的環(huán)境下，所有其他沒有被替換 掉的變量會自動的與驅(qū)動器中的對應(yīng)變量同步。 Pecora 在不同狀態(tài)啟動了收發(fā)器，并且用電腦來預(yù)測很長一段時間后的行為。 他的夫人和孩子都以入睡，很快他也開始打盹了，突然被 7 個月大的小女兒Anna 的啼哭聲吵醒，想必是要喝奶了。 蝴蝶效應(yīng) 表現(xiàn)得很強(qiáng)烈。所有無 線通信都是依賴于通信的。這個帶有魔力的想法就像 以前其他人都沒有實現(xiàn)一樣是很自然的。然而奇異吸引體的存在保證一定的秩序。 偶然間你也許會到車庫同一邊的同一層里，但卻永遠(yuǎn)不會到原來走過的位置。 這種無限復(fù)雜的平面 ――奇異吸引體―― 表征了一種新秩序。 但是 洛倫 茲原始的計算機(jī)圖像說明了軌跡是在有高度 有 組織的方式下 移動的 ，在可移動范圍內(nèi)的小范圍內(nèi)移動。 就像是一個彗星在一個假想的數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)航行 一樣。 洛倫 茲方程包括三個變量，因此其狀態(tài)是三維的。過了這段時間以后 ,初始誤差會像滾雪球一樣越來越大直到超過可容忍范圍 .通過降低標(biāo)準(zhǔn)或者提高初始測量手段是可以 延長 預(yù)測時間 長度 的 ,但問題是預(yù)測范圍總是依賴于初始測量精度的 :如果你想用相同的精度來雙倍延長預(yù)測時長 ,你也許要花費十倍的努 力才能做到 .如果你雄心壯志的想用相同的精度來三倍的延長預(yù)測時長 ,你也許需要花費 100 倍的努力才行 .四倍時長也許要上千倍的努力 .在混沌系統(tǒng) ,初始狀態(tài)測量所需要的精度十成指數(shù)增的而不是線性 . 這種指數(shù)關(guān)系帶有一定的破壞性 .也就是說在實際應(yīng)用中無論你的儀器怎樣先進(jìn)你只能在有限的幾個 李亞普諾夫 時間內(nèi)做出預(yù)測 .李亞普諾夫 時間 限制了一個時間范圍 ,超過這個范圍的預(yù)測就變得不可實現(xiàn)了 .對于基于混沌的電子線路 ,這個范圍就是千分之一秒 。 ) 因為馬摔掉了，失去了騎士 。從這種意義上說，任何事物都是可重現(xiàn)的。 你再次開啟水車，轉(zhuǎn)動方式截然不同。 然后輪子慢慢停下來，然后就開始順時針旋轉(zhuǎn)。 然后再通過小管口吸回去。 因為這些都需要智利和藝術(shù)天性，這也是同步混沌令人驚嘆的原因。伏德雨翻譯，未經(jīng)校對。 同步混沌的這 種 特性說明了毫無思緒的事 情也 能 達(dá)到 預(yù)期 的佳績！ 而即使一直保持完美的一致性單純的機(jī)械系統(tǒng)也會不可預(yù)知的悄悄的偏離。這個再流通裝置可以讓水穩(wěn)定的流入。 等稍長一會兒輪子會進(jìn)入一個 令人驚奇的 定態(tài) 行為： 一系列偶然的順時針和逆時針的交替， 被 逆轉(zhuǎn) 在不可預(yù)見的時間 立即 終止 。即使你花費了很大心思確保什么條件都和上一次一樣，它的轉(zhuǎn)動一開始會差不多，但是過一會就會有很大的差距，然后就產(chǎn)生一個完全不同的轉(zhuǎn)動序列。 但是在現(xiàn)實世界里，這些變量永遠(yuǎn)不會嚴(yán)格的相同。 (For want of a horse,the rider was lost。對于天氣人們也只能預(yù)測幾天 。對于水車――一個完全機(jī)械化的 洛倫 茲方程的模擬系統(tǒng)，其中的一個變量告訴我們 水車旋轉(zhuǎn)的速度和方向，兩外兩個變量表征了邊緣上的水是分 布的兩個方面。 這種方法的美妙之處就在于它把動態(tài)特性轉(zhuǎn)化成了幾何圖形。實際上，看起來軌跡好像被吸引到一個特殊的平面上――一個精巧的薄 膜 形狀看起來像蝴蝶的一對翅膀。 軌跡的運動是無法詳細(xì)的預(yù)測的，但它總是停留在吸引體上，總是在狀態(tài)集的同一個子集里運動。 這就是洛侖茲奇異吸引體軌跡的宿命。你總是被包圍在車庫里，以不同的秩序在相同的狀態(tài)空間里無休止的運動。直到混沌理論成為一個純的研究才變得舉足輕重，科學(xué)家被自然而非工程所迷住。比如說收音機(jī)， 收聽一個特別工作站的過程就是接收者鎖定發(fā)送者頻率的過程。 同步的發(fā)送器和接收器一開始會同步一會而，但是很快平衡就會破壞同步。夫人要起身去照料孩子，但 還是 Pecora 去料理了。 計算出來的數(shù)據(jù)偏移的很離奇 ，但是令 人驚奇的是，他們的這些值卻能很好的相互吻合 ，可以同步的工作了。 做完這個試驗后所有變量都互相吻合了，這兩個系統(tǒng)完全同步。 天才具有掌握規(guī)律的藝術(shù)天分，他們能確保表演很完美而不單調(diào)，他們的表演主題明確能讓人記住而又不重復(fù)。 y， z會這么想 “我們試圖和 x配合，然而它卻突然對我們發(fā)出的信息置若罔聞 ， ” ，“它的行為讓人琢磨不透”， y如是說。 但是，荒誕而又險惡的是， y 和 z 也會進(jìn)入小密集空間里。 Corroll 也贊同使用電子線路，然后就開始著手 用電子硬件來完成洛侖茲方程。他覺得沒有必要一定要設(shè)計一個電路去模仿洛侖茲水車或者 激 光器 或者其他物理系統(tǒng)；他知識對混沌好奇并想通過電子手段來研究它。既然 y′和 y時刻在改變，那么他們就應(yīng)該在這條斜線上來回前進(jìn)而不脫離這條斜線。 當(dāng)看著這些草寫的小字，我就知道我要做什么了。 但是這并不是 Cuomo 出名的原因。 這就是同步的由來。當(dāng) Cuomo 用示波器畫出 x，y 的圖，和奇異吸引體的蝴蝶翅膀一樣。當(dāng)這個經(jīng)過掩蓋的信息被發(fā)送到接收端，它的輸出和原始的混沌信號 完全吻合，然后接收器立即減去掩碼信號，我們就能再聽到 Mariahcarey 的歌曲了。而 Cuomo 和 Oppenheim 所采取的策略和他們的本質(zhì)上是相同的，甚至還沒有他們的好因為 Cuomo 的方法只用了一個信號來完成兩件事情――同步的建立和信號的傳播。 X 博士是一個嚴(yán)謹(jǐn)而又有能力的年輕人，帶著一個電腦，里面裝了模擬電子線路的軟件。 太空 作 戰(zhàn) 組 的科學(xué)家總結(jié)說這個新的裝置比較有趣，但海軍對這個卻沒什么需要。他撥打了 號碼連上了一個服務(wù)臺。 對于用蜂窩電話甚至是最低等級的 秘密 都可以采用混沌。 Kevin Short， 新罕布什爾州 立大學(xué)的一個數(shù)學(xué)家，展示了如何擊破到目前為止任何一個混沌編碼系統(tǒng)。復(fù)雜度可以通過數(shù)字量化，叫做奇異吸引體的維度，是普通維度概念的概括。同步混沌讓我們與宇宙中讓人眼花繚亂的新世界面對面，或者至少是以前所沒有認(rèn)識過的； 一種 我們原以為只有我們?nèi)祟惒庞械乃囆g(shù)形式。（在大學(xué)四年級的時候我曾經(jīng)寫過一片關(guān)于 DNA 幾何結(jié)構(gòu)的論文，而這整個經(jīng)歷 是和一個世界級的生物化學(xué)家在一起做研究，用一些我學(xué)過的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到還沒有解決的 染色體 結(jié)構(gòu)問題上，這個經(jīng)歷讓我難忘，以至于自己想成為一個數(shù)學(xué)生物學(xué)家 ） ，我掃描書架，突然一個標(biāo)題為“生物時間的幾何”的書映入眼簾。不，不僅僅只是不平常。最后覺得挺荒謬――好像是上帝在阻止其他人拿走書店里唯一一本這本書。有些是關(guān)于生命和死亡的事情。 但是他是在生物部 工作，而且那生物學(xué)研究生學(xué)位并不是我的打算――數(shù)學(xué)才是我的專業(yè)。 我不希望任何的其他人再給你分配工作，除非你拒絕了這份工作。到現(xiàn)在為止在好幾方面 已經(jīng)變得越來越成熟了。正如你想象的，會有新事情發(fā)生，超處純同步理論的事情： 波動可以從一個振蕩器穩(wěn)定的傳送到另一個振蕩器。而胃則是兩維的神經(jīng) 肌肉 振動包面，胃表面的每個單元都有節(jié)奏的攪動著并且主要和胃表面的附近單元相互影響著。 他想看看這些激勵時如何開始的，并且行為如何，應(yīng)該對他們做什么。當(dāng) Winfree 寫到 “ 拓?fù)浯鷶?shù) ” 時就提到了這個數(shù)學(xué)的分之拓?fù)鋵W(xué)，拓?fù)鋵W(xué)是一種 研究 連續(xù)形態(tài) 的學(xué)科一種深度概括的 富有彈性而非硬性的 幾何學(xué) 。 1982 年六月一個悶熱的天當(dāng)我到達(dá) Winfree 的試驗室的時候，他在全神貫注的準(zhǔn)備寫論文。你是唯一特例。作為對比， Zhabotinsky 則 不斷的制造出有趣的事情來。但是如果你投入一小點那紅色的 Zhabotinsky 試劑到 陪替氏培養(yǎng)皿 中然后用銀線或熱的針戳進(jìn)去，它會突然產(chǎn)生藍(lán)色的圓環(huán)波像草火 一樣散發(fā)開來。并且這些波并不像聲波或水波那樣會衰減。性激起和恢復(fù)依賴于神經(jīng)組織的特性，就像 Zhabotinsky 試劑屬于一種叫做激勵媒介系統(tǒng)的通用類型。事實上 所有這些狀態(tài)都是由中心部分激勵開來。在特殊情況下，正是有了 Zhabotinsky 試劑才發(fā)現(xiàn)了一種新的波： 一個旋轉(zhuǎn)的，自保持的形狀如螺旋狀的波。 現(xiàn)如今化學(xué)反應(yīng)自發(fā)振蕩并不變得奇怪了；這些反應(yīng)成為化學(xué)課上的典型實例。 Zhabotinsky證實了 Belousov 的正確性，并把這個研究成果在 1968 年布拉格 (前捷克斯洛伐克首都 )的國際會議上公布了，而這個會議是一次很難得的西方和蘇聯(lián)的科學(xué)家能夠同時參加的會議。他曾經(jīng)在化學(xué)理論上 懷疑過；他認(rèn)為他已經(jīng)證明出了那些波就是閉環(huán)。 在 1980 年， Boris Belousov， Zhabotinsky 和其他三個科學(xué)家被授予 Lenin 獎，這個獎是蘇聯(lián)的最高勛章，獎勵他們在振動反應(yīng)方面做出的貢獻(xiàn)。 由于螺旋結(jié)構(gòu)的 急轉(zhuǎn) 性而容易產(chǎn)生混亂： 傳播的時候有些像在旋轉(zhuǎn)。而助手緊跟著每一個剛倒下的牌快速將其恢復(fù)。 要么在燒杯壁上停下來，要么在與空氣接觸的地方停下來，或者根本就不停下來。 為了檢驗樣本，他把這堆東西切成許多薄層，就像 顯微鏡技術(shù)人員 在準(zhǔn)備奇異組織的切片一樣，然后重新用不反射的玻璃來把那些薄層組合起來。 Winfree 花了更多的努力揭示了盡管一個隔離的轉(zhuǎn)動環(huán)是不可能的，一個相互連接的卻可能