正弦定理的幾種證明-預(yù)覽頁
【正文】 變換，往往把側(cè)重點(diǎn)放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。教學(xué)中不要直接給出定理進(jìn)行證明，可通過學(xué)生對(duì)三角形邊與角的正弦的測(cè)量與計(jì)算，研究邊與其對(duì)角的正弦之間的比，揭示它們?cè)跀?shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再從理論上進(jìn)行論證，從而掌握正弦定理。10=10 000sin30sin60sin90abc對(duì)于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。那么怎樣證明呢？(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。+ j===sinCsinBsinAsinBsinC③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A900（如圖2），過點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與則得 a sinC = c sinA，即向量AB的夾角為A900，向量j與向量的夾角為900C，且有：+=，同樣可證得：abc。如可設(shè)計(jì)下面的問題進(jìn)行教學(xué)：參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD，AD=10，AB=14，208。.：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵208?！嘈枰驜D，而BD需在△A B四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理例2圖 求BC。參考案例：解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45o，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75o的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時(shí)間才能與乙船相遇？教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。只要求出DE的長(zhǎng)?？稍O(shè)計(jì)一些研究性、開放性的問題，讓學(xué)生自行探索解決。MOA=q，則：時(shí)，Smax=200．4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)208。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。2004年4月。A)∴asinC=csinA∴ac= sinAsinCuuurrcbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:⑴若A為銳角時(shí): 236。239。已知邊a,b和208。 238。sinA ∴a過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2(CD)^2 所以c^2=(AD)^2(CD)^2+b^2 =(aCD)^2(CD)^2+b^2 =a^22a*CD +(CD)^2(CD)^2+b^2 =a^2+b^22a*CD 因?yàn)閏osC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^22ab*cosC 題目中^2表示平方。所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。第五篇：正弦定理證明正弦定理證明：△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。sinB=b2談?wù)?、余弦定理的多種證法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)==。則有AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j??AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90176。b2=a2+：如圖5，,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知，即將(1)式改寫為化簡(jiǎn)得b2a2c2==a2+c22accosB.(4)
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