高中數(shù)學 332 簡單線性規(guī)劃問題教案 新人教a版必修5-預覽頁
【正文】 得 M 的坐標為（ 2， 3） 答：每天應生產 A 型桌子 2 張， B 型桌子 3張才能獲得最大利潤 106頁習題 組 第 2 課時 導入新課 師 前面我們學習了目標函數(shù)、線性目標函數(shù)、線性規(guī)劃問題、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念 師 同學們回憶一下用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟 生（ 1）首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可 行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域） （ 2）設 t=0，畫出直線 l0 (3)觀察、分析，平移直線 l0，從而找到最優(yōu)解 (4)最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值 推進新課 師 【例 1】 已知 x、 y滿足不等式組?????????????,0,0,2502,3002yxyxyx試求 z=300x+900y 的最大值時的整點的坐 標及相應的 z 的最大值 師 分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內尋找使 z=300x+900y取最大值時的整點 解：如圖所示平面區(qū)域 AOBC，點 A（ 0， 125），點 B（ 150， 0），點 C的坐標由方程組 ???? ?? ?? 2502 3002 yx yx?????????,3200,3350yx 得 C（ 3350 , 3200 ）， 令 t=300x+900y， 即 ,90031 txy ??? 欲求 z=300x+900y 的最大值，即轉化為求截距 t[]900 的最大值，從而可求 t的最大值，因直線90031 txy ??? 與直線 xy 31?? 平行，故作 xy 31?? 的平行線，當過點 A（ 0， 125）時，對應的直線的截距最大，所以此時整點 A使 z 取最大值， zmax 師 【例 2】 求 z=600x+300y的最大值，使式中的 x、 y 滿足約束條件 3x+y≤300 ， x+2y≤250 ， x≥0,y≥0 的整數(shù)值 師 分析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域即可行域再解 解：可行域如圖所 示 四邊形 AOBC，易求點 A（ 0， 126）， B（ 100， 0） ,由方程組 ???? ?? ?? 2522 3003 yx yx?????????.5191,5369yx 得點 C 的坐標為（5369,5191 因題設條件要求整點（ x,y)使 z=600x+300y 取最大值，將點（ 69， 91），（ 70， 90）代入z=600x+300y，可知當 時， z取最大值為 zmax 師 【例 3】 已知 x、 y 滿足不等式???????????,0,0,12,22yxyxyx 求 z=3x+y的最小值 師 分析：可先找出可行域，平行移動直線 l0:3x+y=0 找出可行解，進而求出目標函數(shù)的最小值 解：不等 式 x+2y≥2 表示直線 x+2y=2 上及其右上方的點的集合； 不等式 2x+y≥1 表示直線 2x+y=1 上及其右上方的點的集合 可行域如右圖所示 作直線 l0:3x+y=0，作一組與直線 l0平行的直線 ∵x 、 y 是上面不等式組表示的區(qū)域內的點的坐標 由圖可知： 當直線 l:3x+y=t 通過 P（ 0， 1）時， t取到最小值 1，即 z min 師 評述：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的 ： （ 1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)； （ 2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域； （ 3）在可行域內求目標函數(shù)的最優(yōu)解 師 課堂練習：請同學們通過完成練習來掌握圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題 （ 1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、 y滿足約束條件??????????.1,1,yyxxy （ 2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、 y滿足約束條件???????????.35,1,1535yxxyyx ［教師精講］ 師 （ 1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、 y滿足約束條件??????????.1,1,yyxxy 解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示： 當 x=0,y=0時， z=2x+y=0， 點（ 0， 0）在直線 l0:2x+y=0上 作一組與直線 l0平行的直線 可知在經過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于 l 的直線中，以經過點 A（ 2， 1）的直線所對應的 t 最大 所以 z max=22 （ 2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、 y滿足約束條件???????????.35,1,1535yxxyyx 解：不等式組所表示的平面區(qū)域如右圖所示 從圖示可知直線 3x+5y=t 在經過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點時，以經過點（ 2， 1）的直 線所對應的 t 最小，以經過點（89,817）的直線所對應的 t 最大 所以 z min=3( 2)+５ ( 1)=11,z max=389+5817=14. ［知識拓展］ 某工廠生產甲、乙兩種產品 .已知生產甲種產品 1 t，需耗 A種礦石 10 t、 B 種礦石 5 t、煤 4 t；生產乙種產品需耗 A 種礦石 4 t、 B種礦石 4 t、煤 9 1 t甲種產品的利潤是 600 元，每 1 t乙種產品的利潤是 1 000 元 .工廠在生產這兩種產品的計劃中要求消耗 A 種礦石不超過 360 t、 B種礦石不超過 200 t、煤不超過 300 t，甲、乙兩種產品應各生產多少（精確到 t），能使利潤總額達到 最大？ 師 分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表： 消耗量 產品 資源 甲產品（ 1 t） 乙產品 (1 t) 資源限額（ t） A 種礦石（ t） 10 4 300 B 種礦石 (t) 5 4 200 煤 (t) 利潤（元） 4 9 360 600 1 000 解：設生產甲、乙兩種產品分別為 x t、 y t，利潤總額為 z 元， 那么???????????????
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