【正文】 的傳遞性①和不等式的傳遞性②,不等式的證明最大特色就是在變形過程中它有“不等的”變形,即對(duì)原式進(jìn)行了“放大”或“縮小”.而這種對(duì)不等式進(jìn)行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,方法靈活多變,應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：?掌握放縮法的一些常用策略和技巧；?放縮法要放縮得恰到好處, 3 放縮法的常用技巧 增減放縮法 增加（減去）不等式中的一些正（負(fù)）項(xiàng)在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負(fù))項(xiàng),從而使不等式一邊的各項(xiàng)之和變大(小), 設(shè)a,b,c都是正數(shù),ab+bc+ca=1,求證：a+b+c179。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。2(1+an)0, \11+an+111163。11+a111+a1, 163。12n121+an111+a1，1\11+a1+11+a2+11+a3+L+1+an111246。1++2+L+n1247。21=111+a11+32 增大（減小）不等式一邊的部分項(xiàng)在不等式的證明中,有時(shí)候增大或減小不等式一邊的所有項(xiàng)會(huì)造成放縮過度,因此, 求證證明：Q122+132+142+L+1n2179。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。(k179。230。1246。231。+L+231。232。232。1246。n+1248。(n+1)(2n+1)249。(n+1)(2n+1)249。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。2+2180。3+L+n180。lg2+lg4246。lg9246。247。248。2248。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。1，\1sina2+41sin2b179。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 8 故對(duì)一切自然數(shù),f(n)179。3時(shí)，1n+1+1n+2+L+xx+a213n+12a5, 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=的充要條件是a1.,求證：對(duì)任意的x,y206。R，1a|f(x)f(y)|1219。n1t+231。[,2],Tn是{an}的前n247。247。:令f(t)=1230。,則: 2232。+n+1247。 f162。(t)0；當(dāng)1t163。f231。232。230。2n+即an163。246。234。247。2248。235。1246。247。2248。nn233。n =2234。2234。235。 221231。n1230。231。n 綜合法對(duì)于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。1+232。1) a+247。2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)x對(duì)x：(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有 an+1=231。246。231。2n+n2248。1+232。+lnann2248。1)上式從1到n1求和可得： \lnan+1lnan163。11246。23248。1n247。f(n),這里的163。N,證明122+132+L+1n2163。12+13+L+1n,求證：n；(Ⅱ)Sn2(n+11)；(Ⅲ)Sn：(Ⅰ)Sn=1+1n12+13+L+1n1n 179。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項(xiàng)和次數(shù)若對(duì)不等式中的每一項(xiàng)都進(jìn)行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 14 的項(xiàng),保留一些特定項(xiàng)不變,可以通過這樣來調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo), 求證112+122+L+1n261361n(n179。3+L1(n1)n=2 由21n61361n ,顯然放得過大,要減少放大的項(xiàng)；先試試減少一項(xiàng)： 112+122+L+1n2112+122+12180。11246。1+231。+L+231。232。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。247。a2248。11246。+L+231。231。232。1231。21an+11a2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因?yàn)?a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。230。231。432230。247。aa4247。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。2232。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。33證明：因?yàn)閍2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。N*且an=180。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因?yàn)閚206。b時(shí)f（a）f（b）ab。證明：因?yàn)閍bc，所以可設(shè)a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。證明：由于a2+b2=c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)?sina1，0cosa1，則當(dāng)n179。a1+a+b1+b。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。點(diǎn)評(píng)：一開始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。又∵所以∴，∴=7。點(diǎn)評(píng)：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對(duì)利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。若用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡單 ⒏利用二項(xiàng)式定理展開［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項(xiàng)的和，并且．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為．而≤.（3）證明：點(diǎn)評(píng)：這是一道很有研究價(jià)值的用放縮法證明不等式的典例。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心