放縮法與不等式的證明-預(yù)覽頁
【正文】 2+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。例3：求證：11111+++L+(n206。問題在于這里采用的放大方式11 2k+2(2k+1)2即(2k+1)22k+2(k206。如果將左邊每一項(xiàng)放大后能出現(xiàn)一個(gè)常數(shù)與將左邊放大后就可“交叉”相消達(dá)到求和目的，基于這種想法，考慮放大方式：11111=()，(2k+1)2(2k1)(2k+1)22k12k+1左邊使每一項(xiàng)放大后出現(xiàn)因數(shù)1。+例4： 設(shè)a、b206。2b=2??????????????????③ bb2225知，②、③處的縮小量太大。抓住這一點(diǎn)不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。2(ab++2)證法2：(a+)+(b+)179。2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對(duì)非嚴(yán)格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號(hào)成立是一個(gè)基本的思考點(diǎn)，是放大或縮小的一個(gè)必要性要求，但它并不具有充分性。：執(zhí)果索因。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要。有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。難點(diǎn)：放縮法證明不等式。②將分子或分母放大（或縮?。悍帜缸兇?，分式值減小，分母變小，分式值增大。N+)2222123nloga(a+1)1(3)已知x＞0, y0，z0求證x+y+z（4）已知n206。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc≥3 ++b+cac+aba+bc證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b+ca≤c+ab≤a+bc且2cab≤0，2abc≥0∴= ∴abcabc++3=1+1+1b+cac+aba+bcb+cac+aba+bc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥++++=0b+cac+aba+bcc+abc+abc+ababc≥3 ++b+cac+aba+bc2bac無法放縮。例3：設(shè)a、b、c206。39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a+b+c=3，求證a2+b2+c2+abc≥22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1又∵(44。例5：設(shè)a、b、c206。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。N*).23a2a3an+1ak2k11111111=k+1==179。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。n11112,an+1=an,\a2=a12163。a3163。(akak+1)ak+2k=1本題通過對(duì)因式ak+2放大，而得到一個(gè)容易求和的式子逐項(xiàng)放大或縮小229。4+L+n(n+1)求證 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1n(n+1)(n+1)21+3+L+(2n+1)∴ 1+2+3+L+nan，∴an2222n+1本題利用n，對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的∴ nn(n+1)數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1，=L,同理=Liimmmnnnmn由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項(xiàng)式定理有：2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而Cim∴miCin＞niCim(1＜m＜n)AimiAin= ,Cn=i!i!00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重
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