【正文】 111 65042 2iii dx y x y ?? ????? ????? 2d? lingo 程序見附錄 ，運(yùn)行結(jié)果見附錄 ，整理如下。 取消對 d 的約束，用 lingo 編 程 試 算 ， 得 出 當(dāng) ? 時(shí)7m in 0 .2 5 0 0 0 0 1 1 0 0w ? ? ?。 我們設(shè)的決策變量除了模型 1 中的 第 i 級(jí)的寬度的一半 ix 、第 i 級(jí)的厚度 iy外，又增加了鐵心柱外接圓的直徑增加量 d 。 最大級(jí)數(shù)取不同值時(shí)所求得的鐵心柱最大幾何截面積： 級(jí)數(shù) n 12 13 14 最大幾何截面積 /mm 由假設(shè)可知，級(jí)數(shù)為 1 1 14 時(shí)制造工藝的復(fù)雜程度相差不大，故無須考慮級(jí)數(shù)影響。 為了使鐵心柱有效截面積最大，所以目標(biāo)函數(shù)為： Max 111 42niii x y x y? ?? 由圖 1可知鐵心柱截面的每個(gè)凸頂點(diǎn)均在其外接圓上，故有約束如下： . 2 2211 1 65022iijjx y y??? ??? ? ??? ??????? 因?yàn)樵诙嗉?jí)階梯形和線圈之間需要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級(jí)的厚度最小為 26 毫米，硅鋼片的寬度最小為 20 毫米 ，故約束如 6 下： . 10nx? 1 26y? 由于制造工藝的要求，硅鋼片的寬度一般取為 5的倍數(shù) ,所以約束如下： . 2255iixx??????? 所給的各個(gè)決策變量均為正數(shù)，非負(fù)約束如下： . 0ix? 0iy? 綜上，可建立模型如下： Max 111 42niii x y x y? ?? ( 12,13,14)n? . 2 2211 1 65022iijjx y y??? ??? ? ??? ??????? ? ?1,2, ,in 10nx? ( 12,13,14)n? 1 26y? 2255iixx??????? ? ?1,2, ,in? 0ix? ? ?1,2, ,in? 0iy? ? ?1,2, ,in? 模型 1的 求解 該模型為簡單的單目標(biāo)規(guī)劃，但是可行解的求解范圍太大，用 lingo 軟件 試算 發(fā)現(xiàn) 求解需要耗費(fèi)很長時(shí)間，在此，我們結(jié)合題意，根據(jù)我們的基本假設(shè)和模型自身的要求，增加以下兩個(gè)約束。兩個(gè)目標(biāo)綜合考慮，再分別對問題一和 問題 二重新 進(jìn)行 設(shè)計(jì)。 因此，進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，我們要 讓 鐵心柱的 有效截面積最大 即讓 其 幾何截面積最大。 四、問題引入與分析 問題背景的理解 鐵心柱截面的設(shè)計(jì)方式是 電力變壓器的設(shè)計(jì)中 很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，許多生產(chǎn)廠家都在想通過改進(jìn)這些設(shè)計(jì)，來提高變壓器使用效果的同時(shí) 降低其成本。 分別針對問題一和問題二的情況，增加油道要求再給出設(shè)計(jì)，并指出油道的位置。 為了改善鐵心內(nèi)部的散熱，鐵心柱直徑為 380 毫米以上時(shí)須設(shè)置冷卻油道。 問題二：實(shí)際生產(chǎn)中線圈的內(nèi)筒直徑和鐵心柱的外接圓直 徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便于安裝和維修，設(shè)計(jì)的兩個(gè)直徑的取值范圍稱為各自的公差帶。設(shè)計(jì)時(shí)希望有效截面盡量大，既 節(jié)省材料又減少能量損耗。由于制造工藝的要求，硅鋼片的寬度一般取為 5 的倍數(shù)（單位：毫米）。 電力變壓器鐵心柱截面在圓形的線圈筒里面。 關(guān)鍵詞： 多目標(biāo)規(guī)化 lingo 分層序列法 主要目標(biāo)法 2 一、問題重述 電力變壓器的設(shè)計(jì)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是鐵心柱的截面如何設(shè)計(jì)。我們分別在前兩問中增加 “ 被油道分割的相鄰兩部分 鐵心柱截面面積近似相等 ” 這一目標(biāo)，分別建立兩個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型。我們用lingo 軟件進(jìn)行編程求解，得到問題一的最優(yōu)結(jié)果： 欲使 其有效截面積最大 ，鐵心柱截面的級(jí)數(shù) 應(yīng)為 14，各級(jí)的寬度和厚度見正文。 問題一中只有 “ 使鐵心柱有效截面積最大 ” 這一個(gè)目標(biāo)，由于疊片系數(shù) 只 與組成鐵心柱的材料和制作工藝有關(guān)，和鐵心柱的設(shè)計(jì)無關(guān)，所以我們將其 作 為 常數(shù)處理 ，只考慮鐵心柱的幾何截面積 ， 建立了簡單的單目標(biāo) 規(guī)劃 模型。 問題三 為在前兩問的基礎(chǔ)上增加油道要求后再分別給出設(shè)計(jì)二者的設(shè)計(jì)，并指出油道的位置 。 本文綜合考慮了各個(gè)方面，建立了符合條件的優(yōu)化模型，采用 lingo 編程的方法，求得的結(jié)果完全滿足題目的要求，并有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 現(xiàn)在以心式鐵心柱為例試圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。階梯形的每級(jí)都是由許多同種寬度的硅鋼片迭起來的。而疊片系數(shù)通常與硅鋼片厚度、表面的絕緣漆膜厚度、硅鋼片的平整度以及壓緊程度有關(guān)。 表 1 鐵心柱截面級(jí)數(shù)的選擇 圖 1 鐵心柱截面示意圖 3 鐵心柱直徑 mm 級(jí)數(shù) 80195 57 200265 810 270390 11 400740 1214 760 以上 15 問題一：當(dāng)鐵心柱外接圓直徑為 650 毫米時(shí)，如何確定鐵心柱截面的級(jí)數(shù)、各級(jí)寬度和厚度，才能使鐵心柱的有效截面積最大。 問題三：銅導(dǎo)線在電流流過時(shí)發(fā)熱造成的功率損耗簡稱為銅損；鐵心在磁力線通過時(shí)發(fā)熱造成的功率損耗簡稱為鐵損。油道的位置應(yīng)使其分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等。 注： 以上長度 單位均為 mm。而前三個(gè)因素與硅鋼片材料的選擇和加工的工藝有關(guān)，不會(huì)因進(jìn)行設(shè)計(jì)制造 而改變； 壓緊程度則與 制造鐵心柱 的工藝有關(guān)，同樣與鐵心柱的級(jí)數(shù)、各級(jí)寬度和厚度的設(shè)計(jì)無關(guān)。 增加油道后的分析 增加油道后，一方面 我們要使 油道分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等 ，以使得循環(huán)流動(dòng)的油帶走更多的熱量，同時(shí)， 我們還要保證增加油道設(shè)計(jì)后的鐵心柱截 面 的有效面積盡量 大。 可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出鐵心柱的幾何截面積為 ：111 42niii x y x y? ??。 我們用 lingo 軟件編程求解 ( 14n? 時(shí)的 程序見附錄 )，求解的結(jié)果如下。 該模型借鑒了模型 1中的思想、內(nèi)容和結(jié)果，只考慮了級(jí)數(shù)為 14 時(shí)的情況，以此為基礎(chǔ)來建立該模型。 令 0d? ，可以得到其最 大值 m a x 0 5. 77 02 27ww?? ，程序見附錄 ?？紤]直徑大小為 650mm，我們商定以下條件 2d? ， max ??；當(dāng)二者不能同時(shí)滿足，即 ? 時(shí)的最優(yōu)解為 2d? 時(shí)，取 2d? 。 綜上，我們設(shè)計(jì)的鐵心柱外接圓直徑的公差帶為 650— 652mm， 線圈的內(nèi)筒直徑 的 公差帶為 — 。 該模型的基本目標(biāo)同模型 1 一樣，為鐵心柱幾何截面積的最大值，目標(biāo)如下： Max 111 42niii x y x y? ?? ( 12,13,14)n? 問題三增加了油道，由題意油道的位置應(yīng)使其分隔的相鄰兩 部分鐵心柱截面積近似相等，設(shè)兩個(gè) a 油道之間的截面積之和為 1s ， a 、 b 油道之間的截面積之和為 2s ，b 油道之外的截面積之和為 3s 。 該模型又是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型，求解難點(diǎn)在于將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)。 經(jīng)運(yùn)行發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng) 14n? ， 25ab?????時(shí) 才可以取到最優(yōu)解（ 14n? ， 25ab?????時(shí)的 程序 見附錄 ，運(yùn)行 結(jié)果見附錄 ），其他 5 種組合均沒有最優(yōu)解。 我們設(shè)的決策變量有 第 i 級(jí)的寬度的一半 ix 、第 i 級(jí)的厚 度 iy ，鐵心柱外接圓的直徑增加量 d 。 綜上，用 lingo 進(jìn)行求解的模型如下： Min 1 4 1 412111 6 5 02 7 2iiiirr???????????? . 14111 4 2 3 0 6 9 1 3 .4iii x y x y? ??? 12 ss ? 21 21 ss ? 13 ss ? 31 ss ? 32 ss ? 23 ss ? 214211112i i jjr x y y c???? ? ? ?????? ( 2,3, ,14)i ? 2 6502i dr ?? ( 1,2, ,14)i ? 1 1 11 42aiiis x y x y???? 12 2biiias x y???? 3 2niiibs x y??? 2 22 111 65 022iijjdx y y c??? ???? ? ? ??? ??????? ? ?1,2, ,14i ? 0, ( 1)6, ( 2, 3, 4)12 , ( 5, ... ,14icii????????? ） 2d? 214111 65042 2iii dx y x y ?? ????? ????? 2 14ix x x? ? ? 25ixk? ? ?1,2, ,14i ? ( 1,2, )k? 22 14 10x ? 1 26y? 0ix? ? ?1,2, ,14i ? 0iy? ? ?1,2, ,14i ? lingo 程序見附錄 ，運(yùn)行結(jié)果見附錄 ，整理如下： 當(dāng) 2d? 時(shí)取得最優(yōu)解，為 。 由于 線圈的內(nèi)筒直徑 的最小值要比 鐵心柱外接圓 直徑的最大值大，經(jīng)查閱標(biāo)準(zhǔn)，我們發(fā)現(xiàn)二者之間的間隙很小，經(jīng)討論， 選擇其公差帶為 — 。 sets: !y 為厚度 ,x 為寬度的一半 ,臨時(shí)變量 k 用于保證寬度為 5 的倍數(shù) 。 s=(sum(Piece(i): x(i)*y(i))*x(1)*y(1))*4。 !各級(jí)厚度和寬度的一半符合勾股定理 。 (sum(Piece(i)|i LE 4 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(4))^2 = 325^2。 (sum(Piece(i)|i LE 8 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(8))^2 = 325^2。 (sum(Piece(i)|i LE 12 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(12))^2 = 325^2。 s=*(650/2)^2。 for(Piece(i):x(i)*2=5*k(i))。 27 Piece/1..14/:y, x, k。 !d 為直徑增加的量 ,。 s=(sum(Piece(i): x(i)*y(i))*x(1)*y(1))*4。 r1(4) =(x(5)^2 + (sum(Piece(i)|iLE4 :y(i))*y(1))^2 )^。 r1(8) =(x(9)^2 + (sum(Piece(i)|iLE8 :y(i))*y(1))^2 )^。 r1(12)=(x(13)^2 + (sum(Piece(i)|iLE12 :y(i))*y(1))^2 )^。 y(1)=26。 (sum(Piece(i)|i LE 3 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(3))^2 = ((650+d)/2)^2。 28 (sum(Piece(i)|i LE 7 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(7))^2 = ((650+d)/2)^2。 (sum(Piece(i)|i LE 11:(y(i)))*y(1))^2 + (x(11))^2 = ((650+d)/2)^2。 !總幾何面積小于外接圓面積大于問題一所求解出的面積 。 d=0。 for(Piece(i):x(i)*2=5*k(i))。 sets: !y 為厚度 ,x 為寬度的一半 ,臨時(shí)變量 k 用于保證寬度為 5的倍數(shù) 。 min=dis。 !s 為幾何面積 。 r1(3) =(x(4)^2 + (sum(Piece(i)|iLE3 :y(i))*y(1))^2 )^。 r1(7) =(x(8)^2 + (sum(Piece(i)|iLE7 :y(i))*y(1))^2 )^。 r1(11)=(x(12)^2 + (sum(Piece(i)|iLE11 :y(i))*y(1))^2 )^。 x(1)=10 。 (sum(Piece(i)|i LE 2 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(2))^2 = ((650+d)/2)^2。 (sum(Piece(i)|i LE 6 :(y(i)))*y(1))^2 + (x(6))^2 = ((650+d)/2)