【正文】 . 證明： 作 OE⊥ BC，垂足為 E， ∵ AB∥ DC，∠ B=90176。 AC=3 厘米， BC=4 厘米，以 C 為圓心， r為半徑的圓與 AB 有怎樣的位置關(guān)系？為什么？ (1)r=2 厘米； (2)r= 厘米； (3)r=3 厘米． 思路點(diǎn)撥： 因?yàn)轭}目給出了⊙ O的半徑，所以解題關(guān)鍵是求圓心 C 到直線 AB 的距離，也就是要求出 Rt△ ABC 斜邊 AB 上的高．為此，可過(guò) C 點(diǎn)向 AB 作垂線段 CD，然后可根據(jù) CD 的長(zhǎng)度與 r 進(jìn)行比較，確定⊙ C 與 AB 的關(guān)系． 解： 作圖，在 Rt△ ABC 中，利用勾股定理有 利用三角形面積公式，有 ，得 可知： (1)r=2 厘米時(shí)， r＜ CD，圓 C 與 AB 的位置關(guān)系是相離； (2)r= 厘米時(shí)， r=CD，圓 C 與 AB 的位置關(guān)系是相切； (3)r=3 厘米 時(shí)， r＞ CD，圓 C 與 AB 的位置關(guān)系是相交． 類(lèi)型二、運(yùn)用切線的性質(zhì)定理解題 2．如圖， AB 為⊙ O 的直徑， C 為⊙ O 上一點(diǎn)， AD 和過(guò) C 點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為 D．求證： AC 平分∠ DAB． 解析： 因?yàn)?CD 和⊙ O 切于 C，可考慮作出 OC．利用切線的性質(zhì)定理可知 OC⊥ CD， 由 AD⊥ CD，易知 OC∥ AD，于是有∠ 1=∠ 2，又∠ 1=∠ 3，因此有∠ 2=∠ 3． 總結(jié)升華： 在解有關(guān)圓的切線問(wèn)題時(shí)，常常連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，以便利用“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”這一性質(zhì)． 類(lèi)型三、切線的判定 3．如圖， P 點(diǎn)是∠ AOB 的平分線 OC 上一點(diǎn)， PE⊥ OA 于 E，以 P 為圓心， PE為半徑作⊙ P .求證：⊙ P 與 OB 相切 . 思路點(diǎn)撥： 要證 OB是⊙ P 的切線，且不知道是否有公共點(diǎn)，所以作 PF⊥ OB 于 F，只需證 PF=PE 即可 . 證明： 作 PF⊥ OB 于 F ∵ OP 平分∠ AOB，且 PE⊥ OA ∴ PF=PE，∴ OB 是⊙ P 的切線 . 舉一反三： 【變式 1】已知：如圖，在梯形 ABCD 中， AB∥ DC，∠ B=90176。 ∴∠ E+∠ OCB=90176。以 AC 為直徑的⊙ O，交 AB 于 D， E 為BC 中點(diǎn) .求證： DE 是⊙ O 切線 . 思路點(diǎn)撥： 要證 DE 是⊙ O 切線，且已知公共點(diǎn) D，所以連接 OD，只需證∠ ODE=∠OCB=90176。 ∴ DE 是⊙ O 的切線 . 【變式 3】已知：如圖， AB 是⊙ O 的直徑， BC 是⊙ O 的切線，切點(diǎn)為 B， OC 平行于弦 AD，求證： DC 是⊙ O 的切線． 思路點(diǎn)撥： 因?yàn)?AB 是直徑， BC 切⊙ O 于 B，所以 BC⊥ AB．要證明 DC 是⊙ O 的切線，而 DC和⊙ O有公共點(diǎn) D，所以可連接 OD，只要證明 DC⊥ OD．也就是只要證明∠ ODC=∠ △ ODC 和△ OBC 的內(nèi)角，所以只要證△ ODC≌△ OBC．這是不難證明的． 證明： 連接 OD． ∵ OA=OD，∴∠ 1=∠ 2． ∵ AD∥ OC， ∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4． 因此 ∠ 3=∠ 4． 又∵ OB=OD， OC=OC， ∴ △ OBC≌△ ODC． ∴∠ OBC=∠ ODC． ∵ BC 是⊙ O 的切線， ∴∠ OBC=90176。 . 解： 連接 OA、 OB、 OC ∵⊙ O 分別切 PA、 PB、 DE 于點(diǎn) A、 B、 C ∴ OA⊥ PA， OB⊥ PB， OC⊥ DE， AD=CD， BE=CE ∴ OD 平 分∠ AOC， OE 平分∠ BOC ∵∠ P+∠ AOB=180176。 BC=4， AC=3，求△ ABC 的內(nèi)切圓⊙O 的半徑 r. 方法一： 思路點(diǎn)撥： 把⊙ O 的半徑 r 與△ ABC 的邊聯(lián)系起來(lái)，可以通過(guò)切線的性質(zhì)證明四邊形ODCF 是正方形，再利用切線長(zhǎng)定理可求解 . 解： 連接 OD、 OF ∵⊙ O 切△ ABC 的邊 BC、 AC 于點(diǎn) D、 F ∴ OD⊥ BC， OF⊥ AC 又∵∠ C=90176。 b 這均是計(jì)算直角三角形內(nèi)切圓半徑的重要結(jié)論 . 那么由此兩種表達(dá)式你可以驗(yàn)證一個(gè)什么重要定理呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?. 【變式 3】已知：如圖，△ ABC 的內(nèi)切圓⊙ O切邊 AB、 BC、 AC 于點(diǎn) D、 E、 F，且∠A=50176。 . 方法二：此題還可由切線長(zhǎng)定理和內(nèi)心性質(zhì)求解 . 解： 連接 OB、 OC ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓 ∴ OB 平分∠ ABC， BD=BE ∴ OB⊥ DE， 同理： OC⊥ EF， ∴∠ BOC+∠ DEF=180176。 176。那么∠ BIC 等于 ( ) 176。 10．如圖， PA、 PB 分別切圓 O 于 A、 B 兩點(diǎn)， C 為劣弧 AB 上一點(diǎn)，∠ APB=30176。 D． 120176。 求∠ BOC 的度數(shù) . (2)變式二 :如圖所示，在△ ABC 中，⊙ O 與 AB、 BC、 AC 所截得的線段 DE=FG=MN，∠ A= 70176。 15． 10 16． 6 17．垂直平分線 18．內(nèi)切 19． 4cm 或 16cm 20． 6cm 三、解答題 21. 連結(jié) AB、 BC，作線段 AB、 BC 的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn) O 即為垃圾回收站所在的位置． 22．證明：連結(jié) OC， ∵ AB 為小圓的切線， ∴ OC⊥ AB， ∴ AC=BC，即 C 為 AB 的中點(diǎn) . 23．證明：連結(jié) AB、 AD， 由 AC 為⊙ O1直徑，得∠ ABC=90176。 ∵ O 是△ ABC 內(nèi)心，∴∠ OBC= ∠ ABC，∠ OCB= ∠ ACB， ∴∠ OBC+∠ OCB= (∠ ABC+∠ ACB)= 110176。 =125176。 ∠ OBC∠ OCB=180176。 70176。所以 AD 是⊙ O 切線 . 10．證明：∵∠ A=100176。 ∠ CDE=∠ ABC=40176。 B． 45176?！?O 分別切 AC、 BD 于 M， N ，圓心 O在 AB上，⊙ O 的半徑為 12cm， BO=20cm，則 AO的長(zhǎng)是（ ） A． 10cm B． 8cm C． 12cm D． 15cm 9．△ ABC內(nèi)接于圓 O， AD⊥ BC于 D交⊙ O于 E，若 BD=8cm， CD=4cm， DE=2cm，則△ ABC的面積等于（ ） A． 248cm B． 296cm C． 2108cm D． 232cm 10. 相內(nèi)含的兩圓的圓心距為 2 cm，可作兩圓半徑的是（ ） A. 4 cm和 1 cm B. 5 cm和 3 cm C. 6 cm和 5cm D. 4 cm和 2 cm 11. 已知⊙ O1和⊙ O2外切于 M， AB 是⊙ O1和⊙ O2的外公切線， A、 B 為切點(diǎn)，若 MA=4 cm，MB=3 cm，則 M到 AB的距離是（ ） A. 52 cm B. 125 cm C. 3 cm D. 4825 cm 12. 半徑都是 R的⊙ O1和⊙ O2的圓心距 O1O2=4R，則半徑為 2R，且與⊙ O1和⊙ O2都相切的圓共有（ ） A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè) 13 若兩圓的半徑分別為 5和 9，圓心距為 3， 那么這兩圓的位置關(guān)系是（ ） A. 外離 B. 相切 C. 相交 D. 內(nèi)含 二填空題 1．已知⊙ O 的直徑為 8cm，點(diǎn) A， B， C與圓心 O的距離分別為 4cm， 3cm， 5cm，則點(diǎn)A在 上，點(diǎn) B在 ，點(diǎn) C在 。 5．如圖，⊙ O內(nèi)切于 Rt△ ABC，∠ C=Rt∠， D、 E、 F是切點(diǎn)，若 ∠ BOC=105176。 三解答題 1． 爆破時(shí)，導(dǎo)火線燃燒的速度是每秒 0． 9m，點(diǎn)導(dǎo)火 線的人需要跑到離爆破點(diǎn) 120m以外的安全區(qū)域，這個(gè)導(dǎo)火索長(zhǎng)度為 18 cm，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑 ？ 2求證：菱形各邊中點(diǎn)在以對(duì)角 線 的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上。、 2cm、 cm32 、 cm)13( ? 6． 10 7． 60 三解答題 1. 導(dǎo)火線 燃燒時(shí)間為 20 秒。 證明： ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ，垂足為 O，且 AB＝ BC＝ CD＝ DA M、 N、 P、 Q分別是邊 AB、 BC、 CD、 DA的中點(diǎn) ∴OM ＝ ON＝ OP＝ OQ＝ 12 AB ∴ 根據(jù)圓的定義可知： M、 N、 P、 Q四點(diǎn)在以 O為圓心 OM為半徑的圓上。 I 是△ ABC 的內(nèi)心，則∠ AIB=______________，∠ BIC=__________，∠ CIA=___________． 3．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為 5 和 12，則它的外接圓半徑 R=______，內(nèi)切圓半徑 r=______． 4．如圖 1，割線 PAB、 PCD 分別交⊙ O 于 AB 和 CD，若 PC=2， CD=16， PA∶ AB=1∶2，則 AB=______． 5．如圖 2，在以 O 為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦 AB 是小圓的切線， P 為切點(diǎn)，設(shè) AB=12，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為 ______． 圖 1 圖 2 圖 3 6．圓外切等腰梯形的底角是 30176。 D． 2α +β =180176。 110176。 ∴在 Rt△ ADC 中， AD= 1592422 ???? DCAC ， ∴ tanCAD=515153 ??ADDC ∵ AC 是⊙ O 的切線，∴∠ CAD= ∠ B， ∴ tanCAD=tanB= 515 18．證明：連 結(jié) OC， BC ∵ AB 是直徑，∴∠ ACB=90176。 ∵ AO=OC，∴∠ ACO=30176。 在 Rt△ ADC 中，∵ AE=EC， ∴ DE=EC，∴∠ EDC=∠ ECD ∵ DE 是⊙ O 的切線，∴∠ EDC=∠ B=∠ ECD ∵∠ B＋∠ DCB=901