【正文】 ∵ OB=OD ∴∠ B=∠ ODB ∵ AB=AC ∴∠ B=∠ C ∴∠ ODB=∠ C ∴ OD∥ AC 又∵ DE⊥ AC ∴ OD⊥ DE ∴ DE 是⊙ O 的切線 . 方法二：此題中證明 OD∥ AC，還有另外方法： 證明： 連接 OD、 AD，∵ AB 是⊙ O 直徑，∴ AD⊥ BC ∵ AB=AC ∴ BD=CD 又∵ OB=OA ∴ OD∥ AC 又∵ DE⊥ AC ∴ OD⊥ DE ∴ DE 是⊙ O 切線 . 【變式 2】如圖，△ ABC 中，∠ ACB=90176。 ∴ DE 是⊙ O 的切線 . 方法二：此題證明∠ ODE=∠ OCE 還有另外證法 證明： 連接 OD， CD ∵ AC 是⊙ O 直徑 ∴ CD⊥ AB ∵ E 為 BC 中點(diǎn) ∴ ED=EC ∴∠ EDC=∠ ECD 又∵ OD=OC ∴∠ ODC=∠ OCD ∴∠ EDC+∠ ODC=∠ ECD+∠ OCD ∴∠ ODE=∠ OCE=90176。求∠ DOE 的度數(shù)； (2)若 PA=4cm，求△ PDE 的周長(zhǎng) . 思路點(diǎn)撥： 根據(jù)切線長(zhǎng)定理，要求∠ DOE 只需要求出∠ AOB，而∠ AOB+∠ P=180176。 △ PDE 的周長(zhǎng) =PD+PE+DE =PD+AD+BE+PE =PA+PB=8cm 總結(jié)升華： 此題的解答中推出兩個(gè)重要結(jié)論： (1) ； (2)△ PDE 的周長(zhǎng) =PA+PB=2PA. 【變式 2】已知：如圖，△ ABC 中，∠ C=90176。設(shè) BC=a， AC=b，AB=c，三角形內(nèi)切圓半徑為 r 由第一種解法可知： ar+br=c 由第二種解法可知： (a+b+c)r=a ∴∠ DOF=130176。 總結(jié)升華： 事實(shí)上，在此求解過程中可以得到如下結(jié)論： (1) (2) 類型五、兩圓的位置關(guān)系 6．已知相交兩圓的半徑分別為 ，圓心距為 d，試求 d 的整數(shù)值 . 思路點(diǎn)撥： 對(duì)于半徑分別為 r1， r2的兩圓相交，若圓心距為 d，則 |r1r2|＜ d＜ r1+r2. 解： 由已知： 即 ，而 d 為正整數(shù) ∴ 3≤ d≤ 5 ∴ d 的整數(shù)值為 3， 4， 5. 舉一反三： 【 變 式 1 】 已 知 兩 圓 的 半 徑 分 別 為 r1 ， r2 ， 圓 心 距 為 d ， 且 滿 足，試確定這兩圓的位置關(guān)系 . 思路點(diǎn)撥： 欲找到 r1， r2， d 之間的關(guān)系，需將已知的 r1， r2， d 之間的二次方程，利用 分解因式法降次 . 解： (r1d+r2)(r1dr2)=0 r1+r2d=0 或 r1r2d=0 即 r1+r2=d 或 r1r2=d(r1＞ r2) ∴這兩個(gè)圓外切或內(nèi)切 . 想一想，若兩圓內(nèi)切，圓心距為 3cm，其中一個(gè)圓的半徑為 5cm，則另一個(gè)圓的半徑為_____. 提示：解這類題注意不要丟解，若設(shè)另一個(gè)圓的半徑為 rcm，列含絕對(duì)值的方程 |r5|=3為好，解得 r=8 或 r=2. 【變式 2】如圖，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB⊥ BC， ， AD、 BC的長(zhǎng)是方程 x220x+75=0 的兩根，以 D 為圓心， AD 長(zhǎng)為半徑的圓，和以 C 為圓心， BC 長(zhǎng)為半徑的圓之間有怎樣的位置關(guān)系？ 思路點(diǎn)撥： 問題轉(zhuǎn)化為比較 AD+BC 與 DC 之間的大小關(guān)系 . 解： x220x+75=0 解之得 x=15 或 x=5 ∵ AD＜ BC ∴由已知， AD=5， BC=15 如圖，作 DE⊥ BC 于點(diǎn) E，由已知，則四邊形 ABED 是矩形， EC=BCBE=BCAD=155=10 ∴ AD+BC=DC=20 ∴這兩個(gè)圓外切 . 7．如圖，在長(zhǎng)為 25cm，寬為 18cm的矩形 ABCD 中截下一個(gè)最大的⊙ O2 后，若想在剩余 的材料中再截去一個(gè)最大的⊙ O1，試求⊙ O1 的半徑 . 思路點(diǎn)撥： 可設(shè)⊙ O1 的半徑為 rcm，利用已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形 . 解： 如圖，連接 O1O2，作 O1E⊥ AB 于點(diǎn) E， O2F⊥ AB 于點(diǎn) F， O1G⊥ O2F 于點(diǎn) G，則四邊形 O1EFG 是矩形 . ∵⊙ O2與矩形 ABCD 的三邊相切， BC=18cm ∴ r2=O2F=FB=9cm 又∵⊙ O1與 AD、 AB 邊相切； ∴ r1=O1E=AE 設(shè) r1=xcm，則 O1G=EF=AB(AE+FB)=(16x)cm ∵⊙ O1與⊙ O2外切， ∴ O1O2=r1+r2=(x+9)cm 在 Rt△ O1GO2中， ∴ (x+9)2(x9)2=(16x)2 整理得 x268x+256=0 解之得 x=64 或 x=4 又∵ r＜ 9，∴只有 x=4 答：⊙ O1的半徑為 4cm. 舉一反三： 【變式 1】如圖，要想在半徑為 R 的圓鐵片內(nèi)剪下四個(gè)相等的圓片，那么其半徑 r的最大值是多少？ 思路點(diǎn)撥： 欲使四個(gè)相等的圓片最大，只要使這相鄰小圓片分別兩兩外切，且都內(nèi)切于已知圓 . AC=2(Rr)， AB=2r ∵△ ABC 是等腰直角三角形 答： r 的最大值為 . 想一想，若還要在剩下的空余剪下五個(gè)小圓 (如圖 )，半徑最大值是多少？ 提示： 2r 小 =AC2r=(2R2r)2r=2R4r . 【變式 2】已知：如圖所示，半圓 O的直徑為 2R，分別以 AO、 OB 為直徑在半圓 O 內(nèi)分別作半圓 C 和半圓 F，若⊙ D 與⊙ O 內(nèi)切，且分別與⊙ C、⊙ F 外切，試求⊙ D 的半徑 r. 思路點(diǎn)撥： 仍需要依據(jù)各圓之間的位置關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形 . 解： 如圖，過 D 點(diǎn)作半徑 OE，則 E 為⊙ D 與⊙ O 的切點(diǎn)，分別連接 CD、 FD，則 ∵ DC=DF， CO=OF，∴ OD⊥ CF ∴ CO2+OD2=CD2 即 整理得 R2=3Rr . 8．已知：如圖，兩圓相交于 A、 B 點(diǎn)，割線 BEF與割線 ACD 互相平行，試比較線段 EF 與 CD 的大小，并證明 . 解： EF=CD，理由如下： 如圖，分別連接 AB， FC， ED ∵ FE∥ CD，∴欲證 EF=CD，只要證四邊形 EDCF 是平行四邊形，即證 FC∥ ED 對(duì)于左邊大圓，∵∠ F 與∠ BAC 所對(duì)的弧是 ， ∴∠ F=∠ BAC 對(duì)于右邊小圓，∵∠ DEB 與∠ BAD 所對(duì)的弧是 ∴∠ BED=∠ BAD ∴∠ F=∠ BED ∴ FC∥ ED 又∵ FB∥ AD，即 FE∥ CD ∴四邊形 EDFC 是平行四邊形 ∴ EF=CD. 學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．已知⊙ O的半徑為 3， A為線段 PO的中點(diǎn)，則當(dāng) OP=6 時(shí)，點(diǎn) A與⊙ O 的位置關(guān)系為 ( ) 2．三角形外接圓的圓心是 ( ) 3．下列說法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓； ③一個(gè)圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三 角形；④三角形的外心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)；⑤三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑥等 腰三角形的外心一定在這個(gè)三角形內(nèi)，其中正確的個(gè) 數(shù)有 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 4．下列說法正確的是 ( ) A．與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線． B．和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線； C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線； D．過圓的半徑的外端的直線是圓的切線 5．已知如圖所示，等邊△ ABC 的邊長(zhǎng)為 2 cm，下列以 A 為圓心的各圓中， 半徑是 3cm 的圓是 ( ) 6．已知兩圓的半徑分別為 3 和 5，圓心距為 7，則這兩圓的位置關(guān)系是 ( ) 7．⊙ O的半徑為 6，⊙ O 的一條弦 AB 長(zhǎng)為 3 ，以 3 為半徑的同心圓與直線 AB 的位置關(guān)系是 ( ) 8．如圖所示，⊙ O 的外切梯形 ABCD 中，如果 AD∥ BC，那么∠ DOC 的度數(shù)為 ( ) 176。 9． I 為△ ABC 的內(nèi)心，如果∠ ABC+∠ ACB=100176。 176。 C． 105176。求∠ BOC 的度數(shù) . (1)變式一 :在△ ABC 中，點(diǎn) O 是△ ABC 的外心，∠ A=70176。 14． ， ， ， ， ， 120176?！唷?ABC+∠ ACB=110176。 55176。 . (2)變式二： 解：過 O 作 OH⊥ AB， OL⊥ BC， OK⊥ AC，垂足分別為 H， L， K， ∵ DE=FG=MN，∴ OH=OL=OK， ∴ O 為△ ABC 內(nèi)心， ∴∠ BOC=180176。 (180176。又∠ EGF=∠ AGD=∠ ADG， 所以∠ ODE+∠ ADG=90176。 ∠ A=80176。 ∴∠ 3=∠ 4 ∴ BD=BE ∴ BC=BD+AD. 與圓有關(guān)的位置 關(guān)系 一 、 選擇題 1．已知⊙ O的半徑為 5 cm， A 為線段 OP的中點(diǎn)，當(dāng) OP=6 cm時(shí)，點(diǎn) A 與⊙ O 的位置關(guān)系是（ ） A．點(diǎn) A在⊙ O內(nèi) B．點(diǎn) A在⊙ O上 C．點(diǎn) A在⊙ O外 D．不能確定 2．兩個(gè)圓的圓心都是 O，半徑分別為 r r2，且 r1＜ OA＜ r2，那么點(diǎn) A在 （ ） A．⊙ r1內(nèi) B．⊙ r2外 C．⊙ r1外，⊙ r2內(nèi)