【正文】 。 陳述 我們 記 兩個向量之間的內(nèi)積為 ...,... ，使用 ??.E 表示統(tǒng)計期望 。 tMHb Ch ? 表示 Alice 和 Bob 之間的通道， te MMe CH ?? 表示 Alice 和 Eve 之間的通道。 在 一個正常鏈路 ， Bob 選擇的碼本ibc chm axar qq i ，C?? 并且在一個可靠的（糾錯）反饋信道上 發(fā)送相應(yīng)的指數(shù)回到 Alice。 參考文獻 [13]表明，當(dāng)輸入信號 是 高斯分布 時， Alice Bob 之間的 信息差異 bR 以及 Alice Eve 之間的信息差異 eR 是一個可以實現(xiàn)的速度。如果是另一種情況， ，那么 Eve 就可以通過 竊聽的秘密數(shù)據(jù)的陽性率， 從而影響保密。作為任意一個活躍的 R，由 Bob 解碼實現(xiàn)保密率也是保密中斷概率的特點。 eHeHH 為了保密中斷概率，我們將利用以下已知結(jié)果， 定理 1（ [ 31 ]， [ 32 ]）： 如果 te MMe CH ?? 是獨立同分布的，根據(jù) ? ?10CN， ， tt MMeHe CHH ?? 復(fù) Wish art分布 eM 的自由程度得到方差矩陣tMI。 引理 2：一個碼本 ? ?ncccC ,......, 21? ，如果ib chmaxargq ，?，則是用于波束形成的最佳碼本矢量 ??2bh ，那么 bh 和 q 之間是有界限的， ??? ??? 2b qh ， （ 11） }21ccm a xm a x { 2iiji ji， ??? （ 12） ? ?N MMD tt2 ，?? （ 13） ? ?tt MMD ， 是奇異值最小的碼本矩陣， ? ?ncccC ,......, 21? 。 對于 N ， ? 的價值占主導(dǎo)地位 2jijiji ccmax ， ?對于任意給定的 tMN? ，jijiji ccmax ， ?可以如下 ? ? }N21M1N MNm a x {ccjij,i, m a x 1M 1ttji t， ?? 當(dāng) ??N ，這個下限成為 1N21ccjiji m a x 1M 1ji t ??? ， 由于 1?? ，因此 ??N 本節(jié)中，我們將研究條件為正的保密 ，當(dāng) eR?bR 時可以被實現(xiàn)，在保密中斷概率中，? ? ? ? 0P0RP1RRP r o b nbsoeb ???? ，根據(jù)定理（ 4）我們可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1k1Mk11M11dMM11P0P1RRP r o btk1M0kMt0 eenbsoebet ?????????????????????????????? ?f，（ 17） 當(dāng)發(fā)射機使用 2Mt? ，表達(dá)式簡化為 ? ? ? ? 1MMeb ee11 11RRP r ob ?????? ??? （ 18） 這里，??111是 用隨機波束形成實現(xiàn)保密， 當(dāng) ? ?1MMee1????由于 單純 波束的形成表現(xiàn)出額外的保密增益， 1?? ，? ? 1Meb e2 10 .5RRP ro b ???? 這意味著， 保密附加增益 隨著 Eve 接收天線的數(shù)量 變化 單純 波束 形成的概率 呈現(xiàn)出指數(shù)性的衰減 。因此， Eve 的有效信噪比依然低于 Bob 的有效信噪比， Eve 的總體率會更低。 本節(jié)中給出的分析是基于在 Bob 方向的 單純 波束形成，我們可以很容易的分析擴展碼本的波束形成，對于碼本波束的形成，（ 17）式作為一個上限，下限如下 ? ? ? ?? ? ? ?? ?1k 1Mk11M 11RRP r o b tk1M 0kMtebet ???????? ????? ?? ????????? 發(fā)射天線的數(shù)量從 nMt? 到 1nMt ?? 保密中斷的變化將導(dǎo)致 概率變化 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? inMReibinRn0tebnbsonbso e21inM2in1nMenP1nP?????????? ?????????????????????? ???????? 由于 ? ? ? ?nP1nP nbsonbso ?是負(fù)的，所以保密中斷的概率隨著天線的數(shù)量增加而降低。 如果我們增加目標(biāo)的保密率的變化 ?，R ， 保密中斷概率可以寫為 ? ? ???????? ?????? ??????? ????????????????? ?????? ??????? ?? RMRbbRMRbb21bq21ebqe121bq21ebqe1tt??????????????????（ 20） ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?????? ??????? ???? ??kMRkMR1M0kkbbnbsonbsottt2121keRPRP ?????? —！ 這是積極的 ，保密中斷 概率的增加與目標(biāo)速率有關(guān) 由于 121R R ???? ?，因此， 如果目標(biāo) 保密率很高，它是不可能實現(xiàn)保密的。 ： 沒有任何損失的 情況下，我們假設(shè)噪聲等于 Eve 和 Bob 的接收功率， 對于碼本 波束形成，我們使用了 MISO 系統(tǒng) 4Mt? 發(fā)送 天線， 我們采用兩種不同的碼本。 比較 單純 波束形成 之間的保密中斷概率，對于 Eve， 基于碼本的波束形成（ CB），基于碼本的約束形成（ UB）平等的增益與接收波束形成 ，模擬目標(biāo)的保密率 Hz/s/? ， dB20PP eb ?? 。模擬還表達(dá) 出另一個非安全性為中心的性能波束形成策略 等增益波束形成 策略 。在中高信噪比 時 ， 我們觀察到保密中斷概率 隨著 Eve 處收到的天線數(shù)增加而增加，這是預(yù)計之中的。 圖 5 Eve 部分信道信息 圖 5 碼本保密中斷概率波束形成時 Eve 部分信道信息是可用的， （ 23） 用于選擇 碼本的波束形成。 （ MB） [ 15 ] 在本節(jié)中，我們比較了基于碼本的波束形成 的方法，與 “蒙面波束賦形 ”（ MB） [15]中提出的方法。在這樣的的情況下， Bob 和 Eve都能夠解碼發(fā)送消息。 從上面的模擬，我們觀察到以下事實 ： （一） MB 要求在發(fā)射機有 Bob 完整的信道信息，如果 bh 不完全計算， 所傳輸?shù)娜藶樵肼?kW 不會在 Hbh的零度空間， 因此， [15]的性能會降低。 Bob和 Eve 使用竊 聽代碼時， 沒有收到錯誤 的 概率 ， 比較隱蔽的碼本的波束形成（ MCB）（例如，蒙面的量化信道信息的波束形成 [ 15 ]） 和單純 波束形成碼本 的波束形成 （ CB）。 圖 7 顯示 了 MCB的 模擬結(jié)果和 碼本的波束形成結(jié)果 的比較， 我們觀察到 Bob 的接收質(zhì)量明顯退 化，性能遠(yuǎn)不如簡單的碼本傳輸波束形成。 在這項工作中， 我們分析了基于 傳統(tǒng) 碼本的波束賦形的幫助下 ，傳輸在安全設(shè)置中的有限位接收反饋 的表現(xiàn)， 我們提出 一個天真的波束形成方案保密中斷概率在多天線的存在下，在預(yù)期的接收器的方向竊聽。 附錄 A引理 2 的證明 從柯西施瓦茲不等式 [ 33 ]，我們有 22b2b qhqh ??， （ 24） 當(dāng)且僅當(dāng) bh 和 c 是有限的線性， 在最優(yōu)波束形成的情況下 （即在安全設(shè)置下單純波束的形成），bb hhq?得到 ?? 2b2b hqh ， 在碼本波束形成的情況下， 2ibCc chm axargq i ，?? ，因此， 2b2b hqh ?， ，因為定義 1q? ，??2bh ，對于 碼本的波束形成 ， 我們結(jié)合 ??2b qh ， ， 為了達(dá)到下限，我們可以分解碼本矩陣 ? ?N1 c...cC? ，通過奇異值分解成 ? ?V0DUC ，? ， 其中 U 和 V 是酉矩陣， D 是一個降積極對角線元素 的對角矩陣。 ???? ????? ?? ?? ???????? ? 21ccm a xm a xqh 2jijijib ， ， （ 28） 對于非各向同性的情況下，我們可以使用綁定 式（ 25）。 2. 樸素波束賦形 對于 單純 的波束賦形波束形成方向為bb hhq?， 對于一個 單純 波束形成 的保密率 R 和傳輸功率 P 可以表示如下 ? ? ? ? ? ???? ??? ? dfhPRPPRP 2bnbsonbso ， （ 40） 使用公式（ 4）和引理 2 可得 ? ? ?????? ??? R e2e2bnbso 2 qHP r obhPRP ????， 我們會按照類似的步驟，由（ 36） ~（ 39）得到（ 14）。 參考文獻 [1] D. Love, R. Heath Jr., and T. Strohmer, “Grassmannian beamforming for multipleinput multipleoutput wireless systems,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 49, 20xx. [2] K. Mukkavilli, A. Sabharwal, E. Erkip, and B. Aazhang, “On beamforming with finite rate feedback in multipleantenna systems,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 49, 20xx. [3] “IEEE Standard for Local and Metropolitan Area Networks Part 16: Air Interface for Fixed and Mobile Broadband Wireless Access Systems,” 20xx. [4] T. GPP, “,” Physical Channels and Modulation (Release 8).–3GPP, vol. 12. [5] I. Telatar, “Capacity of multiantenna Gaussian channels,” European Trans. Telemun., 1999. [6] G. Caire and S. Shamai, “On the capacity of some channels with channel state information” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 45, 1999. [7] U. Madhow and M. Honig, “MMSE interference suppression for directsequence spreadspectrum CDMA,” IEEE Trans. Commun., vol. 42, 1994. [8] D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication. Cambridge University Press, 20xx. [9] A. Wyner, “The wiretap channel,” Bell System Techn. J., vol. 54, no. 8, pp. 1355–1387, 1975. [10] S. LeungYanCheong and M. Hellman, “The Gaussian wiretap channel,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 24, 1978. [11] I. Csisz180