【正文】 性回歸模型的概念 在許多實際問題中 ， 我們所研究的因變量的變動可能不僅與一個解釋變量有關(guān) 。 tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????2 例 1： 其中 ， Y=在食品上的總支出 X=個人可支配收入 P=食品價格指數(shù) 用美國 19591983年的數(shù)據(jù) ， 得到如下回歸結(jié)果 （ 括號中數(shù)字為標準誤差 ） ： Y和 X的計量單位為 10億美元 (按 1972不變價格計算 ). uβββ 210 ???? PXY )()()( 2 ???? RPXY），（數(shù)總消費支出價格平減指 食品價格平減指數(shù) 100197 2100 ???P3 多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義 上例中斜率系數(shù)的含義說明如下： 價格不變的情況下 ， 個人可支配收入每上升 10億美元 （ 1個 billion） ， 食品消費支出增加 元 （ billion） 。 （ 間接影響：收入影響流動資產(chǎn)擁有量 ?影響消費額 ） 但在模型中這種間接影響應(yīng)歸因于流動資產(chǎn) ， 而不是收入， 因而 ， β 2只包括收入的直接影響 。理論推導需借助矩陣代數(shù) 。 （ 6） 各解釋變量之間不存在嚴格的線性關(guān)系 。 殘差為： k??? ?,....,?,? 10 KtKtttttXXYYYeβ?....β???110 ???????? tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????12 要使殘差平方和 為最小 ， 則應(yīng)有： 我們得到如下 K+1個方程 （ 即正規(guī)方程 ） ： ? ? 21102 β?...β??? ? ?????? KtKttt XXYeS ? 0?...,0?,0?10?????????KSSS???13 按矩陣形式，上述方程組可表示為： ???????????????????????????????????????????????tktKtKtktktttKttKtttttKttKtttKtKtYXXXXXYXXXXXXYXXXXXYXXn211022121201121110110β..... .ββ..... ...... ...... ...... .β..... .βββ..... .βββ..... .ββ14 = )39。( ????????????????????????2112111.....................KttKtKtKttttKttXXXXXXXXXXn?????????????????Kβ...ββ10????????????????????????nKnKKnYYYXXXXXX.....................1...1121211121115 上述結(jié)果 ， 亦可從矩陣表示的模型 出發(fā) ， 完全用矩陣代數(shù)推導出來 。 4． 高斯 馬爾科夫定理 對于 以及標準假設(shè)條件 （ 1） （ 4） ， 普通最小二乘估計量是最佳線性無偏估計量 （ BLUE） )1(?22??? ?Kne t?kβ,...β,β 10 uβ ?? XY25 我們已在上一段中證明了無偏性 ， 下面證明線性和最小方差性 。 ???? YXXX ??? ?? 1)(βY Yk??? XXXk ??? ? 1)(??26 現(xiàn)設(shè) 為 的任意一個線性無偏估計量 ， 即 其中 是一個 (K+1)*n非隨機元素矩陣 。 這就證明了 OLS估計量 是 的所有線性無偏估計量中方差最小的 。 由此可以推論 ， 決定系數(shù)是一個與解釋變量的個數(shù)有關(guān)的量： 解釋變量個數(shù)增加 ? 減小 ? R2 增大 也就是說 ， 人們總是可以通過增加模型中解釋變量的方法來增大 R2 的值 。即 （ 3）當 K增大時，二者的差異也隨之增大。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 但在實際問題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。 ?? LAKQ ?43 一 . 線性模型的含義 線性模型的基本形式是 : 其特點是可以寫成每一個解釋變量和一個系數(shù)相乘的形式。例如 ， 對于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對某商品的需求 X=收入 P=相對價格指數(shù) ν =擾動項 可轉(zhuǎn)換為： ?? ?? PXY ? ???? logloglogloglog ???? PXY46 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計上式 。 YXXY ?????47 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。 著名的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) （ CD函數(shù) ） 為 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù) （ 美國 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù) ） 估計經(jīng)過線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （ 括號內(nèi)數(shù)字為標準誤差 ） ： 從上述結(jié)果可以看出 ， 產(chǎn)出的資本彈性是 ， 產(chǎn)出的勞動彈性為 。 根據(jù)理論假設(shè) ， 在某一利率水平上 ， 貨幣需求量在理論上是無窮大 。 也就是說 ， 此模型無法線性化 。該方法的原則仍然是殘差平方和最小 。 4．對一個或多個參數(shù)的估計值作微小變動； 5．計算新的 Y預(yù)測值 、殘差平方和 ∑e2； 6．若新的 ∑e2小于老的 ∑e2，說明新參數(shù)估計值優(yōu)于老估 計值，則以它們作為新起點； 7．重復(fù)步驟 4， 5， 6，直至無法減小 ∑e2為止。 而 )?(?)?(?jjjj????VarSet ??)?( j?Var 21 ?)( ??? XX 1?1?22????????? ? kn XYYYkn e t ??56 例：柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計經(jīng)過線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （括號內(nèi)數(shù)字為標準誤差） ： )()()( 2 ????? RLKY請檢驗“斜率”系數(shù) ?和 ?的顯著性。 結(jié)論： ?顯著異于 0。 若 H0為真 ， 則正確的模型是： 據(jù)此進行回歸 （ 有約束回歸 ） ， 得到殘差平方和 SR是 H0為真時的殘差平方和 。 使用 的作用是消除具體問題中度量單位 的影響 ， 使計算出的 F 值是一個與度量單位無關(guān)的量 。 若拒絕原假設(shè) ， 則表明所選擇模型對因變量的行為能夠提供某種程度的解釋 。 70 第六節(jié) 預(yù)測 我們用 OLS法對多元回歸模型的參數(shù)進行了估計之后 ， 如果結(jié)果理想 ， 則可用估計好的模型進行預(yù)測 。 )...1( 02023 kXXXC ?? ????? ??...????020230100??????? CXXXYkk0Y 00020230100 ... uCuXXXY kk ????????? ?????71 預(yù)測誤差可定義為： 兩邊取期望值 ， 得 因此 ， OLS預(yù)測量 是一個無偏預(yù)測量 。 在經(jīng)濟系統(tǒng)中 ， 許多變動是不能定量的 。 虛擬變量使得我們可以將那些無法定量化的變量引入回歸模型中 。 例 3：你在研究通貨膨脹的決定因素 ， 在你的觀測期中 ， 有 些年份政府實行了一項收入政策 。 77 二 ． 虛擬變量的使用方法 1． 截距變動 設(shè) Y表示消費 ， X表示收入 ， 我們有： }假定 β 不變 。 ? ? uXYuXY???????12010?????平時：戰(zhàn)時： Y 平時 戰(zhàn)時 α2 α1= β2 α1= β0 X79 2． 斜率變動 如果我們認為戰(zhàn)時和平時的消費函數(shù)中 ， 截距項不變 ，而斜率不同 ， 即 β 變動 ， 則可用下面的模型來研究兩個時期邊際消費傾向的差異： 其中 ， D={ 不難看出 ， 上式相當于下列兩式： 同樣 ， 包括虛擬變量的模型中 ， β 2是否顯著可以表明斜率在兩個時期是否變化 ?？紤]到可能是季節(jié)性變異的問題 ， 我們建立下面的模型： 其中 ， Q1={ Q2={ Q3={ 請注意我們僅用了 3個虛擬變量就可表示 4個季度的情況 。 2)()()(1)()(:)(???????RXQYt84 第四章 小結(jié) 本章將雙變量模型的結(jié)果推廣到了多元線性回歸模型的一般情形 。?39。 對于那些無法線性化的模型 ， 只能采用非線性估計技術(shù) （ 如 NLS法 ） 估計模 型 。 )?(?jjVart???j?? 1?39。 檢驗全部 “ 斜率 ” 系數(shù)均為 0的檢驗統(tǒng)計量為 F = = )1/(/)(???knSgSS R)1/(/)(???knSkSS R)1/()1(/22??? knRkR89 五 、 虛擬變量 我們應(yīng)用虛擬變量的目的是將那些無法定量化的變量引入到模型中 。 設(shè)回歸結(jié)果如下 （ 括號內(nèi)數(shù)字為標準誤差 ） ： = + + R2 = () () () （ 1） 請對回歸結(jié)果作必要說明； （ 2） 分別檢驗 α和 β的顯著性； （ 3） 檢驗原假設(shè)： α=β= 0； R?ln92 我們有某地 19701987年間人均儲蓄和收入的數(shù)據(jù) ， 用以研究文革期間和文革后儲蓄和收入之間的關(guān)系是否發(fā)生顯著變化