【正文】 是一個(gè)（nm）階的矩陣，則： 當(dāng)n=m且非奇異時(shí)，此方程稱為恰定方程； 當(dāng)nm時(shí)，此方程稱為超定方程； 當(dāng)nm時(shí)，此方程稱為欠定方程。 rand（39。 x=ones（100，1）。 tic。）er1 = 解的相對(duì)殘差為： re1=norm（a*x139。x1=a\b?！尽?用矩陣的除法求解超定方程。則A =（x2 ，1）可以看成為矩陣的系數(shù)，x =(a，b)39。 a=[x.^2，ones（5，1）]a= 361 1 625 1 961 1 1444 1 1936 1 b=y； ab=a\bab = x1=19::44。o39。 解超定方程擬和欠定方程的解是不惟一的，在MATLAB中用除法解方程時(shí)所得的解是所有解中范數(shù)最小的一個(gè)。1]。3．矩陣的逆運(yùn)算矩陣的逆運(yùn)算是矩陣運(yùn)算中很重要的一種運(yùn)算。解： a=[2 1 3 1。 inv（a）ans = 4．矩陣的行列式運(yùn)算矩陣的行列式的值可由det函數(shù)計(jì)算得出。 a1*a2ans = 15．矩陣的冪運(yùn)算矩陣的冪運(yùn)算的形式同數(shù)字的冪運(yùn)算的形式相同，即用算符“^”來(lái)表示。而expm函數(shù)使用的方法與expm1相同。幾個(gè)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果是有差別的，但差別很小。 矩陣的基本函數(shù)運(yùn)算矩陣的函數(shù)運(yùn)算是矩陣運(yùn)算中最實(shí)用的部分，它主要包括特征值的計(jì)算、奇異值的計(jì)算條件數(shù)、各類范數(shù)、矩陣的秩與跡的計(jì)算和矩陣的空間運(yùn)算等。【】 計(jì)算如下矩陣的特征值和特征向量。2．奇異值函數(shù)同樣，矩陣的奇異值函數(shù)也有兩種形式svd和svds，它們所使用的方法相同，只是計(jì)算值略有差別。l condest 計(jì)算矩陣的1范數(shù)條件數(shù)的估計(jì)值。 cond（h）ans = +011 rcond（h）ans = condest（h）ans = +012可見雖然各條件數(shù)的計(jì)算數(shù)值并不相同，但結(jié)論是一致的，即此矩陣是嚴(yán)重病態(tài)的。其中V是特征向量組成的矩陣，其列向量是特征向量，D的對(duì)角元素是對(duì)應(yīng)的特征值，s是對(duì)應(yīng)的特征值條件數(shù)。27 9 25]a= 149 50 154 537 180 546 27 9 25 [V，D，s] = condeig（a）V= D= 0 0 0 0 0 0 s= 5．范數(shù)函數(shù)矩陣（向量）的范數(shù)是矩陣（向量）的一種量度，它可分為1范數(shù)、2范數(shù)、無(wú)窮范數(shù)和F范數(shù)等。 【例如】e= 1 1 1 5 2 2 2 5 3 3 3 5 rank（e）ans = 27．跡函數(shù)矩陣所有對(duì)角線上元素的和稱為矩陣的跡，在MATLAB中可由trace函數(shù)計(jì)算得出。r39。矩陣的偽逆由函數(shù)pinv實(shí)現(xiàn)。），其中A為輸入矩陣變量，funname為調(diào)用的函數(shù)名。sqrt39。l [V，D] = eig（X，39。l [V，D] = eig（A，B）對(duì)矩陣A和B作廣義特征值分解，即AV = BVD【】 矩陣的特征值分解演示。10 5 8。[V，D] = cdf2rdf（V，D）將復(fù)數(shù)對(duì)角型轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)塊對(duì)角型。2 2/3]。而在乘除法中由于數(shù)組的對(duì)應(yīng)元素間的運(yùn)算的特點(diǎn)，使數(shù)組運(yùn)算中的乘除法與矩陣的乘除法有相當(dāng)大的區(qū)別。3 4 5 ]。 a1.\b1ans = 2．?dāng)?shù)組與常數(shù)間運(yùn)算數(shù)組與常數(shù)之間的數(shù)加和數(shù)減運(yùn)算還存在，在算符上可以加“.”，也可以不加“.”，但要注意加“.”時(shí)要把常數(shù)寫在前面?！尽?a=[2 1 3 1。 a^3ans = 32 28 101 34 99 12 151 239 1 49 93 8 51 17 98 139 a.^3ans = 8 1 27 1 27 1 0 3431 8 64 8 1 0 1 125可見矩陣的冪運(yùn)算和數(shù)組的冪運(yùn)算所得的結(jié)果有很大的差別!同矩陣運(yùn)算相比，數(shù)組運(yùn)算中這些運(yùn)算符都有所簡(jiǎn)化，它們分別是exp、log和sqrt。其通用形式為funname（A），其中funname為常用函數(shù)名。在MATLAB中。l 當(dāng)比較雙方中一方為常數(shù)，另一方為一數(shù)組，則結(jié)果與數(shù)組同維，且其值為已知數(shù)組與常數(shù)依次比較的結(jié)果。l 在算術(shù)運(yùn)算、比較運(yùn)算和邏輯與或非運(yùn)算中，它們的優(yōu)先級(jí)關(guān)系先后為：比較運(yùn)算、算術(shù)運(yùn)算、邏輯與或非運(yùn)算。7:9]。1 0 1。因此掌握并運(yùn)用它們是必要的。 a=magic（5）。1．系數(shù)向量的直接輸入法由于在MATLAB中的多項(xiàng)式是以向量形式儲(chǔ)存的，因此，最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式輸入即為直接的向量輸入，MATLAB自動(dòng)將向量元素按降冪順序分配給各系數(shù)值。2．特征多項(xiàng)式輸入法多項(xiàng)式創(chuàng)建的另一個(gè)途徑是從矩陣求其特征多項(xiàng)式獲得，由函數(shù)poly實(shí)現(xiàn)。 p1=poly（a）p1 = poly2sym（p1）ans =x^39*x^26*x1803831259791359/2535301200456458802993406410752說(shuō)明l 由特征多項(xiàng)式生成的多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)一定是1。 root=[5 3+4i 34i]。這兩種計(jì)算在數(shù)值上有很大的差別，這主要源于矩陣計(jì)算和數(shù)組運(yùn)算的差別。1 1]。 p=[2 5 6 1 9]。 poly2sym（p）ans = 2*x^45*x^3+6*x^2x+9 d = [3 90 18]。 poly2sym（p）ans =2*x^45*x^3+6*x^2x+9 Dp=polyder（p）Dp = 8 15 12 1 poly2sym（Dp）ans =8*x^315*x^2+12*x15．多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合是多項(xiàng)式運(yùn)算的一個(gè)重要組成部分，在工程及科研工作中都得到了廣泛的應(yīng)用。【】 用5階多項(xiàng)式對(duì)[0，π/2]上的正弦函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合。 x1=0:pi/30:pi*2。b39。原曲線39。 正弦函數(shù)的最小二乘擬合圖由于擬合是在[0，π/2]進(jìn)行的，故所得曲線在此區(qū)間內(nèi)與原曲線擬合得很好。因此，對(duì)任何數(shù)學(xué)計(jì)算人員來(lái)說(shuō)，可視化技術(shù)都是必須掌握的。隨著MATLAB版本的逐步升級(jí)，MATLAB的圖形工具箱從簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線、面處理發(fā)展到了集二維圖形、三維圖形甚至四維表現(xiàn)圖和對(duì)圖形進(jìn)行著色、消隱、光照處理、渲染及多視角處理等多項(xiàng)功能于一身的強(qiáng)大功能包。 基本繪圖命令繪制二維圖形最常用的函數(shù)就是plot函數(shù)，對(duì)于不同形式的輸入，該函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)不同的功能。而在其他形式的函數(shù)調(diào)用中，元素的虛部將被忽略。plot（X，Y，s）想繪制不同的線型、標(biāo)識(shí)、顏色等的圖形時(shí)，可調(diào)用此形式。 函數(shù)plot（Y）繪制圖形示意圖（Y為實(shí)向量）如果Y為復(fù)數(shù)向量，則將以該向量實(shí)部作為橫坐標(biāo)，虛部作為縱坐標(biāo)，來(lái)繪制二維圖形。該方式也是實(shí)際應(yīng)用過程中最為常用的。特別地，變量Y可以包含多個(gè)符合要求的向量，這時(shí)將在同一幅圖中繪出所有圖線。x39。如果圖形為灰度圖像，則返回值A(chǔ)為兩列矩陣；如果圖形為真色，則返回值A(chǔ)為三列矩陣。 A=imread（39。）； size（A）； ans = 1384 896 3