高二數(shù)學(xué)概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例-預(yù)覽頁
【正文】 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3 ) 若由線性回歸方程得到的 估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過 2 顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問 ( 2 ) 中所得的線性回歸方程是否可靠？ 思維啟迪 ( 1 ) 問題屬古典概率，可先求兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率． ( 2 ) 求線性回歸方程，再驗證線性回歸方程 的可靠性． 解 ( 1 ) 設(shè)事件 A 表示 “ 選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2天的數(shù)據(jù) ” ，則 A 表示 “ 選取的數(shù)據(jù)恰好是相鄰 2 天的數(shù)據(jù) ” ． 基本事件總數(shù)為 10 ，事件 A 包含的基本事件數(shù)為 4. ∴ P ( A ) ＝410＝25， ∴ P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝35. ( 2 ) x ＝ 12 ， y ＝ 27 ， ∑3i ＝ 1xiyi＝ 977 ， ∑3i ＝ 1x2i＝ 434 ， ∴ b^ ＝∑3i ＝ 1xiyi－ 3 x y∑3i ＝ 1x2i－ 3 x2＝9 7 7 － 3 12 274 3 4 － 3 122＝ 2 . 5 ， a^ ＝ y － b x ＝ 27 － 2 . 5 12 ＝－ 3 ， ∴ y^ ＝ 2 . 5 x － 3. ( 3 ) 由 ( 2 ) 知：當 x ＝ 10 時， y ＝ 22 ，誤差不超過 2 顆； 當 x ＝ 8 時， y ＝ 17 ，誤差不超過 2 顆． 故所求得的線性回歸方程是可靠的． 探究提高 ( 1 ) 正確理解計算 b^ 、 a^ 的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵． ( 2 ) 在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本 數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值． 變式訓(xùn)練 5 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x ( 噸 ) 與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y ( 噸標準煤 ) 的幾組對照數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2 . 5 3 4 4 . 5 ( 1 ) 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； ( 2 ) 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3 ) 已知該廠技改前 1 0 0 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標準煤．試根據(jù) ( 2 ) 求出的線性回歸方程預(yù)測生產(chǎn) 1 0 0噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？ ( 參考數(shù)值： 3 2 . 5 ＋ 4 3 ＋ 5 4 ＋ 6 4 . 5 ＝ 6 6 . 5 ) 解 ( 1 ) 如下圖所示： ( 2 ) 由對照數(shù)據(jù)計算得， x ＝3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 64＝ 4 . 5 ， y ＝2 . 5 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 4 . 54＝ 3 . 5 ， ∑4i ＝ 1xiyi＝ 3 2 . 5 ＋ 4 3 ＋ 4 5 ＋ 6 4 . 5 ＝ 6 6 . 5 ， ∑4i ＝ 1x2i＝ 32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 8 6 . 所以由最小二乘法確定的系數(shù)為 ∴ b^ ＝∑4i ＝ 1xiyi－ 4 x 第 2 講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 廣東 ) 隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各 10 名同學(xué)，測量他們的身高 ( 單位： c m) ，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示． ( 1 ) 根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均 身高較高； ( 2 ) 計算甲班的樣本方差； ( 3 ) 現(xiàn)從乙班這 10 名同學(xué)中隨機抽取兩名身高不低于1 7 3 c m 的同學(xué)，求身高 1 7 6 c m 的同學(xué)被抽中的概率． 思維啟迪 根據(jù)莖葉圖讀出各數(shù)據(jù)，然后根據(jù)公式計算平均值和方差． 解 ( 1) 由莖葉圖可知：甲班身高集中于 160 ～ 179 之間，而乙班身高集中于 170 ～ 180 之間，因此乙班平均身高高于甲班． ( 2) x ＝158 ＋ 162 ＋ 163 ＋ 168 ＋ 168 ＋ 170 ＋ 17 1 ＋ 179 ＋ 179 ＋ 18210 ＝ 170. 甲班的樣本方差 s2＝110[ ( 158 － 170)2＋ ( 162 － 170)2＋ ( 163 － 170)2＋ ( 168 － 170)2＋ ( 168 － 170)2＋ ( 170 － 170)2＋ ( 171 － 170)2＋ ( 179－ 170)2＋ ( 179 － 170)2＋ ( 182 － 170)2] ＝ . ( 3 ) 設(shè)身高為 1 7 6 cm 的同學(xué)被抽中的事件為 A ，從乙班10 名同學(xué)中抽中兩名身高不低于 1 7 3 cm 的同學(xué)有：( 1 8 1 , 1 7 3 ) ， ( 1 8 1 , 1 7 6 ) ， ( 1 8 1 , 1 7 8 ) ， ( 1 8 1 , 1 7 9 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 3 ) ，( 1 7 9 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 8 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 3 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 6 , 1 7 3 )共 10 個基本事件，而事件 A 含有 4 個基本事件：( 1 8 1 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 6 , 1 7 3 ) ， ∴ P ( A ) ＝410＝25. 探究提高 ( 1 ) 本題考查了莖葉圖的識圖問題和平均數(shù)的計算，其中從莖葉圖中讀出數(shù)據(jù)是關(guān)鍵，為此，首先要弄清 “ 莖 ” 和 “ 葉 ” 分別代表什么． ( 2 ) 要熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)、 平均數(shù)、方差、標準差的計算方法． 變式訓(xùn)練 4 ( 2 0 0 9 1
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