高二數(shù)學基本不等式及其應用-預覽頁
【正文】 33xy?經(jīng)典例題 題型一 不等式的證明 【 例 1】 已知 a＋ b＝ 1，且 a , b∈ R＋ .求證： (2a＋ b)(a＋ 2b)≤ 分析：依據(jù)條件把所證不等式化簡，因為 a＋ b＝ 1， 所以 (2a＋ b)(a＋ 2b)＝ (1＋ a)(1＋ b)，所以只需證 (1＋ a)(1＋ b)≤ 9.4證明：因為 a＋ b＝ 1，所以 (2a＋ b)(a＋ 2b)＝ (1＋ a)(1＋ b) ＝ 1＋ a＋ b＋ ab＝ 2＋ ab. 又因為 a＞ 0， b＞ 0， 所以 2＋ ab≤ 22 192 ( ) 2 ( ) .2 2 4ab?? ? ? ?(當 a＝ b＝ 時取等號 )． 12所以 (2a＋ b)(a＋ 2b)≤ 9.4變式 1－ 1 已知 a＋ b＝ 1，且 a, b∈ R＋ ，求證： 11? ? ? ?解析：因為當 a , b∈ R＋ 時， 2 2 22 ()( ) 0 ,2 2 4a b a b a b? ? ? ?? ? ?即 222( ) ,22a b a b??? 這里用 替換 a，用 替換 b， 12b?12a?就有 11( ) ( )1 1 1 1 222( ) 1 .2 2 2 2 2 2ab abab? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?11 222ab? ? ? ? ?(當 a＝ b＝ 時取等號 )． 12題型二 利用基本不等式求最值 【 例 2】 (2020海安高級中學期中 )若 x＞－ 3，則 x＋ 23x?的最小值為 ________． 解析： ∵ x＞－ 3， x＋ 3＞ 0， ∴ x＋ 22 3 3 2 2 3 ,33xxx? ? ? ? ? ???2即 x＝－ 3＋ 時取等號． 當且僅當 x＋ 3＝ 2 ,3x?5. (20201
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