【正文】 是 C上的一元多項式。 零多項式： 系數(shù)全為 0的多項式，即 f (x)=0。 2 一元多項式的定義和運算 二、多項式的運算 定義 4： 設(shè) 是數(shù)域 P上次數(shù)分別為 n和 m的多項式 (不妨假設(shè) m≤n)，則 多項式 f (x)和 g(x)的和，差為： 當(dāng) mn時，設(shè) bm+1=… =bn=0。 g(x) ≠ 0時，有 ② ? ?))(() ) ,((m a x))()(( xgxfxgxf ?????))(())(())()(( xgxfxgxf ??????多項式 167。 定義 5： 記 P [x]={數(shù)域 P上所有一元多項式全體 }，由于 P [x] 對多項式的加、減、乘法封閉，故稱 P [x]為數(shù)域 P上的一 元多項式環(huán)。 3 整除的概念和性質(zhì) 一、帶余除法 例 1 用帶余除法，求 g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中 商式 余式 ixxgxxxxf 21)(,)( 23 ??????多項式 167。 多項式 167。證明 ： h(x) | (f (x)g(x)) 當(dāng)且僅當(dāng) f (x)與 g(x)除以 h(x)所得的余式相等。 性質(zhì) 3 對任意的 f (x)， g(x)， h(x)∈ P [x]，若 f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么 f (x) | h(x) 。 性質(zhì) 5 對任意的 f (x)， gi(x)∈ P [x]， i=1,2,…, r，若 f (x) | gi(x) 那么對任意的 ui(x)∈ P [x]， i=1,2,…, r，有 f (x) | (u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+… +ur(x)gr(x)) 性質(zhì) 7 對任意的 f (x)∈ P [x]， c∈ P且 c ≠ 0，有 f (x) | cf (x) 。 問題： 數(shù)域 P上的多項式 f(x) 與 g(x) 的整除性是否會因為 數(shù)域的擴(kuò)大而改變？ 多項式 167。若對 f (x)和 g(x)的任意一個公因式 h(x)，都有 h(x) | d(x)，則稱 d(x)是多項式 f (x)和 g(x)的最大公因式 。 多項式 167。 若對不全為零的多項式，用符號 (f (x)， g(x))表示首項系數(shù) 為 1的最大公因式，那么 (f (x)， g(x))是唯一確定的 。證明： ( f (x)， g(x)) = ( f (x)h(x)g(x)， g(x)) 二、兩個多項式互素 定義 3： 對任意的 f (x)， g(x)∈ P [x]， 若 ( f (x)， g(x))=1，則稱 多項式 f (x) 和 g(x) 互素 。 4 最大公因式 定理 2： 對任意的 f (x)， g(x)∈ P [x]，多項式 f (x)和 g(x)互素 的充要條件是存在多項式 u(x)， v(x)∈ P [x] ，使得 u(x)f (x)+v(x)g(x) = 1。 ) ) ,(())(() ) ,(())(( xfxvxgxu ??????例 4 設(shè) f (x)， g(x)為兩個次數(shù)大于零的多項式。 定義 5： 設(shè) f1(x)， f2(x)， … ， fs(x)∈ P [x]， s≥2， 若多項式 d(x) 是多項式 f1(x)， f2(x)， … ， fs(x) 的公因式，而且這組多項式 的任意一個公因式 都整除 d(x)， 則稱多項式 f1(x)， f2(x)， … ， fs(x)的最大公因式。 4 最大公因式 定義 6： 設(shè)多項式 f1(x)， f2(x)， … ， fs(x)∈ P [x]， s≥2， 若 (f1(x)， f2(x)， … ， fs(x))=1，則稱 f1(x)， f2(x)， … ， fs(x)互 素。 5 因式分解定理 167。 (2) 多項式的可約性與系數(shù)域有關(guān)。 性質(zhì) 2 若 p(x)是不可約多項式，則對任意的多項式 f (x)，有 p(x) | f (x)或者 (p(x)， f (x))=1。 5 因式分解定理 例 1 設(shè) p(x)為數(shù)域 P上的次數(shù)大于零的多項式。證明 p(x)一定是數(shù)域 P上的不可約多項式。 (唯一性定理 ) 即若有兩個分解式 f (x)=p1(x)p2(x)… pr(x)=q1(x)q2(x)… qt(x) 則有 ① r = t ② 適當(dāng)調(diào)整 qj(x)的位置后，有 pi(x)=ciqi(x) i=1， 2， … ， r 定理 1和 2在理論上有其重要性，但沒有給出一個具體的 分解方法。 ),()()()( 21 21 xpxpxpaxf skskkn ??多項式 167。 雖然利用標(biāo)準(zhǔn)分解式可以很方便地寫出最大公因式，但 是標(biāo)準(zhǔn)分解式并不容易求得，因此求最大公因式的一般方法 還是輾轉(zhuǎn)相除法。 例 5 設(shè) f (x)與 g(x)為兩個不全為零的多項式， n是任意整數(shù)證明： ( f (x)， g(x))n = (f n(x)， gn(x)) 462)( 24 ??? xxxf多項式 167。 當(dāng) k 1時， p(x)稱為 f (x)的重因式。(x) 是比 f (x)低一次的多項式 f 39。(x)。39。 一個 n次多項式的導(dǎo)數(shù)是一個 n1次多項式，它的 n階 導(dǎo)數(shù)就是一個常數(shù)，它的 n+1階導(dǎo)數(shù)就是零。(x)+g 39。 = f 39。(x) 定理 1 若不可約多項式 p(x)是 f (x)的 k重因式 (k 1)，則 p(x)是 f 39。 多項式 167。(x)互素。 7 多項式函數(shù) 167。 7 多項式函數(shù) 二、余數(shù)定理和綜合除法 定理 1(余數(shù)定理 ) 用一次多項式 xc去除多項式 f (x)，所得的 余式就是一個常數(shù)，即這個多項式在 x=c時的值 f (c)。 例 4 把 f (x)=x5+x3+2x2+8x5表示為 x+2的方冪和。 例 5 當(dāng) a， b是什么數(shù)時， f (x)能被 g(x)整除？ 其中 f (x)=x43x3+6x2+ax+b， g(x)=x21。 7 多項式函數(shù) 定理 3(根的個數(shù)定理 ) P[x]中的 n次多項式 (n ≥ 0)在數(shù)域 P中 的根至多有 n個，重根按重數(shù)計算。 7 多項式函數(shù) 四、多項式相等與多項式函數(shù)相等的關(guān)系 多項式相等，即 f (x)=g(x)? 對應(yīng)項的系數(shù)相等。 8 復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式 167。 8 復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式 定理 3 任何次數(shù) ≧ 1的復(fù)系數(shù) 多項式在復(fù)數(shù)域中有 n個根 (重 根按重數(shù)計算 )。 8 復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式 一般的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上的根與系數(shù)的關(guān)系。也是 f (x)的根，而且 α與 227。 多項式 167。 9 有理系數(shù)多項式 167。 多項式 167。 多項式 167。 9 有理系數(shù)多項式 例 4 判斷多項式 f (x)=x610x3+2， g(x)=5x46x3+12x+6在 有理數(shù)域上是否可約？。 多項式 167。