【正文】 ???，因此 1 2 1 3 1 11 1 210[ , , , ]0kka a aAUA?? ? ??????????其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足 1k?1k?1AW11HW A W R?(上三角矩陣 ) 令 那么 21 kkUUW?????????1 2 1 12 1 1 2100kHHbbU U A U UR??????????????注意 : 等號(hào)右端的三角矩陣主對(duì)角線上的元素為矩陣 的全部特征值 . 定理 (Schur不等式 ): 設(shè) 為矩陣 的特征值 , 那么 例 : 已知矩陣 A12, , , ,nnnAC ? ? ???A221,ni iji i ja?????3 0 83 1 62 0 5A??????????????試求酉矩陣 使得 為上三角矩陣 . 解 : 首先求矩陣 的特征值 U HU A UA3( 1 )IA??? ? ?所以 為矩陣 的三重特征值 . 當(dāng) 時(shí) , 有單位特征向量 再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個(gè)單位解向量 1? ?? A1? ?? A12 1 1,666T????? ????1 2 320x x x? ? ? ?2333,333T???? ????再解與 內(nèi)積為零的方程組 求得一個(gè)單位解向量 取 12,??1 2 31 2 3200x x xx x x? ? ? ?? ? ?3220 , ,22T????? ????1230361 3 23261 3 2326U??????????? ????????????計(jì)算可得 117 2 7 31235604356062HU A U?? ???????????????? ????????令 156435662A???????????????再求矩陣 的特征值 所以 為矩陣 的二重特征值 . 當(dāng) 時(shí) , 有單位特征向量 1A21 ( 1 )IA??? ? ?1? ??1A1? ??1A11 0 1 5,55T????? ????再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個(gè)單位解向量 121 0 1 5 0xx? ? ?21 5 1 0,55T???? ????取 計(jì)算可得 11 0 1 5551 5 1 055V??????????????1 1 125 61601HV A V?? ????????????21 0 010 1505515 10055U????????????????????令 于是有 122 30 515 561 300661 30 2 530 56W U U????????????? ????????????則 1 0 7 3 0 / 60 1 2 5 6 / 60 0 1HW A W??????? ? ??????????矩陣 即為所求的酉矩陣 . 正規(guī)矩陣 定義 : 設(shè) , 如果 滿足 WnnAC ?? AHHA A A A?那么稱矩陣 為一個(gè) 正規(guī)矩陣 . 設(shè) , 如果 同樣滿足 那么稱矩陣 為一個(gè) 實(shí)正規(guī)矩陣 . 例 : (1) 為實(shí)正規(guī)矩陣 AnnAR ?? AHHA A A A?A1111???????a b c db a d cc d a bd c b a?????????????????? (2) 其中 是不全為零的實(shí)數(shù) , 容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣 . , , ,a b c d (3) 這是一個(gè)正規(guī)矩陣 . (4) H陣 , 反 H陣 , 正交矩陣 , 酉矩陣 , 對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣 . 正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理 4 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1i i ii i iii? ? ?????? ? ? ?? ? ?????引理 1 : 設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣 , 則與 酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣 . 引理 2 : 設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣 , 且又是三角矩陣 , 則 必為對(duì)角矩陣 . 由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理 定理 : 設(shè) , 則 是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使得 A AAAnnAC ?? AU12HnU A U????????????????其中 是矩陣 的特征值 . 推論 1 : 階正規(guī)矩陣有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 12, , , n? ? ?Ann推論 2 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼此正交 . 例 1 : 設(shè) 求正交矩陣 使得 為對(duì)角矩陣 . 解 : 先計(jì)算矩陣的特征值 3 2 42 0 24 2 3A???????????Q 1Q A Q?2( 1 ) ( 8 )IA? ? ?? ? ? ?其特征值為 對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 現(xiàn)在將 單位化并正交化 , 得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量 1 2 31 , 8? ? ?? ? ? ?1 1? ??( ) 0I A X? ? ?? ? ? ?12 1 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1TTXX? ? ? ?12,XX121 2 4 2 5, , 0 , , ,35 5 3 5 2 5TT?????????? ?????? ??對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個(gè)單位向量 2 8? ?( 8 ) 0I A X??? ?3 2 , 1 , 2 TX ?32 1 2,333T? ??? ????將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣 ? ?1 2 31 4 235 3 52 2 1,35 3 552033Q ? ? ????????????????????????則矩陣 即為所求正交矩陣且有 Q1118Q A Q??????????????例 2 : 設(shè) 4 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1i i iA i i iii? ? ?????? ? ? ? ?? ? ?????求酉矩陣 使得 為對(duì)角矩陣 . QHQ A Q解 : 先計(jì)算矩陣的特征值 其特征值為 對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 2( 8 1 ) ( 9 )IA? ? ?? ? ? ?1 2 39 i, 9? ? ?? ? ? ? ?1 9 i? ??( 9 ) 0iI A X? ? ?? ?1 / 2 , 1 , 1 TXi??現(xiàn)在將 單位化 , 得到一個(gè)單位向量 1X122,3 3 3Ti????? ????對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個(gè)單位向量 2 9 i? ?( 9 ) 0iI A X??? ?2 , 1 / 2 , 1 TXi? ? ?22 1 2,3 3 3Ti????? ????對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個(gè)單位向量 3 9? ?( 9 ) 0I A X??? ?3 , 1 , 1 / 2 TXi??32 2 1,3 3 3Ti????? ????將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣 ? ?1 2 3223 3 32 1 2,3 3 32 2 13 3 3i i iQ ? ? ????????????????????????則矩陣 即為所求酉矩陣且有 Q999HiQ A Q i???????????? 例 3 證明 : (1) H矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 。 類似地，可以證明另外一問。 定理 : 設(shè) 是一個(gè)（半）正定 H陣，那么必存在唯一的一個(gè)（半）正定 H陣 ，使得 H H HHI P A P P B P P A PP B A P???? ? ???0BA? ??A39。 如果記 ，則有 12, , , n? ? ?n12P P P?12,HHnP A P P B P I?????????????????下面證明 個(gè)實(shí)特征值 與 無關(guān)。 由此可以得到下面的 H陣偶標(biāo)準(zhǔn)形定理： 1 1 1 111HHHI Q P BP P APP B A P???? ? ???i?0BA? ??,AB P定理 ：對(duì)于給定的兩個(gè)二次型 其中 是正定的，則存在非退化的線性替換 可以將 同時(shí)化成標(biāo)準(zhǔn)形 1,12,1()()nHi j i jijnHi j i jijf X X A X a x xf X X B X b x x????????12( ), ( )f X f XX P Y?2 (