【正文】 點(diǎn)后 k位 。 x= 不是有效數(shù) 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?縮小成 0. 5 10k≤? ， 對(duì) x對(duì)應(yīng)的精確數(shù) 舍入到小數(shù)點(diǎn)后 k位得到 x 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 26 ? 舍入方法 –截?cái)喾?: –絕對(duì)誤差限為最末位的 1個(gè)單位 –四舍五入法 : –絕對(duì)誤差限為末位的半個(gè)單位 167。 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值 ? 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 ? 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 加減運(yùn)算 ?C 31 例 ： 求有效數(shù) ， ， ， 。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 加減運(yùn)算 33 例題 求和 + 作舍入 處理 ? 和的絕對(duì)誤差限為 3*(*104)+*103= 和 = + 167。 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y dC=xdy+ydx ?C=y?x+x?y yxyyxxxyyxxyCCC ??? ????????????36 ? 乘積運(yùn)算的相對(duì)誤差為各乘數(shù)的相對(duì)誤差之和； ? 乘積運(yùn)算的相對(duì)誤差限為各乘數(shù)相對(duì)誤差限之和。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 商運(yùn)算 2yyxxyc ????? ∴ ?C=?x + ?y 38 例 ： 求有效數(shù) 誤差限和絕對(duì)誤差限。 例： 計(jì)算多項(xiàng)式的值 011 ...)( axaxaxPnnnn ??????如果改寫為： 0121 )...))(...(()( aaaaxaxxxxP nnn ?????? ??運(yùn)算次數(shù)： 乘法： n+(n1)+?+1=n(n+1)/2 加法： n 運(yùn)算次數(shù)： 乘法： n 加法： n 167。 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過(guò)小 例： 分母＝ 45 ? (5) 當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí) ,會(huì)因有效數(shù)字喪失而出現(xiàn) (4)的情況 )(100 0 0 )(1 4 5 4 5 )( 4 分子分子分子 ???這里分子的誤差被擴(kuò)大 104倍 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題解的誤差估計(jì) 解： 取 ?= ε?= εD = 取 Ｖ ＝ 3 10 ∴ εV= + = 5 49 ? 例 設(shè) f(x,y)=cosy/x， x=?， y=?，如果用 u*=f(,)作為 f(x,y)的近似值，則 u*有幾位有效數(shù)字？ 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 ? 167。 4 算法舉例 52 例 計(jì)算 0 1 3 1 2 0 0 0 0 1 1 4 0 0 ?????D解 : (1)算法 1。 4 算法舉例 ?D= + = ?D= ?D = 106 105 上頁(yè) 取 D= 真值為… 54 例 : 試用 5位有效數(shù)字及 Taylor公式計(jì)算 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 n !nxn ??nkkkx0 !n 8 9 10 11 12 13 14 15 !nxn ??nkkkx0 !n 16 17 18 19 20 21 22 !nxn ??nkkkx0 !真實(shí)值是 8*(*103) = *102 167。 4 算法舉例 57 ? 解決方法 (2)選擇求根公式 根據(jù) ax2+bx+c=0中 b的符號(hào)選擇求根公式， aacbbs i g nbx24)( 21????12 axcx ?0 0 0 0 1 5 ???=105 167。 4 算法舉例 11)(m a x)(m i n110110101101?????? ?????????ndxxeIdxxene nxxnnxx59 算法 1的誤差： I0 與 I1的誤差是 Δ I2的誤差是 2Δ I3的誤差是 6Δ… I9的誤差是 9!Δ 算法 2的誤差： I9的誤差是 Δ I8的誤差是 Δ/9 I7 的誤差是 Δ/9/8 … I0 與 I1的誤差 Δ/9! 舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果 影響小的算法稱為 穩(wěn) 定的算法 ,否則稱為 不 穩(wěn)定的算法 . In I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 算法 1 算法 2 167。 4 算法舉例 61 本章內(nèi)容 ? 167。 4 算法舉例 ? 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 ？ 64 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 ? 1. 模型誤差 ? 2. 觀測(cè)誤差 ? 3. 截?cái)嗾`差 ? 4. 舍入誤差 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 67 ? 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法如果是一種近似的方法，那么得到的是數(shù)學(xué)模型的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為 截?cái)嗾`差 –精確公式用近似公式代替時(shí) ,所產(chǎn)生的誤差 –截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差 ? 例 一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù) 實(shí)際計(jì)算的時(shí)候，我們只能取前面有限項(xiàng) (如 n項(xiàng) ) ??? 00)( )(!1kk xfk??nkk xfk0 0)( )(!1 ???? 10)( )(!1nkk xfk截 斷誤 差 為167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 模型與解 70 ? 前面的舍入誤差估計(jì)方法不足： 只對(duì)運(yùn)算量很少的情形適用 大規(guī)模的無(wú)有效的方法做出定量估計(jì) 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題的適定性 73 ? 穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法 真解 參數(shù)模型精確解 (良態(tài) ) 計(jì)算模型近似解 (穩(wěn)定 ) 計(jì)算模型近似解 (不穩(wěn)定 ) 167。 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值 ? 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 ? 167。 – (2) R?,即舍入誤差小于截?cái)嗾`差時(shí) ,總誤差的主部取決于截?cái)嗾`差的主部 。 6 誤差分配原則與處理方法 假設(shè)所有的運(yùn)算量的舍入誤差相同均為 ?，則 ini ixxfdu ??????? ?? 1|| 80 例： 長(zhǎng)方形面積 s=ab,其中 a? 5m, b? 200m， 計(jì)算 S的運(yùn)算誤差要求為 ?(s)=1m2， 試確定兩直角邊的允許誤差 解： 因?yàn)? ?= ?(s)/(a+b)=1/(5+200)? 可見(jiàn)數(shù)值 a、 b的字長(zhǎng)應(yīng)取至小數(shù)后 3位。 6 誤差分配原則與處理方法 例 :求 的值，總誤差要求為 83 令 Rn ≤ ≤ 則 n應(yīng)滿足 n≥(500)1/4? 取 n=5,設(shè)計(jì)算每項(xiàng)數(shù)值的舍入誤差限為 ? 則 4 ? ≤?= ? ?, 取 ? ==*104 S5=1++++ = 按 ?=*103，將 S5舍入為 16